IL QUESTIONARIO e le considerazioni dei commissari di Matematica a cura della Prof.ssa Serenella Iacino Roma, 13 Novembre 2013

L’ Indagine Nazionale del 2013 sui risultati della prova scritta di Matematica nei licei scientifici ordinamento e sperimentali ha interessato 72˙436 studenti su un totale di 119˙822 candidati assegnati a 2˙916 Commissioni su un totale di 3˙360.

Indagine Nazionale QUESTIONARIO La partecipazione delle Commissioni alla Indagine Nazionale attraverso la compilazione di un QUESTIONARIO ha riscosso quest’anno una elevata adesione che, in alcune regioni, ha sfiorato il 90%.

REFERENTI REGIONALI GIORNATE MATEMATICHE Questo risultato è stato ottenuto grazie all’impegno dei REFERENTI REGIONALI oltre che al successo delle GIORNATE MATEMATICHE che si sono svolte in tutte le regioni nell’anno scolastico 2012 – 2013 organizzate dai rispettivi UFFICI SCOLASTICI REGIONALI

I Questionari 3˙438 compilati dai Commissari nel 2013 sono stati e ogni questionario ha riguardato 1 o 2 classi.

Numero dei questionari delle Commissioni per regione Abruzzo Basilicata Calabria Campania Friuli Lazio Liguria Lombardia Marche Molise Piemonte Puglia Sardegna Sicilia Toscana Trentino Umbria Val d’Aosta Veneto Emilia Romagna 90 48 180 543 212 56 280 68 447 32 229 355 115 244 147 22 57 5 218

Le percentuali per regione

Nel Questionario sono stati coinvolti più di 600 docenti che hanno espresso un parere sulle seguenti tematiche 1) modalità di articolazione della prova scritta in problemi e quesiti; 2) contenuti della traccia, in particolare sulla rispondenza della stessa ai programmi di insegnamento effettivamente svolti; 3) difficoltà palesate dai candidati; 4) valutazioni attribuite agli elaborati d’esame; 5) modifiche ed integrazioni al Syllabus 2009.

realizzato nell’anno 2009, ha rappresentato IL SYLLABUS realizzato nell’anno 2009, ha rappresentato un elenco preciso e dettagliato di quanto deve essere accertato in sede di prova scritta; il riferimento per la definizione e la formulazione delle tracce di esame proposte in questi anni.

Indicazioni Nazionali Si vuole ora preparare un Nuovo Syllabus delle conoscenze, delle abilità e delle competenze da accertare nel Nuovo Esame di Stato che sarà, nel 2015, in linea con le Indicazioni Nazionali

una griglia di valutazione ciascuna parte della traccia I docenti delle Commissioni sono stati inoltre invitati ad adottare criteri comuni per la valutazione della prova scritta di matematica utilizzando una griglia di valutazione con dei pesi prefissati, a livello nazionale, per ciascuna parte della traccia

Una griglia così articolata consente una maggiore uniformità di giudizio rende comparabili i risultati di apprendimento.

Tutto questo è presente nel questionario 2013.doc che è suddiviso in 5 tabelle

Le 5 tabelle nel dettaglio

La tabella A riguarda la scelta, da parte dei candidati, del problema e dei 5 quesiti tra quelli proposti, nonché il punteggio relativo ottenuto

La tabella B riguarda la scelta o meno dell’ utilizzo da parte dei Commissari di Matematica della Griglia Nazionale di valutazione del problema e dei quesiti

La tabella C rileva se i commissari di matematica ritengano di mantenere o meno l’articolazione della traccia in problemi e quesiti.

si occupa degli aspetti didattici La tabella D si occupa degli aspetti didattici ovvero: rispondenza della traccia proposta con i programmi effettivamente svolti; livello di complessità dei calcoli da utilizzare per svolgere la prova;

chiarezza del testo della traccia proposta; 4) complessità nella risoluzione della traccia; 5) difficoltà incontrate dai candidati: 5.1 - se dipendenti da argomenti non trattati in classe. 5.2 - se dipendenti dalla novità della formulazione

e infine La tabella E in cui si chiede se i problemi ed i quesiti siano coerenti con il Syllabus 2009 e con le Indicazioni Nazionali e se, in caso contrario, quali siano gli argomenti da non riproporre e quali da introdurre a partire dalla sessione 2015

LA TRACCIA ORDINAMENTO 2013

∫ Il soggetto principale del problema è la funzione integrale: f(x) = x t 2 [cos( ) + ] dt 1 facilmente calcolabile mediante semplice integrazione: 2sen( ) + x f(x) = x 2 1

La prima domanda chiede di determinare f’(x) mediante l’applicazione del Teorema fondamentale del calcolo: x 2 f’(x) = cos( ) + 1 e di determinare il grafico di f’(x) mediante una procedura sintetica e cioè partendo dal grafico di x 2 y = cos( ) e applicando a questo una traslazione 1 2 di vettore v (0, );

La seconda domanda chiede di determinare il grafico di f(x) deducendolo da quello di f’(x). -1 1 2 3 4 5 f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 f’(x)

∫ La terza domanda chiede il valor medio di f’(x) sull’ intervallo [0,2Π] mediante l’applicazione del teorema del valor medio: Valor medio = ∫ 2Π 1 x 2 [cos( ) + ] dx =

∫ La quarta domanda chiede il volume di un solido a fettine: 4 Πx 3sen( ) dx = 24 Π Area(x) dx =

Il problema è interamente basato sui concetti dell’Analisi del 5° anno e cioè: 1) Il Teorema fondamentale del Calcolo 2) Il valor medio di una funzione su un intervallo 3) Il calcolo dei volumi 4) Lo studio del grafico di una funzione

Il soggetto principale del 2° problema è la funzione chiamata “ Versiera di Agnesi “ 8 f(x)= 4 + x 2

Nella prima domanda si chiede di studiare la funzione e determinarne il grafico: 5 2 f(x) 1,5 1 0,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5

Inoltre si chiede di determinare: e di considerare il rombo individuato dalle due tangenti con le rette OP e OQ e di calcolare i suoi angoli: le equazioni delle rette tangenti alla curva in due suoi punti P e Q M 2 1,5 P Q 1 0,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 O 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5

costruito con un procedimento che considera una Nella seconda domanda costruito con un procedimento che considera una circonferenza di raggio unitario e centro C (0,1) e due rette di cui una per l’origine e l’altra y = 2 parallela all’asse x. si chiede di riconoscere in f(x) l’equazione del luogo geometrico di un punto, y = mx B y = 2 2 1,5 1 C A 0,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 O 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5

Nella terza domanda si chiede di calcolare l’area della zona R compresa tra il grafico di f(x) e l’asse x nell’intervallo [0,2] ∫ 8 4 + x 2 dx = Π 2 1,5 1 R 0,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 O 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5

∫ e l’area della zona compresa tra f(x) e 8 tutto l’asse x : dx = 4Π 2 -∞ dx = 4Π +∞ 2 1,5 1 0,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 O 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5

∫ R Nella quarta domanda si chiede di calcolare il volume del solido ottenuto ruotando la regione R intorno all’asse y: 2 - y y Vol = 4∙Π∙1 + Π ∫ 1 2 g (y) dy = 4∙Π∙1 + 4 Π dy = 2 = 8Π∙ln2 1,5 1 R 0,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 O 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5

dell’Analisi, della Geometria e Trigonometria: Il problema è basato sui seguenti concetti dell’Analisi, della Geometria e Trigonometria: 1) Studio del grafico di una funzione 2) Equazione di un retta tangente ad una curva 3) Angolo tra due rette 4) Equazione di un luogo geometrico 5) Calcolo di un’area mediante un integrale definito e un integrale improprio di 1° specie 6) Calcolo del volume di un solido di rotazione

dell’Analisi, della Geometria e Il questionario è basato sui seguenti concetti dell’Analisi, della Geometria e Trigonometria: 1) Area di un triangolo in funzione di due lati e dell’angolo compreso 2) Dominio di una funzione 3) Distanza punto - retta 4) Similitudine fra triangoli e volume di un tronco di cono

5) Percentuale 6) Calcolo combinatorio 7) Rapporto di similitudine tra aree e lati di figure piane simili 8) La funzione integrale 9) Calcolo di un limite 10) Crescenza e decrescenza di una funzione

in quanto propone quasi tutti gli argomenti presenti Quindi, dall’esame della Traccia dell’ordinamento, si può stabilire che la stessa è in sintonia con le Indicazioni Nazionali in quanto propone quasi tutti gli argomenti presenti nell’area denominata “ Relazioni e funzioni “

impartita al 5° anno , ed esattamente: 1) Concetto di limite 2) Continuità, derivabilità, integrabilità 3) Calcolo di aree e volumi nonché al 2° biennio, e cioè: 4) La geometria solida 5) Il calcolo combinatorio 6) Il calcolo approssimato

Come pure Il compito richiede anche allo studente di aver fatto propri alcuni concetti fondamentali dell’analisi, come ad esempio dedurre il grafico di f(x) dal grafico di f’(x) concetto che è presente sia nel 1° problema che nel quesito n°10.

LA TRACCIA PNI 2013

La prima parte del problema chiede di determinare il grafico di f’(x) a partire da quello di f(x) e f’’(x) f(x) 6 F 4 f’(x) 2 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 f’’(x) -2

La seconda parte del problema chiede di considerare la x come variabile tempo ed f(x) come la numerosità di una popolazione al tempo x si vuol sapere quali sono le informazioni che ne possiamo dedurre dal suo grafico la numerosità è crescente dal valore 1 raggiunto al tempo 0 al valore 8 al tendere del tempo all’infinito Il flesso al tempo x=2 ci dice che il tasso di crescita della popolazione è crescente nel periodo 0 ≤ x ≤ 2 e decrescente nel periodo successivo

La terza parte del problema chiede di determinare a e b sapendo che la funzione è la seguente: a f(x)= 1 + e b - x a = 4 1 + e b - 2 poiché f(x) passa per il flesso (2,4) si ha: Inoltre se la retta y=8 è un asintoto orizzontale: = 8 lim x ∞ a 1 + e b - x da qui ne segue che a=8 e b=2

La quarta parte del problema chiede di calcolare l’area della parte di piano compresa tra il grafico di f’’(x) e l’asse x nell’ intervallo [0,2]: -2 2 4 6 8 10 f’’(x) f’(x)= 1 + e 2 - x ( 8 ∙ e ) 2 8 f(x)= 1 + e 2 - x Area = ∫ f’’(x) dx = f’(2) – f’(0) = 2 - 2 1 + e ( 8 ∙ e )

Il soggetto principale del 2° problema è la funzione f(x) = x ∙ ln(x) 3 Lo stile standard di questo problema lo ha reso più accessibile ad ogni studente mediamente preparato, per cui è stato il più scelto tra i due proposti

La prima domanda chiede di disegnare f(x) e di calcolare i valori approssimati delle ascisse del punto di minimo e di flesso 0,5 f(x) P -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 -0,5

La seconda domanda chiede di determinare la parabola con asse verticale, passante per l’origine e tangente a f(x) in P(1,0) Si tratta di una parabola del tipo y = a∙x + b∙x + c 2 passante per O (0,0): c = 0 passante per P (1,0): a + b = 0 avente la stessa tangente di f(x) in P: y = x - 1 y = x - x 2

∫ La terza domanda chiede di calcolare l’area della parte di piano compresa tra l’asse x, f(x) nell’intervallo (0,1]; in pratica si chiede di risolvere l’integrale improprio di 2° specie: ∫ dx x ∙ ln(x) 3 1 = 16 0,5 f(x) 1 P -1,5 -1 -0,5 1,5 -0,5

La quarta domanda chiede di scrivere l’equazione della curva simmetrica di f(x) rispetto all’asse y: y = - x ∙ ln(- x ) 3 e rispetto alla retta di equazione y=-1: y = - x ∙ ln( x ) 3 - 2

Il secondo problema è basato sui concetti dell’Analisi del 5° anno e della geometria del 2° biennio cioè: 1) Studio del grafico di una funzione 2) Equazione di una parabola date 3 condizioni 3) Il calcolo dell’area mediante un integrale improprio di seconda specie 4) Le simmetrie

dell’Algebra del biennio: Per quanto riguarda il questionario, i quesiti n. 1-3-4-6 sono in comune con la traccia ordinamento; quelli non in comune – i numeri 2-5-7-8-9-10 - sono basati sui concetti dell’Analisi, della Probabilità e dell’Algebra del biennio: 2) Derivata di una funzione 5) Percentuale 7) Calcolo delle probabilità 8) Calcolo di un limite 10) Calcolo delle radici di una equazione

Deve, inoltre, rilevarsi che sono stati scelti anche argomenti attinenti alla realtà (quesito 5 e quesito 7) sia ordinamento che PNI

I commenti dei Commissari

Nella tabella E il Questionario ha proposto ai Commissari la domanda “ Dalla sessione 2015, quando saranno pienamente operative le Indicazioni Nazionali, quali argomenti, presenti nelle tracce di questi anni, non saranno più da proporre, quali invece quelli da introdurre ? “ (max. 400 caratteri)

Le risposte sono state 584 ripartite secondo gli indirizzi di provenienza. 359 I commenti dell’ordinamento sono stati 278 Tuttavia ne sono stati elaborati in quanto 81 commissari, anziché rispondere alla domanda, hanno preferito utilizzare lo spazio a disposizione per esprimere un giudizio sulla traccia assegnata

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi: 1) Alcuni studenti hanno confuso il Teorema di Lagrange con il Teorema del valor medio. 2) I contenuti presenti nelle tracce risultano coerenti con i programmi svolti. 3) Il testo è ben formulato e chiaro e di media difficoltà.

4) Apprezzo la griglia di valutazione e la presenza di esercizi che si riferiscono agli anni precedenti per poter valutare meglio la preparazione degli studenti. 5) E’ importante che i docenti svolgano davvero il programma che fanno firmare agli alunni.

6) Sarebbe necessario ridurre il tempo di svolgimento della prova e portarlo da 6 ore a 3 ore, in quanto gli studenti dopo 3 ore hanno già terminato la parte principale del compito e passano il restante tempo nel tentativo di collaborare.

“Va bene, nulla da segnalare o da modificare” Altri Commissari hanno dato risposte del tipo: “Nessuna” o “No comment” queste risposte sono state considerate come: “Va bene, nulla da segnalare o da modificare”

questi argomenti sono stati considerati tutti Altri Commissari hanno scritto un elenco di argomenti senza alcuna indicazione del tipo “da introdurre” “da non proporre” questi argomenti sono stati considerati tutti “da introdurre”

Invece le risposte del tipo: Si veda quanto già scritto per la classe 5° sez.E della stessa Commissione Vedi quanto già indicato per la sezione B Vedi giudizio espresso per la classe 5°C non sono state elaborate

63 Commissari (circa il 23%) affermano che la traccia assegnata va bene così; è da mantenere l’attuale struttura degli argomenti proposti; non vanno aggiunti altri argomenti in quanto è difficile completare i programmi con solo 3 ore settimanali di lezione. Molti Commissari auspicano di poter dedicare l’ora in più settimanale per un approfondimento di quanto viene attualmente insegnato.

Per altri gli argomenti proposti vanno bene ma occorrerebbe modificare l’impostazione della prova in quanto viene dato eccessivo peso al calcolo integrale e al programma svolto negli anni precedenti al 5°.

Per altri ancora E’ necessaria una prova che richieda meno calcoli e che sia più chiara nel testo.

47 Commissari (circa il 17%) propongono l’introduzione nella traccia d’esame del calcolo delle probabilità e di elementi di statistica

non si vorrebbero presenti nella traccia argomenti Emerge anche che non si vorrebbero presenti nella traccia argomenti di trigonometria e goniometria Tali argomenti dovrebbero essere svolti durante il 1° biennio mentre sono di fatto oggetto di studio nel 2° poichè i docenti delle classi inferiori incontrano difficoltà nello svolgere tutti gli argomenti presenti nelle Indicazioni Nazionali.

Taluni commissari eliminerebbero il calcolo combinatorio, la probabilità e statistica, le equazioni differenziali e la geometria solida e piana per lasciar maggior spazio alla geometria analitica e all’analisi.

Per altri sono da proporre argomenti relativi al 5° anno come le successioni numeriche, le equazioni differenziali collegate a fenomeni fisici e le coordinate cartesiane nello spazio.

Inoltre é proposto da diversi esaminatori L’inserimento di argomenti relativi al 2° biennio come: i numeri complessi, le sezioni coniche, i luoghi geometrici, le funzioni esponenziali e logaritmiche, l’algebra vettoriale così come l’ introduzione di argomenti come l’analisi numerica, le trasformazioni geometriche e la geometria analitica nello spazio.

L’esame delle risposte fornite ha evidenziato anche che è auspicato il potenziamento dello studio di una funzione e della sua continuità e derivabilità nonché della geometria solida e piana. Mentre una qualche contrarietà emerge riguardo alla proposizione di quesiti sulla storia della matematica.

sono stati suddivisi in cinque gruppi di tipologia I commenti del PNI sono stati suddivisi in cinque gruppi di tipologia omogenea: Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Tipo E

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo A i quali hanno in comune l’assenza di rilievi di novità: Gli argomenti formulati nel Syllabus 2009 vanno bene. Nessun argomento nuovo da introdurre, vista la riduzione del monte ore. Vanno riproposti tutti gli argomenti presenti nelle tracce del 2013.

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo B i quali si sono caratterizzati per la stringatezza delle risposte: Nessuna Quesiti 5,6,9 Probabilità Calcolo integrale e approssimazione radici Queste sembrano risposte ad una domanda del tipo: “Quali quesiti e quali argomenti proposti non hanno rispondenza con ciò che è specificato nel Syllabus 2009 ?”

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo C i quali sono contraddistinti da assenza di proposta: Non ho rilievi Non lo so Nulla da segnalare Nulla da obiettare Nessun commento

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo D che si potrebbero definire risposte singolari: Si sceglie di non dare risposta alla domanda ritenendo più qualificante farlo nel futuro esame di stato 2013-14. Nel questionario erano assenti gli integrali. Consiglierei di trattare la geometria solida come problema di massimo e di minimo.

Ho notato che, nonostante le ore in più di insegnamento che ci sono rispetto al liceo ordinamento, i programmi svolti nel PNI sono quasi uguali a quelli dell’indirizzo tradizionale. In questo momento non riesco a dare il mio contributo e non mi sento preparata a rispondere a questa domanda. Non possediamo adeguati elementi di giudizio.

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo E che hanno mostrato una qualche positività: Bisogna fare un Syllabus più specifico e che sia pienamente condiviso altrimenti temo il peggio perché, in riferimento al corso PNI, le ore di matematica sono diminuite ed il programma è aumentato.

Bisognerebbe rivoluzionare i libri di testo per eliminare esercizi e problemi ripetitivi e meccanici che ripropongono stessi schemi e procedure. E’ stata rilevata, negativamente, la proposizione di problemi tipo olimpiadi o giochi matematici. Si è proposta la riduzione del tempo della prova: si ritengono sufficienti 3 quesiti nel problema e 3 nel questionario.

La riduzione delle ore di matematica imporrà il taglio di alcuni argomenti quali, ad esempio, probabilità e statistica. Le tracce dovranno essere orientate verso una matematica più applicata, ma molti insegnanti non si adeguano alle innovazioni dei programmi curricolari ed è questo uno dei motivi delle difficoltà che i ragazzi incontrano nella seconda prova.

E’ preferibile non inserire geometria solida in quanto difficilmente si riesce a trattare in modo esaustivo. Sono da introdurre le equazioni differenziali, la Statistica, i problemi di applicazione della matematica al mondo reale e la probabilità.

GRAZIE per l’attenzione Prof.ssa Serenella Iacino

Si tratta di calcolare l’area di un triangolo in funzione delle misure di due lati e del seno dell’angolo compreso: C B A AC=3 AB=2 α = 2 2 ∙ 3 ∙ sen α 3 = sen α 1 = α 90° BC = 13

Si tratta di calcolare il dominio attraverso un semplice sistema di disequazioni. 3 – x ≥ 0 ≤ 2 3 – x ≥ 1 -1 ≤ x ≤ 2

In questo quesito è presente il concetto di geometria analitica della distanza di un punto da una retta; inoltre si chiede la distanza massima attraverso il calcolo della derivata della funzione distanza.

Si calcola il volume del tronco attraverso la differenza dei P Si calcola il volume del tronco attraverso la differenza dei volumi tra la piramide grande e quella piccola. 1 Notiamo anche la similitudine tra i triangoli VHE e VH P per determinare VH

Dato un parallelepipedo di dimensioni a, b, c, se si aumentano ad es. del 10% il volume V = a∙b∙c diventa V’ = (a+10%a)(b+10%b)(c+10%c)=V∙(1+10%)³. Quindi l’aumento è V’-V = V[(1+10%)³-1]=33%V

Il 6° quesito riguarda il calcolo combinatorio e in particolare le permutazioni

A B C D F E AB = b BC = a BF = Esiste un rapporto di similitudine tra le aree e i quadrati dei lati dei rettangoli simili: a 2 A = 1m² A’ = a² 1∙b² = 2 a ∙ b a² 1∙b² A : A’ = a² : b² b = 4 2 1 4 a = 2

g(x) è una funzione integrale: g’(x) = f(x) 2 g’(x) > 0 per 0<x<2 e x>4 , g(x) è crescente 1 1 2 3 4 g’(x) < 0 per 2<x<4 g(x) è decresc. -1 g(x) ha un minimo per x = 4

Per il calcolo di questo limite si può applicare il 1° limite notevole o gli infinitesimi equivalenti = lim 4 x² sen x (cos x – 1) x 0 x [ - (1 - cos x)] x ∙ - x² 2

4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y x f(x)

Il grafico di f’(x) è il quarto. 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y x f’(x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y x f’(x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y x f’(x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y x f’(x) Il grafico di f’(x) è il quarto.

f’(1) – 2 f’(2) = 5 f’(1) – 4 f’(4) = 19 f’(2) – 2 f’(4) = 7

Questo quesito è molto simile al quesito 5 dell’ordinamento e riguarda la percentuale

Su 10 persone 6 hanno gli occhi azzurri e 4 no; la probabilità che due persone estratte non abbiano gli occhi azzurri è: 4 2 10 15 =

Si pone x – Π = y con y 0 = lim y sen (y + Π) - e sen Π = lim y - 1 = - 1 lim y y 0 - sen y