Parte XX: Magnetostatica nel Vuoto Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XX: Magnetostatica nel Vuoto Fenomenologia della Magnetostatica Dipolo Magnetico e Campo Magnetico Forza di Lorentz e Campo di Induzione Magnetica Legge di Biot-Savart Formule di Laplace Forze tra circuiti Legge di Circuitazione di Ampère Equazioni di Maxwell per la Magnetostatica Potenziale Vettore Teorema di Equivalenza Ampère

Fenomenologia della Magnetostatica I fenomeni magnetici sono noti sin dall’antichità e, come è evidente, tanto più presto l’uomo ha avuto conoscenza di un fenomeno fisico tanto più questo è spettacolare ed importante. Che i magneti fossero in grado di attrarre il ferro e non il rame o l’oro era noto dall’antichità. Ma un magnete attrae scagliette di ferro e le dispone lungo delle linee. Consultare figura 4.24 del libro P.M. Fishbane, S. Gasiorowicz and S.T. Thornton Fisica per Scienze ed Ingegneria, Volume Secondo, EdiSES Potremmo dire che sono le linee di Flusso del Campo Magnetico Tuttavia dobbiamo capire quali sono le sorgenti di tale campo Consultare figura 24.8 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Anche la Terra è un MAGNETE (bussola)

Consultare figura 24.12 del libro Nel sistema solare e nell’universo i fenomeni magnetici sono estremamente spettacolari Consultare figura 24.12 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Consultare figure a pagina 927 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Confinamento magnetico

Consultare figura 20.19 del libro D.C. Giancoli, “Fisica” Ambrosiana L’aurora boreale Consultare figura 20.19 del libro D.C. Giancoli, “Fisica” Ambrosiana

Il campo magnetico deve essere solenoidale!! Le interazioni magnetiche sono attrattive e repulsive N S Posso pensare, quindi che la magnetostatica sia analoga all’elettrostatica, con l’opportuna introduzione di un polo magnetico positivo (N) ed un polo magnetico negativo (S) ed una opportuna scelta di unità di misura. Tuttavia la seguente circostanza mostra una profonda differenza: Non esiste il polo magnetico isolato1 N S N S N S In realtà Dirac ha dimostrato che deve esistere il polo magneico isolato nell’universo, sebbene la probabilità di trovarne uno È estrememamente piccola. Esistono in atto esperimenti che tentano di rivelare la presenza del monopolo magnetico. N S Etc. Il campo magnetico deve essere solenoidale!! In realtà Dirac ha dimostrato che deve esistere il polo magneico isolato nell’universo, sebbene la probabilità di trovarne uno è estrememamente piccola. Esistono in atto esperimenti che tentano di rivelare la presenza del monopolo magnetico. NOTA:

Dipolo magnetico e Campo Magnetico La conseguenza di quanto abbiamo visto è che l’ente più piccolo che possa generare campi magnetici o subire l’azione di campi magnetici è il DIPOLO MAGNETICO Il dipolo magnetico è caratterizzato dal momento di dipolo magnetico In un campo magnetico in completa analogia col dipolo elettrico il dipolo subisce un momento meccanico e guadagna una energia Tuttavia bisogna trovare l’equazioni cui soddisfa il campo magnetico. Stranamente per ricavarle ci dimenticheremo momentaneamente dei magneti e studieremo cosa avviene con cariche elettriche in moto

Consultare figura pagina 957 del libro Le cariche elettriche in moto interagiscono con magneti: esperimento di Oersted Se abbassiamo l’interruttore l’ago magnetico, inizialmente diretto verso nord, devia. Una corrente genera quindi un campo che interagisce con i magneti. Consultare figura pagina 957 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Consultare figure 25.11 e 25.15 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI In realtà va dimostrato che siano fenomeni magnetici (TEOREMA DI EQUIVALENZA di AMPÈRE)

Consultare figure 8.12, 8.14 e 8.17 del libro Inoltre si scoprì pure che cariche elettriche in moto in campi magnetici subiscono delle forze Consultare figure 8.12, 8.14 e 8.17 del libro P.M. Fishbane, S. Gasiorowicz and S.T. Thornton Fisica per Scienze ed Ingegneria, Volume Secondo EdiSES

La Forza di Lorentz e il Campo di Induzione Magnetica Sulla base dell’esperimento di Oersted, possiamo dire che correnti elettriche generano campi di forze che agiscono su correnti. Chiamiamo un tale campo il Campo di Induzione magnetica Eseguiamo un esperimento per misurare le forze che un filo percorso da corrente subisce quando è immerso in tale campo A R f contatti striscianti D a B0 Attenzione: L’angolo a è fuori dal piano del foglio Se il circuito esploratore è immerso nel campo di induzione generato da un’altra corrente E tramite un ago magnetico determino l’angolo a fra le linee di flusso di B0 ed il tratto D, Posso deteminare la forza agente sul tratto D con i dinamometri

L’esperimento produce il seguente risultato: il modulo della forza è proporzionale Alla corrente i, alla lunghezza D seno dell’angolo a Dove si è indicata con B0 la costante di proporzionalità Se rifletto che D ha un significato vettoriale, in quanto ha una direzione e posso assegnargli il verso di percorrenza della corrente, comprendo che il fattore B0 è in realtà un vettore, il Campo di induzione magnetica, tale che In realtà questa è la risultante di tutte le forze che agiscono sulle cariche in moto all’interno del conduttore. Devo scrivere cioè: Ne segue che su una carica puntiforme in moto in un campo B0 agisce la forza di Lorentz definita da

Consultare figura 8.12 del libro Notare che per estrarre il passaggio ho considerato prima il campo delle velocità della cariche nel conduttore poi la veolcità della carica individuale Consultare figura 8.12 del libro P.M. Fishbane, S. Gasiorowicz and S.T. Thornton Fisica per Scienze ed Ingegneria, Volume Secondo EdiSES L’esperimento della camera a bolle conferma la Forza di Lorentz La Forza di Lorentz è perpendicolare alla velocità quindi non compie lavoro. Il moto di una carica in un campo magnetico è pertanto circolare uniforme Se una carica entra in un campo magnetico con una velocità iniziale deve ruotare e continuare a traslare: il moto è pertanto elicoidale Consultare figura 8.14 del libro P.M. Fishbane, S. Gasiorowicz and S.T. Thornton Fisica per Scienze ed Ingegneria, Volume Secondo EdiSES

Consultare figura 24.11 del libro Quanto abbiamo visto si riferisce a campi di induzione solenoidali. Con campi non uniformi si può realizzare il confinamento magnetico delle cariche Consultare figura 24.11 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Questo è il fenomeno che consente la formazione sulla superficie del Sole di plasmi. Le radiazioni elettromagnetiche emesse da questi sono il primo motivo della presenza della vita sulla Terra

La Legge di Biot-Savart Con degli aghi magnetici posso determinare le linee di flusso del campo di induzione Magnetica. Con il circuito esploratore di prima posso determinare l’intesità del campo e la sua dipendenza dalla distanza da un filo percorso da corrente Consultare figura 25.15 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Verifico innanzi tutto la regola della mano destra. Biot e Savart dimostrarono che per un filo rettilineo indefinito privo di spessore il campo in funzione della distanza è

La costante k deve essere tale che le dimesioni di B0 consentano di misurare le forze di Lorentz in newton. Nel sistema MKSA essa si scrive: La costante universale m0 è denominata permeabilità magnetica del vuoto e gioca lo stesso ruolo della costante dielettrica del vuoto e0 per l’elettrostatica (vedi discussione sul ruolo delle costanti universali in fisica nel capitolo dell’elettrostatica nel vuoto. Essa vale: La conoscenza delle Legge di Biot-Savart consente di calcolare il campo magnetico solo per fili rettilinei indefiniti. Per un caso generale bisogna estendere questi risultati a circuiti di forma qualunque. Per fili privi di spessore ciò si può fare mediante le formule di Laplace.

Le formule di Laplace Si dovette a Laplace la generalizzazione della legge di Biot-Savart e della Forza di Lorentz a circuiti di forma qualunque, purché costituiti di fili privi di spessore, con le seguenti due formule differenziali Si noti che tali formule non hanno nessun significato fisico: per avere una corrente bisogna avere un circuito finito La correttezza della seconda è immediatamente verificata nel momento in cui si realizza che l’elemento di corrente è equivalente ad una carica infinitesima in moto, come già discusso precedentemente Per verificare la prima applichiamola ad un filo rettilineo di lunghezza indefinita riservandoci di dedurla da formule più generali

a i da Il campo di induzione nei punti a distanza a dal filo è diretto lungo la perpendicolare entrante nel foglio. Dato che d ed r giacciono sempre sul foglio, il campo risultante non potrà avere che questa direzione. Inoltre per ogni elementino d avrà il suo simmetrico rispetto alla direzione a. Dovrà quindi essere d, r ed a, non sono tutti indipendenti, a causa del teorema dei seni e del teorema di Pitagora. A meno di infinitesimi di ordine superiore sarà Pertanto che è proprio la legge di Biot-Savart

Campo di una spira circolare Calcoliamo dapprima con la formula di Laplace il campo di una spira circolare nel suo centro da Dato che R e d giacciono sempre sul piano, il campo risultante sarà diretto come la perpendicolare uscente dal foglio. Inoltre l’angolo fra r e d è sempre retto: Calcoliamo adesso il campo in funzione di una coordinata z sull’asse di simmetria della spira passante per il centro d dB0 r b a R z dB0 Il campo sarà quindi diretto come l’asse z e il contributo risultante di due elementini diametralmente opposti sarà

Il precedente studio ci suggerisce che il modulo del campo è calcolabile sommando per tutti i contributi elementari id le componenti z dei corrispondenti campi infinitesimi (notare che d ed r sono perpendicolari) Ancora una volta possiamo sfruttare le relazioni geometriche fra le quantità rilevanti z d dB0 r b a R Avremo sostituendo Notare che nel limite z->0 si ottiene il risultato precedente

Campo all’interno di un solenoide Un solenoide è un circuito costituito da un avvolgimento di molte spire. Se vi sono n spire per unità di lunghezza, possiamo pensare che in un breve tratto dz vi sia una spira precorsa da una corrente indz. ni è la corrente per unità di lunghezza Consultare figura 25.15 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI P b1 b2 dz b’ r rdb’ z2 z1 z R Posso calcolare il campo integrando la formula relativa ad una singola spira Per il teorema dei seni

Consultare figura pagina 962 del libro Integrando Per un solenoide di lunghezza indefinita (z2-z1»R), si ha b1=0 e b2=p, quindi Pertanto il campo all’interno del solenoide è uniforme (non dipende dal punto). Il solenoide è quindi l’analogo di un condensatore Consultare figura pagina 962 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI

Forze tra circuiti Calcoliamo la forza (per unità di lunghezza) con cui due fili indefinti e percosi da corrente stazionaria si attirano o si respingono B0 L i1 i2 F a Per la legge di Biot-Savart: con L versore del primo filo

Calcoliamo la forza Sviluppando il doppio prodotto vettoriale perché a è perpendicolare a d2 Integrando Il segno “-” vale quando le correnti sono concordi, cioè correnti concordi si attirano, Possiamo dare una definizione operativa di ampère: È la corrente che deve scorrere lungo due fili di spessore trascurabile, lunghezza indefinita, posti alla distanza di 1 m, per far sì che i fili si attirino con una forza per unità di lunghezza pari a

Legge di Circuitazione Sappiamo già che il campo di induzione magnetica è solenoidale (le sue linee di flusso sono sempre chiuse). Dobbiamo conoscere il suo rotore per essere in grado di calcolarlo assegnate le correnti. Proviamo a calcolare la circuitazione del campo di Biot-Savart su una linea arbitraria a2 i z P2  r a1 l. di f. B0 d P1 y x

Guardando dall’alto una linea di flusso di B0 e la proiezione dt di d sul piano orizzontale Pertanto dt Da questo risultato potremmo erroneamente pensare che il campo B0 sia irrotazionale, ma così non è. In fatti la linea che abbiamo scelto ha una caratteristica particolare: non è concatenata con la corrente cioè l’area che sottende non è attraversata dalla corrente che genera il campo Bisogna calcolare la circuitazione lungo una linea che si concatena con la corrente

Stavolta avremo z i  a1 P1 d y x Stavolta il risultato non è nullo: dobbiamo concludere che il campo generato da un filo rettilineo non è irrotazionale. Ma ci sono molte altre considerazioni da fare.

A causa della cancellazione del raggio, il risultato non dipende dalla forma della linea né dall’area della superficie sottesa, ma solo dalla circostanza che il percorso sia concatenato oppure no Se la linea si concatena K volte con il filo, p. es. una linea molteplicemente connessa oppure riavvolta più volte su se stessa La circuitazione diventa semplicemente Una stessa linea si può concatenare in senso levogiro (regola della mano destra) o opposto. Oppure ancora si può concatenare K volte in senso levogiro e K’ volte in senso opposto. In tal caso

In sostanza il risultato che troviamo, detto n ilnumero di concatenazioni, è Tale risultato è facilmente generalizzabile ad un circuito di forma qualunque i 1 2 Se le dimensioni lineari del percorso 2 sono piccole rispetto al raggio di curvatura del filo, il campo B0 deve essere molto simile a quello di Biot-Savart, quindi deve valere il risultato Posso ora immaginare di costruire un percorso non concatenato, costituito da e e da due tratti rettilinei vicini percorsi in senso inverso ovvero i -1 2 3 4 i 1 2

Facendo l’integrale di circuitazione nel limite in cui i tratti 3 ed 4 coincidono si ottiene perché il percorso totale non è concatenato Ne segue che Allora il risultato trovato è di grande generalità e si può scrivere dove Iconc rappresenta la corrente totale concatenata col circuito Ma deve essere pure pertanto Applicando il Teorema di Stokes Data l’arbitrarietà della linea 

Equazioni di Maxwell per la Magnetostatica Siamo in grado quindi di scrivere un sistema di equazioni per calcolare il campo di induzione, una volta che sono assegnate le correnti Nota quindi la distribuzione di correnti e le condizioni al contorno, possiamo determinare univocamente (teorema di Univocità) il campo B0 Notiamo che al contrario del campo elettrostatico, il campo di induzione magnetica è sempre solenoidale ma non irrotazionale Queste equazioni sono molto generali ed hanno solo la restrizione di valere solo per correnti stazionarie (ed in assenza di monopoli magnetici isolati): sono Leggi di Natura Visto che la I formula di Laplace funziona, essa deve essere contenuta in queste equazioni Sono pertanto più generali delle formule di Laplace, che valgono solo per fili privi di spessore

Il Potenziale Vettore Visto che il campo B0 non è irrotazionale non possiamo definire un potenziale magnetostatico analogo a quello elettrostatico (salvo per quei percorsi che non si concatenano mai con le correnti) Possiamo tuttavia sfruttare la solenoidalità del campo per introdurre un campo risolvente: il Potenziale Vettore Sostituendo nella seconda equazione: È una equazione molto complicata ma è semplificabile con un trucco di importanza fondamentale. Aggiungendo ad A il gradiente di un campo scalare arbitrario si ottiene Pertanto esistono infiniti arbitrari potenziali vettore che forniscono lo stesso campo B0 Se fra questi ne esiste uno (A*) che è anche solenoidale deve essere Eq. di Poisson: Ha soluzioni!!

La legge di circuitazione si riduce allora a Questa, di nuovo, non è altro che l’equazione di Poisson di cui conosciamo le soluzioni: (in assenza di correnti superficiali) Come già detto la valenza di questa soluzione è generale, al contrario di quella ricavata fenomenologicamente della I formula di Laplace. Bisogna però dedurre quest’ultima dalle formule generali

Campo generato da una corrente in un filo privo di spessore Le formule di Laplace si applicano a fili privi di spessore. Tale locuzione evidentemente implica cha lo spessore non nullo del filo può essere trascurato rispetto alle distanze dove si cercano i campi d DS (x,y,z) (x’,y’,z’) Nel punto campo (x,y,z) avremo un potenziale vettore A(x,y,z) dato da

Se eseguiamo il rotore di ambo i membri otterremo il campo Se eseguiamo il rotore di ambo i membri otterremo il campo. Bisogna riflettere, però, sul fatto che l’integrale si intende da farsi nello spazio sorgente, mentre l’operazione di rotore va fatta nello spazio campo Utilizzando l’identità e realizzando che d si riferisce ai punti sorgente (indipendenti dai punti campo) si ottiene La precedente equazione è proprio la I formula di Laplace

Il Teorema di Equivalenza di Ampère Siamo adesso in grado di dimostrare questo fondamentale teorema: Una spira percorsa da corrente è fisicamente equivalente ad un ago magnetico. Possiede un momento di dipolo magnetico perpendicolare al piano della spira, il cui verso segue la regola della mano destra (se la corrente scorre secondo il verso delle dita il momento è diretto come il pollice) ed il cui modulo vale: con S area della spira Per dimostrare questa equivalenza dobbiamo dimostrare che una spira immersa in un campo magnetico ruota come un ago magnetico e che la stessa spira genera nello spazio circostante un campo magnetico identico a quello di un ago Dimostreremo prima l’equivalenza meccanica e dopo quella fisica

Equivalenza meccanica fra ago e spira Consideriamo una spira piccola rettangolare ed inestensibile immersa in un campo di induzione magnetica uniforme B0 q 1 2 3 4 a Le due forze F2 ed F4 hanno uguale modulo e verso opposto: se la spira è inestensibile non danno luogo a nessun effetto fisico

Non è così per gli altri due lati, perché le rette di applicazione delle forze sono diverse (parallele) 1 2 3 4 B0 q q Tuttavia i moduli di F1 ed F2 sono uguali Quindi costituiscono una coppia il cui braccio è proprio 2,ed il cui momento di rotazione ha modulo Per effetto di tale momento la spira ruota in senso antiorario e si avrà

Sulla base delle considerazioni fatte per i dipoli magnetici, un ago magnetico il cui momento sia m, e sia orientato come il versore n perpendicolare al piano della spira, immerso in un campo magnetico H, esso ruoterà sotto l’azione di un momento meccanico pari a Confrontando con il precedente risultato e definendo Possiamo dire che una spira elettrica ruota sotto l’azione di un campo magnetico H, come se fosse un ago magnetico di momento di dipolo magnetico dato da Questo è un risultato fondamentale: abbiamo capito che è possibile associare ad un circuito percorso da corrente un momento di dipolo magnetico. Notare che m ed il prodotto (iS) sono legati da una costante universale! Anche B0 ed H sono legati da una costante universale: sono quindi la stessa grandezza fisica. Ecco perché nell’esperimento di Oersted l’ago magnetico ruota in presenza del campo di induzione generato dalla corrente.

Molto più complicata è la dimostrazione che una spira ed un ago generano lo stesso campo magnetico. Un ago magnetico il cui momento è m genera in r un campo H (x,y,z) z x y Data l’assoluta analogia col dipolo elettrico, il campo magnetico a distanza grande (rispetto alle dimensioni lineari del dipolo) sarà:

Se sostituiamo al dipolo una spira precorsa da corrente i e di dimensioni piccole rispetto alla distanza a cui vogliamo il campo (r>> 1, 2) (x,y,z) z x y 1 2 3 4 Per calcolare il campo B0 posso usare il potenziale vettore sapendo che la densità di corrente sarà il vettore

Per il calcolo della componente x del potenziale vettore, contribuiranno positivamente il lato 3 e negativamente il lato 1. Dovrò eseguire l’integrale z x y (x,y,z) 1 2 3 + - DS Per eseguire l’intetrale è possibile fare la seguente analogia. Dobbiamo scrivere la soluzione di una equazione di Poisson nella geometria indicata: un volumetto con una distribuzione negativa ed un volumetto con una distribuzione positiva di sorgenti, con le dimensioni e la separazione dei volumetti molto più piccola della distanza alla quale voglio il campo

Una geometria assolutamente analoga a questa è quella in cui abbiamo calcolato il potenziale elettrostatico di un dipolo elettrico. Siccome anche il potenziale elettrostatico è soluzione di una equazione di Poisson, possiamo fare le seguenti analogie: Ma per V conosco già la soluzione nel limite di grandi distanze dall’origine! Perché si tratta di un dipolo elettrico orientato in senso opposto all’asse delle y, il cui modulo è proprio la quantità in parentesi Sostituendo Perché la quantità tra parentesi è il momento magnetico associato alla spira

Procedendo analogamente per la componente Ay con la sola differenza che stavolta il dipolo è orientato come l’asse x (x,y,z) 1 2 4 + - DS z x y Per ottenere il campo basta fare il rotore del vettore

Si ottiene Che è, naturalmente, lo stesso risultato trovato precendentemente per il campo di un ago magnetico nell’origine

Alcune considerazioni sul Teorema di Equivalenza Se non avessimo dimostrato questo teorema non avremmo potuto sostenere che le azioni di una corrente su un’altra, di una corrente su un ago magnetico, di un magnete su cariche in moto, etc. hanno tutte la stessa origine fisica: i moti delle cariche elettriche Senza il Teorema di Ampère, la chiusura del cerchio, avremmo dovuto pensare che i fenomeni fisici di cui sopra avessero una natura diversa. In altre parole abbiamo scoperto che le forze che un filo percorso da corrente esercita su un altro sono forze magnetiche non elettrodinamiche (come si pensava prima). Abbiamo unificato due fenomeni fisici solo apparentemente diversi Resta da chiedersi: dove sono le correnti all’interno della materia che generano il campo magnetico capace di allineare la limatura di ferro? Perché un chiodino di ferro calamitato è capace di attrarre altri chiodini? Come posso incidere un nastro od un disco magnetico? ? Dobbiamo studiare cioè il comportamento della materia sottoposta a campi magnetici esterni, e vedremo che le correnti microscopiche che generano i campi sono i moti degli elettroni al suo interno