Divisione tra un polinomio ed un binomio Regola di Ruffini

Divisione tra due numeri Nella divisione tra due numeri, quattro sono gli elementi che vi entrano in gioco: il dividendo (D), il divisore (d), il quoziente (Q) ed il resto (R). Esempio: Eseguire la divisione tra il numero 38, che è il dividendo, D, ed il numero 7, che è il divisore, d. L’esecuzione della divisione è la seguente:

Divisione tra due numeri I quattro numeri che compaiono nella divisione sono: 38 Dividendo (D) 7 Divisore (d) 5 Quoziente (Q) 3 Resto (R)

Divisione tra due numeri I quattro numeri, cioè il dividendo, il divisore, il quoziente ed il resto, sono legati dalla seguente relazione: Tale relazione costituisce una prova della corretta esecuzione della divisione. Generalizzando la relazione numerica particolare ad un caso più ampio si ha:

Divisione tra due numeri Pertanto in una divisione, il dividendo si ottiene moltiplicando il divisore per il quoziente della divisione ed aggiungendo il resto della divisione.

Divisibilità Al termine della esecuzione di una divisione, possono verificarsi due casi: 1) Il resto (R) della divisione è zero R = 0 allora il dividendo, D, ed il divisore, d, si dicono divisibili tra di loro. La relazione diventa: Esempio: Dividendo 24 per 8, si ottiene come quoziente 3 e resto zero. Ciò significa che 24 ed 8 sono divisibili tra di loro. Ovvero, 24 è un multiplo di 8.

Divisibilità 2) Nel secondo caso, il resto (R) della divisione è diverso da zero: R  0 allora il dividendo, D, ed il divisore, d, si dicono non divisibili tra di loro. La relazione è quella generale: Esempio: Dividendo 38 per 7, si ottiene come quoziente 5 e resto 3 (esempio precedente). Ciò significa che 38 e 7 non sono divisibili tra di loro. Ovvero, 38 non è un multiplo di 7.

Divisione tra polinomi La terminologia e le considerazioni fatte per il caso della divisione tra due numeri si applicano in modo identico al caso della divisione tra due polinomi. La divisione del polinomio dividendo A(x) per il polinomio divisore B(x), entrambi polinomi nella variabile x, fornisce un polinomio quoziente Q(x) ed un polinomio resto R(x). La relazione che unisce i quattro polinomi è identica a quella scritta in precedenza:

Osservazione sulla divisione tra polinomi Qualche osservazione sulla relazione che collega dividendo, divisore, quoziente e resto. Il grado del resto, R(x), deve essere inferiore a quello del divisore, altrimenti la divisione proseguirebbe fino a che non si verifichi tale condizione. La somma dei gradi del divisore e del quoziente deve essere uguale a quello del dividendo.

Divisibilità tra polinomi Anche nella divisione tra due polinomi possono verificarsi due casi. 1) caso. Se il resto, R(x), della divisione è zero R(x) = 0 allora i due polinomi, A(x) e B(x) sono divisibili tra di loro, e la relazione che li lega è la seguente: A(x) = B(x) Q(x) 2) caso. Se il resto, R(x), della divisione è diverso da zero allora i due polinomi, A(x) e B(x) non sono divisibili tra di loro, e la relazione che li lega è la seguente: A(x) = B(x) Q(x) + R(x)

Divisione per un binomio Un caso particolare di divisione tra polinomi, si ha quando il divisore, B(x), è un binomio di primo grado nella variabile x, ed il coefficiente della variabile x è pari ad uno. Quindi il binomio divisore è del tipo: B(x) = x – a In base a ciò che è stato scritto in precedenza, il grado del resto deve essere inferiore a quello del divisore. Poiché il grado del divisore è uno, allora il grado del resto deve essere zero, cioè il resto è un numero (monomio senza la presenza della variabile x). Inoltre il grado del quoziente deve essere di una unità inferiore a quello del dividendo. Cioè se il grado del dividendo è n, quello del quoziente è n-1.

Divisione mediante la regola di Ruffini Un modo molto semplice di eseguire la divisione tra un polinomio ed un binomio di primo grado è quello di utilizzare la regola di Ruffini. La regola verrà illustrata mediante un esempio. Esempio: Eseguire la divisione tra il polinomio: A(x) = 5x3 – 4x – 7x2 + 9 per il binomio di primo grado, a coefficiente unitario della variabile x, B(x) = x + 2

Divisione mediante la regola di Ruffini Prima di iniziare la divisione è necessario ordinare in senso decrescente i polinomi dividendo A(x) ed divisore B(x): A(x) = 5x3 – 7x2 - 4x + 9 B(x) = x + 2

Regola di Ruffini - esecuzione Esecuzione della divisione mediante la regola di Ruffini. Si dispongono su di una linea tutti i coefficienti della variabile x ed il termine noto 5 -7 -4 9 Prima riga

Regola di Ruffini – esecuzione - 1 Si disegnano due segmenti verticali: Il primo davanti al primo coefficiente, cioè il 5, il secondo davanti al termine noto del polinomio dividendo, cioè il 9. 5 -7 -4 9 Prima riga

Regola di Ruffini – esecuzione - 2 Successivamente si traccia un segmento orizzontale. 5 -7 -4 9 Prima riga

Regola di Ruffini – esecuzione - 3 Il polinomio divisore è: B(x) x + 2, dove +2 è il termine noto. Nell’angolo a sinistra, sulla seconda riga, si introduce l’opposto del termine noto, cioè -2. 5 -7 -4 9 Prima riga -2 Seconda riga Terza riga

Regola di Ruffini – esecuzione - 4 Si abbassa sulla terza riga il coefficiente del primo termine del polinomio dividendo; cioè il numero 5 5 -7 -4 9 Prima riga -2 Seconda riga Terza riga 5

Regola di Ruffini – esecuzione - 5 Si moltiplica il coefficiente (-2) per il coefficiente della terza riga abbassato precedentemente (5). Si ottiene il prodotto (-10). (-2)  (5) = -10 5 -7 -4 9 Prima riga -2 Seconda riga  Terza riga 5

Regola di Ruffini – esecuzione - 6 Il prodotto (-10) si posiziona nella seconda riga sotto il secondo coefficiente (7). 5 -7 -4 9 Prima riga -2 -10 Seconda riga  Terza riga 5

Regola di Ruffini – esecuzione - 7 Si esegue l’addizione tra il secondo coefficiente (-7), che si trova nella prima riga, ed il prodotto (-10) della seconda riga. La somma (-7) + (-10) = -17 viene posizionata nella stessa colonna dei due addendi e nella terza riga. 5 -7 -4 9 Prima riga + -2 -10 Seconda riga Terza riga 5 -17

Regola di Ruffini – esecuzione - 8 Si ripetono le stesse tre precedenti operazioni. Si moltiplica il coefficiente (-2) per la somma (-17). Si ottiene il prodotto (34). (-2)  (-17) = 34 5 -7 -4 9 Prima riga -2  -10 Seconda riga Terza riga 5 -17

Regola di Ruffini – esecuzione - 9 Il prodotto (34) si posiziona nella seconda riga sotto il terzo coefficiente (-4) . (-2)  (-17) = 34 5 -7 -4 9 Prima riga 34 -2  -10 Seconda riga Terza riga 5 -17

Regola di Ruffini – esecuzione - 10 Si addizionano il coefficiente (-4) ed il prodotto (34). La somma (-4)+ (34) = 30 viene posizionata nella stessa colonna dei due addendi e nella terza riga. 5 -7 -4 9 Prima riga + 34 -2 -10 Seconda riga Terza riga 5 -17 30

Regola di Ruffini – esecuzione - 11 Si ripetono le tre operazioni: si moltiplica il coefficiente (-2) per la somma (30). Si ottiene il prodotto (-60): (-2)  (30) = - 60 5 -7 -4 9 Prima riga 34 -2  -10 Seconda riga Terza riga 5 -17 30

Regola di Ruffini – esecuzione - 12 I prodotto (-60) viene posizionato nella seconda riga e sotto il coefficiente (9). 5 -7 -4 9 Prima riga 34 -60 -2  -10 Seconda riga Terza riga 5 -17 30

Regola di Ruffini – esecuzione - 13 Si addizionano il coefficiente (9) ed il prodotto (4). La somma (9)+ (4) = 13 viene posizionata nella stessa colonna dei due addendi e nella terza riga. 5 -7 -4 9 Prima riga + 34 -60 -2 -10 Seconda riga Terza riga 5 -17 30 -51

Regola di Ruffini – esecuzione - 14 Le operazioni di moltiplicazione e di addizione terminano con l’ultimo coefficiente della prima riga. 5 -7 -4 9 Prima riga 34 -60 -2 -10 Seconda riga Terza riga 5 -17 30 -51

Regola di Ruffini – esecuzione - 15 Qual è il significato da dare ad i coefficienti ottenuti e posizionati nella terza riga? 5 -7 -4 9 Prima riga 34 -60 -2 -10 Seconda riga Terza riga 5 -17 30 -51

Regola di Ruffini – esecuzione - 16 Il numero -51, che si trova nella terza riga nell’angolo in basso a destra, non è altro che il resto della divisione. R = - 51 5 -7 -4 9 Prima riga 34 -60 -2 -10 Seconda riga Terza riga 5 -17 30 -51

Regola di Ruffini – esecuzione - 17 I numeri della terza riga, compresi tra i due segmenti (5, -17, 30), sono i coefficienti ordinati del polinomio quoziente, Q(x), il cui grado è di una unità inferiore al polinomio dividendo A(x). 5 -7 -4 9 Coefficienti del polinomio quoziente 34 -60 -2 -10 5 -17 30 -51

Regola di Ruffini – esecuzione - 18 Il polinomio dividendo, A(x), è di grado 3; il grado del divisore, B(x), è 1. Pertanto il grado del polinomio quoziente, Q(x), è: 3 – 1 = 2. Il polinomio quoziente, Q(x), è Q(x) = 5x2 – 17x + 30 5 -7 -4 9 Coefficienti del polinomio quoziente 34 -60 -2 -10 5 -17 30 -51

Regola di Ruffini – esecuzione - 19 In sintesi, la divisione tra il polinomio di terzo grado A(x) = 5x3 – 7x2 – 4x + 9 ed il binomio di primo grado B(x) = x + 2 dà come resto R = -51 e come quoziente in un polinomio di secondo grado: Q(x) = 5x2 – 17x + 30 5 -7 -4 9 Coefficienti del polinomio quoziente 34 -60 -2 -10 5 -17 30 -51

Regola di Ruffini – esecuzione - 20 Il collegamento tra le quattro quantità, dividendo, divisore, quoziente e resto, è il seguente: 5x3 – 7x2 – 4x + 9 = (x + 2)  (5x2 – 17x + 30) -51

Regola di Ruffini – Resto Una conseguenza di estrema importanza, che viene utilizzata per la scomposizione di polinomi in fattori primi, è il calcolo diretto del resto della divisione senza eseguire la divisione. Calcolo del resto: I polinomi dividendo e divisore sono, rispettivamente, A(x) = 5x3 – 7x2 – 4x + 9 B(x) = x + 2 Si calcola il valore del polinomio, A(x), assegnando alla variabile x l’opposto del termine noto del binomio divisore (x = -2) A(-2) = 5(-2)3 - 7(-2)2 - 4(-2) + 9 A(-2) = 5(-8) – 7(4) -4(-2) + 9 A(-2) = - 40 – 28 + 8 + 9 A(-2) = -51

Regola di Ruffini – Resto In generale, il resto della divisione tra il polinomio dividendo, A(x), per un binomio, B(x) = (x - a), si ottiene calcolando il valore del polinomio A(x) assegnando alla variabile x l’opposto del termine noto del binomio (x = a), cioè R = A(a) Nell’esempio precedente Dividendo A(x) = 5x3 – 7x2 – 4x + 9 Divisore B(x) = x + 2 Opposto del termine noto del binomio x = - 2 Resto della divisione R = A(-2) = -51

Regola di Ruffini – Esempio 2 Eseguire la divisione tra il polinomio A(x) = 8x3 + 5x -11 ed il binomio B(x) = x – 3 Osservando il polinomio A(x), si nota che è incompleto; manca il termine in x2, cioè il suo coefficiente è zero. Quindi, nello schema della divisione, è necessario introdurre regolarmente il coefficiente zero nella posizione che gli compete. Lo svolgimento della divisione avviene seguendo i passi già elencati.

Regola di Ruffini – Esempio 2 Lo schema della divisione è il seguente: -11 5 8 3 -11 5 8 3 -11 5 8 3 8 -11 5 8 3 -11 5 8 3 -11 5 8 3  -11 5 8 3 -11 5 8 3 24 + 24 24 

Regola di Ruffini – Esempio 2 Lo schema della divisione è il seguente: -11 5 8 3 24  72 -11 5 8 3 24  -11 5 8 3 24 + 77 72 -11 5 8 3 24 + 77 -11 5 8 3 24 + -11 5 8 3 24 + 72 72 77 72 -11 5 8 3 24 77 72 -11 5 8 3 24 77  231 + 231 220

Regola di Ruffini – Esempio 2 I risultati della divisione sono: 220 72 -11 5 8 3 24 77 231 Resto Coefficienti del polinomio quoziente

Regola di Ruffini – Esempio 2 In sintesi, i risultati della divisione sono: Quoziente: Q(X) = 8x2 +24x + 77 Resto: R = 220 Poiché il resto della divisione è diverso da zero, allora i due polinomi A(x) = 8x3 +5x – 11 e B(x) = x – 3 non sono divisibili tra di loro. Inoltre sostituendo nel polinomio A(x) il valore della variabile x pari a: x = 3 si ottiene: A(3) = 8(3)3 + 5(3) - 11= 827 + 15 -11 = 216 + 15 – 11 = 220 Il valore del polinomio calcolato per x=3 non è altro che il resto della divisione.

Regola di Ruffini – Esempio 3 Si deve eseguire la divisione tra i seguenti due polinomi: A(x) = 5x3 + 11x2 - 3x + 27 B(x) = x + 3 La divisione di esegue secondo le indicazioni fornite nei due precedenti esempi. 5 11 -15 12 -3 27 -27 9 -4

Regola di Ruffini – Esempio 3 Il resto della divisione è: R = 0 mentre il quoziente è: Q(x) = 5x2 – 4x + 9 5 11 -15 12 -3 27 -27 9 -4 Resto Coefficienti del quoziente

Regola di Ruffini – Esempio 3 In una divisione, se il resto è zero, significa che i due polinomi sono divisibili tra di loro. Nel caso specifico dell’esempio, il polinomio A(x) = 5x3 + 11x2 – 3x + 27 è divisibile per il binomio B(x) = x + 3 Ovvero il binomio B(x) è un divisore del polinomio A(x). Il calcolo del resto della divisione è: A(-3) = 5(-3)3 + 11(-3)2 - 3(-3) +27 = A(-3) = 5(-27) + 11(9) + 9 + 27 = A(-3) = - 135 + 99 + 9 + 27 = A(-3) = 0

Regola di Ruffini – Commento Commento: Una delle tecniche di scomposizione di un polinomio utilizza sia il metodo per eseguire la divisione tra un polinomio ed un binomio sia per calcolare il resto della divisione senza eseguire la divisione. Come scritto in precedenza, la relazione tra il polinomio dividendo, A(x), ed il polinomio divisore, costituito da un binomio B(x) = x - a, è la seguente: A(x) = Q(x)  (x-a) + R Calcolando il polinomio A(x), con il valore della variabile x pari ad: x = a Si ottiene il resto della divisione senza aver eseguito la divisione stessa. Infatti: A(a) = Q(a)  (a – a) + R = 0 + R = R

Regola di Ruffini – Commento Commento: La possibilità di determinare in modo immediato il valore del resto viene utilizzata per individuare un binomio che sia un divisore di un polinomio.