Ragioniamo ancora un po sulla hazard con un esempio Supponiamo che i contratti siano stai stipulati tutti in un mese e che ogni mese ne vengano rescissi il 5/10/15/20% (tasso di mortalità), senza nuovi contratti. Quanti contratti sopravvivono ogni mese con il passare dei mesi? mediana

La Hazard si comporta come un tasso di interesse composto Se deposito 1000 euro e il tasso annuo che la banca mi paga è del 3% Supponendo che linteresse venga capitalizzato ogni giorno, cioè ogni giorno la banca v mi accredita il (3/365)% di quanto avevo in conto il giorno prima Alla fine dellanno avrò 1.030,39 NON come sarebbe se linteresse fosse capitalizzato tutto a fine anno, perché nel corso dellanno percepisco interessi sugli interessi. Se fosse mensile avrei 1.030,42 trimestrale 1.030,34 Come si vede è lhazard (il tasso di interesse) e la scansione temporale (discreta) che guidano il processo

La Hazard si comporta come un tasso di interesse composto Nellesempio dei contratti la hazard è lievemente superiore del tasso di mortalità: Quando il tasso è costante la relazione è Log[S(t)]= - t Poiché è costante si può calcolare in un punto, ad es la mediana Questi sono i valori (approssimati): Naturalmente lipotesi di costanza dellhazard (o del tm) è piuttosto restrittiva Più spesso varieranno col tempo t.m.5%10%15%20% hazard56%11%16%22%

Data la funzione di densità di T f(t) Ripartizione: Sopravvivenza Hazard Hazard integrata Relazioni:

Modelliamo la hazard: modello semplice = rischio costante Distribuzione esponenziale, caso piuttosto semplice infatti per la distribuzione esponenziale è:

In generale, la hazard dipende da 2 parametri ( e p) E la dipendenza della hazard dal tempo (positiva o negativa) è governata dal parametro p e dalla distribuzione scelta: Esponenziale hazard costante Weibull hazard Crescente/decrescente (dip.da p) Log-logistica Hazard prima cresce poi cala Lognormale Hazard prima cresce poi cala

NB la hazard è altamente non lineare:

Altre distribuzioni stima MLE tenendo conto dei dati censurati

Esempio: durata in giorni di un insieme di scioperi (Green) pmediana Esponenziale s.e Weibull s.e Log-logistica s.e Lognormale s.e

Introduciamo delle determinanti X. Le determinanti vengono introdotte nel termine, naturalmente alesponente Si modifica la logL che ora viene minimizzata in p, e Nellesempio degli scioperi, introducendo un indice della produzione industriale si ottiene, per la Weibull: -ln( ) = – x ; p= =exp( x) Attenzione alla lettura dei coefficienti ! Occorre ricordarsi che, nella weibull

Hazard quasi piatta infatti p quasi =1….come esponenziale

Ma nellesempio dei contratti: -ln( ) = età ; p=

Attenzione alla lettura dei coefficienti ! In generale la Hazard adesso dipende da t, p, e X Il segno del coefficiente della X indica la direzione delleffetto sulla hazard SOLO SE la hazard è MONOTONA ! (es. nelle loglog non vale!) In ogni caso leffetto è NON LINEARE La interpretazione va fatta Per valori tipici delle X (es.medie) Disegnando la funzione (hazard e/o Survival) Per strati di popolazione Per tipologie

Analisi di specificazione: Usuali test per stime MLE (LR, LM, WALD) Diversi test di adattamento sono stati proposti, ma i risultati sono, in generale, condizionati alla scelta della distribuzione di partenza. Il problema della errata specificazione del modello, cioè della eterogeneità non osservata è particolarmente rilevante nellapproccio parametrico e, in generale, non ha una soluzione semplice.