ANALISI COMBINATORIA

LE DISPOSIZIONI SEMPLICI Dati “n” elementi distinti si chiamano Disposizioni Semplici di “n” elementi di classe “k” e si indica con D n,k il numero dei gruppi formati da k elementi diversi tale che due gruppi qualsiasi differiscono per gli elementi o per l’ordine.

Dn,k = n(n-1)(n-2)…..(n-k+1) Come si calcola Dn,k Dn,k = n(n-1)(n-2)…..(n-k+1) Più semplicemente…. Si parte da “n” e si scende ogni volta di un’unità fin quando si sono considerati k numeri

Esempi di calcolo di Dn,k D7,2= 7 x 6= 42 D6,3= 6 x 5 x 4 = 120 D5,4= 5 x 4 x 3 x 2=

Problemi con le disposizioni Con i valori 3,4,5,7,8 quanti numeri di 3 cifre diverse posso ottenere? n=5 k=3 D5,3 = 5 x 4 x 3 = 60

Problemi con le disposizioni Dati i valori 4,5,8,2,6 quanti numeri di 3 cifre diverse e pari si possono ottenere? Un numero pari deve terminare con una delle cifre 4,8,2,6 Prima possibilità: ? ? 4 cioè l’ultima cifra deve essere 4 le prime due le posso scegliere tra le restanti 4 cifre a disposizione Quindi ho D4,2 =4 x 3 = 12 Questo discorso lo posso ripetere in totale 4 volte ed ottengo: 12 x 4 = 48

LE PERMUTAZIONI SEMPLICI Dati “n” elementi distinti si chiamano Permutazioni Semplici di “n” elementi e si indica con Pn il numero dei gruppi formati da tutti gli n elementi tale che due gruppi qualsiasi differiscono per per l’ordine.

Pn = n(n-1)(n-2)…..1 Come si calcola Pn Più semplicemente…. Si parte da “n” e si scende ogni volta di un’unità fin quando si arriva ad 1

Esempi di calcolo di Pn P4= 4 x 3 x 2 x 1 24 P5= 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120 P3= 3 x 2 x 1= 6

Problemi con le Permutazioni Quanti sono gli anagrammi dalla parola “ CANE” ? Si hanno 4 lettere diverse da “permutare” Quindi ho P4 = 4 x 3 x 2 x 1= 24

Problemi con le Permutazioni Quanti sono gli anagrammi dalla parola “ MAMMA” ? Si hanno 5 lettere da “permutare” ma “M” si ripete 3 volte ed “A si ripete 2 volte Quindi ho P5 / (p3 x p2) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = =120/12 = 10

LE COMBINAZIONI SEMPLICI Dati “n” elementi distinti si chiamano Combinazioni Semplici di “n” elementi di classe “k” e si indica con C n,k il numero dei gruppi formati da k elementi diversi tale che due gruppi qualsiasi differiscono solo per gli elementi.

Cn,k = Dn,k / Pk Come si calcola Cn,k Più semplicemente…. Al numeratore ci sono le disposizioni semplici Al denominatore ci sono le permutazioni semplici su “k” elementi

Esempi di calcolo di Cn,k c7,2= (7 x 6) / (2 x1)= 42 /2 = 24 C6,3= (6 x 5 x 4)/(3x2x1) = 120/6 =20 C5,4= (5 x 4 x 3 x 2)/(4x3x2x1)= 120/24=5

Problemi con le combinazioni Giocando 3 numeri a lotto su una sola ruota, in quanti modi diversi può uscire il terno? I numeri del lotto sono 90 ma ne escono solo 5! Se ne gioco 3 voglio che quei 3 escano quindi sono “fissati” mentre gli altri 2 possono essere numeri qualsiasi. Si tratta di combinazioni perché l’ordine non conta! Dei 90 numeri devo togliere i 3 che devono uscire per forza, quindi n=87 (90-3) e nella cinquina mi rimangono 2 caselle libere cioè k=2. Quindi C87,2 =(87x86x85)/(2x1)