Metodi Quantitativi per il Management Emanuele Borgonovo Metodi Quantitativi per il Management Prima Edizione Decision Market Return Structural Metodi Quantitativi per il Management

Capitolo I: Modelli Metodi Quantitativi per il Management

Modelli Un modello è uno strumento matematico-logico che l’analista, il manager, lo scienziato, l’ingegnere sviluppa per: Predire il comportamento della realtà Predire l’andamento di un mercato Prendere una decisione relativa ad un investimento Elementi comuni ai modelli: Incertezza iniziale Una serie di ipotesi Una serie di input Eventi Risultato (output) del modello Metodi Quantitativi per il Management

Costruzione del modello Richiede una conoscenza approfondita di: Problema Eventi rilevanti rispetto al problema Fattori che influenzano il comportamento delle quantità di interesse Raccolta dei dati e delle informazioni Statement e calcolo delle incertezze Verifica della coerenza del modello mediante verifica empirica, se possibile, e analisi di sensitività Metodi Quantitativi per il Management

Esempio: la legge di gravità Vogliamo descrivere la caduta verticale di un corpo sulla superficie della terra. Adottiamo il modello: F=mg per la caduta dei corpi Ipotesi (?): Corpo puntiforme (niente rotazioni) Niente attrito Niente correnti atmosferiche Funziona per la caduta di un corpo posto a grande distanza dalla superficie terrestre? Metodi Quantitativi per il Management

Capitolo II Elementi introduttivi di Teoria della Probabilità Metodi Quantitativi per il Management

Probabilità E’ possibile definire la Probabilità? Sì, ma ci sono due scuole La prima dice che la probabiltà è una proprietà oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista) La seconda dice che la Probabilità è una misura “soggettiva”della verosimiglianza degli eventi (De Finetti) Metodi Quantitativi per il Management

Kolmogorov Axioms U B A Metodi Quantitativi per il Management

Aree e rettangoli? U C A B D E Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilità di saltare in A. Quanto vale? Sarà l’area di A diviso l’area di U: P(A)=A/U In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E) Metodi Quantitativi per il Management

Probabilità Condizionata Prendete due eventi A e B. La probabilità condizionale di A dato B, è la probabilità di avere A dato che si è verificato B. Si scrive: P(A|B) U B A AB Metodi Quantitativi per il Management

Probabilità Condizionale Supponete ora che B è avvenuto. Quindi siete saltati dentro l’area B. B AB A Ora non protrete che concordare che: P(A|B)=P(AB)/P(B) Quindi: P(AB)=P(A|B) *P(B) Metodi Quantitativi per il Management

Se due eventi sono indipendenti: Eventi Indipendenti Due eventi, A e B, sono indipendenti se l’accadere di A non influenza la Probabilità di B e viceversa. Se due eventi sono indipendenti: P(AB)=P(A)*P(B) Metodi Quantitativi per il Management

Probabilità e Informazione Problema: vi è data una scatola contenente due gioielli. La scatola è costruita in modo tale che con la stessa probabilità (1/2) i due gioielli sono tutti e due d’oro (evento A) o uno è d’oro e uno d’argento (evento B). Per sapere il contenuto della scatola vi è permesso di estrarre uno dei due gioielli dalla scatola. Supponete che sia d’oro. Secondo voi avete guadagnato informazioni dall’estrazione? La probabilità che l’altro sia d’oro è ancora del 50%? Sareste disposti a pagare per estrarre? Metodi Quantitativi per il Management

La probabilità di un evento cambia con l’informazione Metodi Quantitativi per il Management

Il Teorema di Bayes Ipotesi: A e B sono due eventi. L’evento A è accaduto. Tesi: la probabilità di B dato che A è avvenuto cambia come segue: P(B) prima che A avvenisse Probabilità di A dato B Prob. che A avvenisse Prob. di B ora che A è avvenuto Metodi Quantitativi per il Management

Applichiamolo al problema Eventi: A: tutti e due i gioielli sono d’oro o: l’anello estratto è d’oro Il teorema dice: P(A)=probabilità che tutti e due siano d’oro prima dell’estrazione=1/2 P(o)=probabilità che un anello sia d’oro=3/4 P(o|A)=probabilità che l’anello sia d’oro dato A=1 (tutti e due gli anelli sono d’oro) Quindi: Metodi Quantitativi per il Management

Dimostrazione del Teorema Punto di Partenza Formula della probabilità condizionale Tesi Metodi Quantitativi per il Management

Estensione al caso di più eventi B A C D U E Teorema probabilità totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A1, A2,…,AN) e esaustivi, la probabilità di un altro evento E in U è data da: Teorema di Bayes : Metodi Quantitativi per il Management

Distribuzioni di Probabilità Fino ad ora abbiamo parlato di eventi “ discreti”. Ci sono eventi il cui spazio è continuo. Ad esempio il tempo di rottura di un componente o l’intervallo di tempo tra i terremoti. In questo caso la variabile aleatoria “tempo” spazia da 0 a +. Per descrivere questi eventi si utilizzano distribuzioni continue di probabilità. La variabile caratterizzata da una distribuzione di probabilità prende il nome di variable aleatoria. Metodi Quantitativi per il Management

Densità di Probabilità Una funzione è una densità di probabilità se: E’ integrabile e se il suo integrale tra - e +  è pari a 1. Significato: f(x0) è la probabilità che x sia in un intervallo dx attorno ad x0. Metodi Quantitativi per il Management

Distribuzione Cumulativa Quando una variabile x è casuale, la probabilità che essa assuma un valore inferiore od uguale ad un valore X è data da: Se f(x) è continua, allora: Notiamo: Metodi Quantitativi per il Management

La distribuzione esponenziale Fenomeni per cui gli eventi sono: Indipendenti Caratterizzati da ratei costanti sono caratterizzati dalla cumulativa esponenziale: e dalla densità esponenziale: Metodi Quantitativi per il Management

La distribuzione esponenziale Supponiamo di avere a che fare con un problema di affidabilità e ci interessa caratterizzare il tempo di rottura di componenti industriali (Chiamiamolo t). t non è noto a priori (non sappiamo quando si romperà il prossimo componente). Tutto quello che possiamo dire è che puù variare con continuità tra 0 e (diciamo) inifinto. Quindi, è una variable casuale con distribuzione continua. Assumiamo intervalli di rottura indipendenti. Ciò funziona se, quando il componente si rompe, lo sostituiamo con uno nuovo o lo ripariamo perfettamente. Se valgono queste ipotesi, gli intervalli di rottura sono indipendenti e caratterizzati da tasso di rottura costante  per ogni intervallo dt. Quale è la distribuzione di probabilità di t? Supponiamo di avere una popolazione di N(t) componenti al tempo t. Se  è il tasso di rottura del singolo componente, allora N(t)dt è il numero di rotture nel tempo dt. Metodi Quantitativi per il Management

La distribuzione esponenziale Quindi: -N(t)dt=N(t+dt)-N(t)=dN(t) Il segno meno sta ad indicare che il numero di componenti funzionanti è diminuito. Risolvendo: N(T) è il numero di componenti che è sopravvissuto fino al tempo T e N(0) è il numero di componenti di partenza. Ponete N(0)=1. Allora N(T)/N(0) vi dà la probabilità che un componente sopravviva fino a T. Metodi Quantitativi per il Management

Illustrazione grafica 5 10 15 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 P(t<T) f(t) T/t Metodi Quantitativi per il Management

Valore atteso, varianza e percentili Percentile p: è il valore Xp di x tale che la probabilità che x sia minore di Xp pari a p/100 Metodi Quantitativi per il Management

La Distribuzione di Gauss Distribuzione simmetrica attorno al valor medio Densità: Cumulativa: Metodi Quantitativi per il Management

Grafici Metodi Quantitativi per il Management Cumulative Gaussian Distribution 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x Metodi Quantitativi per il Management

Distribuzione Lognormale Funzione densità Funzione distribuzione cumulativa Metodi Quantitativi per il Management

Grafici della distribuzione lognormale Metodi Quantitativi per il Management

Problema II-1 La frequenza di rottura del cambio di un’automobile è pari a 1/5 anni (densità esponenziale). Quale è il tempo medio di rottura del cambio? Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio sia ancora integro? Metodi Quantitativi per il Management

Problema II-2 State esaminando un test per selezionare l’ingresso degli studenti ad un corso particolarmente selettivo di un ’Università. Il test, come tutti i test, non è perfetto. Supponete che la classe prima del test (la vera distribuzione della classe) veda il 10% di adatti e il 90% di non adatti. Poi fate il test. Se lo studente è adatto ,il test lo ammette al 90%. Se lo studente non è adatto lo ammette al 10%. Ora, supponete di prendere uno studente che ha passato il test. Quale è la probabilità che lo studente sia effettivamente adatto? Secondo voi il test funziona? Come lo usereste? (Suggerimento: utilizzate il teorema della probailità totale per la probailità di passare il test.) Metodi Quantitativi per il Management

Problema II-3 Per il problema dei due anelli, calcolare: La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è d’oro La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è d’argento La probabilità di essere in A dato che l’anello estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive La probabilità di essere in B dato che che l’anello estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive Metodi Quantitativi per il Management

Soluz. Prob. II-1 La frequenza di rottura del cambio di un’automobile è pari a 1/5 anni. Quale è il tempo medio di rottura del cambio? Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio sia ancora integro? Metodi Quantitativi per il Management

Soluz. Prob. II-3 3 Per il problema dei due anelli, calcolare: La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è d’oro Soluzione: ci sono solo due casi, A o B. Dunque P(Bo)=1-P(Ao)=1/3 La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è d’argento P(Ba)=1, dal testo del problema, dato che B è l’unico stato in cui l’anello può essere d’argento. Si può anche dimostrare con Bayes: P(Ba)=P(aB)*P(B)/[P(aB)* P(B)+P(aA)*P(A)]. Siccome P(aA)=0, ottneniamo subito 1. La probabilità di essere in A dato che l’anello estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive Il teorema di Bayes si scrive: Metodi Quantitativi per il Management

Sol. II-3 Dove, nella formula il pedice 1 indica le probabilità aggiornate dopo una estrazione, ovvero: P1(B)=P(Bo)=1/3 e P1(A)=P(Ao)=2/3. A questo punto occorre notare che P(2o A)=1, e P(2o B)=1/2. P(2oB) è la probabilità che otteniamo oro al secondo tentativo, dato che siamo in B. Abbiamo quindi tutti I numeri da sostituire nella formula del teorema: In pratica, è lo stesso problema dell’esempio ma con le probabilità a priori aggiornate in base alla evidenza della prima estrazione La probabilità di essere in B dato che che l’anello estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive Soluzione: 1-P(A 2o)=0.2 Metodi Quantitativi per il Management

Capitolo III: Elementi di Analisi delle Decisioni Metodi Quantitativi per il Management

An Investment Decision At time T, you have to decide whether, and how, to invest $1000. You face three mutually exclusive options: (1) A risky investment that gives you $500 PV in one year if the market is up or a loss of $400 if the market is down (2) A less risky investment that gives you $200 in one year or a loss of $160 (3) The safe investment: a bond that gives you $20 in one year independently of the market Metodi Quantitativi per il Management

Decision Theory According to Laplace “The theory leaves nothing arbitrary in choosing options or in making decisions and we can always select, with the help of the theory , the most advantageous choice on our own. It is a refreshing supplement to the ignorance and feebleness of the human mind”. Pierre-Simon Laplace (March 28 1749 Beaumont-en-Auge - March 5 1827 Paris) Metodi Quantitativi per il Management

Decision-Making Process Steps Problem identification Alternatives identification Model implementation Alternatives evaluation Sensitivity Analysis Further Analysis? Yes Best alternative implementation No Metodi Quantitativi per il Management

Decision-Making Problem Elements Values and Objectives Attributes Decision Alternatives Uncertain Events Consequences Metodi Quantitativi per il Management

Gli Elementi del Problema Obiettivi: Massimizzare il guadagno Attributi: Money Alternative: Invesitmento Rischioso (Risky) Invesitmento Rischioso (Less Risky) Investimento Sicuro (Safe) Eventi Casuali: Il mercato Conseguenze: Guadagno o perdita Metodi Quantitativi per il Management

Rappresentazione del Problema Diagrammi di Influenza Alberi delle Decisioni Market up prob_up Market down 1-prob_up Less Risky Risky Safe How should I invest $1000? Decision Market Return Structural Metodi Quantitativi per il Management

Influence Diagrams Influence diagrams (IDs) are… ID formal definition: “a graphical representation of decisions and uncertain quantities that explicitly reveals probabilistic dependence and the flow of information” ID formal definition: ID = a network consisting of a directed graph G=(N,A) and associated node sets and functions (Schachter, 1986) Metodi Quantitativi per il Management

ID Elements = Decision = Random Event = Utility NODES ARCS Informational Arcs Probabilistic Dependency Arcs Structural Arcs = Decision = Random Event = Utility Metodi Quantitativi per il Management

ID Elements Informational Arc Structural Decision Node Chance Node Value Node Conditional Arc Probabilistic Dependency Informational Arc Sequential Decisions Structural Metodi Quantitativi per il Management

Influence Diagram Levels 1. Physical Phenomena and Dependencies 2. “Function level”: node output states probabilistic relations (models) 3. “Number level”: tables of node probabilities Metodi Quantitativi per il Management

Case Study 2 - Leaking SG tube Influence Diagram for Case Study 2 Metodi Quantitativi per il Management

Il Diagramma di Influenza Decision Market Return Structural Metodi Quantitativi per il Management

Alberi delle Decisioni Sono costituiti dal medesimo tipo di nodi dei diagrammi di influenza, ma mettono in evidenza tutte le possibili combinazioni degli eventi. Al posto degli archi ci sono “rami” o branches che emanano dai nodi in numero pari al numero di alternative o outcomes del nodo Rispetto ai diagrammi di influenza hanno il vantaggio di evidenziare I possibili patterns, ma lo svantaggio del ridursi della loro intelligibilità al crescere della complessità del problema. Metodi Quantitativi per il Management

The Decision Tree (DT) Market up Less Risky Market down How should I 1-prob_up Less Risky Risky Safe How should I invest $1000? Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione degli alberi delle decisioni Equazione del payoff o della utilità di una alternativa: j=1…mi è l’indice di tutte le conseguenze associate alla scelta i Uj è l’utilità o il payoff della conseguenza j Pi(Cj) è la probabilità che la conseguenza Cj accada dato che si è scelta l’alternativa i In generale, sarà: P(Cj) =P(E1E2… EN), dove E1E2… EN sono gli eventi che devono accadere affinchè la conseguenza Cj si realizzi. Utilizzando le probabilità condizionali: P(Cj) =P(E1E2… EN)=P(EN| E1E2… )*…*P(E2| E1)*P(E1) Metodi Quantitativi per il Management

Esempio How should I invest $1000? Market up C1 P.up Market down C2 Blue Chip Stock C3 C4 Risky investment CD paying 5% C5 How should I invest $1000? Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione del Problema Utilizzando la formula precedente: Metodi Quantitativi per il Management

The Best Investment for a Risk Neutral Decision-Maker Market up 0.600 $200 Market down 0.400 ($160) Blue Chip Stock $56 $500; P = 0.600 ($600); P = 0.400 Risky investment $60 CD paying 5% return = $50 How should I invest $1000? Metodi Quantitativi per il Management

What to do? Run or withdraw? You are the owner of a racing team. It is the last race of the season, and it has been a very good season for you. Your old sponsor will remain with you for the next season offering an amount of $50000, no matter what happens in the last race. However, the race is important and transmitted on television. If you win or end the race in the first five positions, you will gain a new sponsor who is offering you $100000, besides $10000 or $5000 praise. However there are unfavorable running conditions and an engine failure is likely, based on your previous data. It would be very bad for the image of you racing team to have an engine failure in such a public race. You estimate the damage to a total of -$30000. What to do? Run or withdraw? A) Elements of the problem: What are your objectives What are the decision alternatives What are the attributes of the decision What are the uncertain events What are the alternatives Metodi Quantitativi per il Management

Example of a simple ID Decision Profit Engine Failure Final Classification Metodi Quantitativi per il Management

From IDs to Decision Trees Out of first five 1.000 $20,000; P = 0.500 Failure Engine Failure 0.500 $20,000 Win $110,000; P = 0.250 In first five 0.300 $105,000; P = 0.150 0.200 $50,000; P = 0.100 No Failure $94,500 Run Decision $57,250 Old sponsor $50,000 Withdraw Engine_Failure=0 pfailure=0.5 pfive=0.30 pout=0.2 pwin=0.5 Run : $57,250 Metodi Quantitativi per il Management

Decisioni Sequenziali Sono problemi decisionali in cui una o più decisioni appaiono nel modello. State decidendo a proporsito di un macchinario da acquistare. Avete a disposizione tre modelli, A B e C. Il costo dei tre macchinari è pari a 150, 175 e 200 rispettivamente. Se acquistate il modello A, potete poi scegliere l’assicurazione A1, che ha un costo pari al 5% di A, e copre tutti i possibili guasti di A. Oppure potete scegliere l’assicurazione A2, che ha un costo pari al 3%, ma copre solo il trasporto. Se acquistate il modello B, l’assicurazione B1 ha un costo pari al 3% di B e copre tutti i guasti di B. L’assicurazione B2 costa il 2% e copre il trasporto. Per C, ritenuto il più affidabile, le assicurazioni costano il 2% e 1.5% rispettivamente. In base a queste informazioni e supponendo che la produttività dei macchinari sia la stessa, cosa decidete? (A: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =5%) (B: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =3%) (C: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =2% Metodi Quantitativi per il Management

Diagramma di Influenza Metodi Quantitativi per il Management

Albero delle decisioni Metodi Quantitativi per il Management

Valore dell’Informazione Abbiamo visto come la raccolta di informazioni sia essenziale nel prendere decisioni. Potremmo essere disposti a pagare per avere informazioni? Quanto? All’informazione può essere attribuito un valore in quanto contribuisce alla selezione delle alternative Il valore dell’informazione è il valore aggiunto che consegue dalla stessa (expected value of perfect information =EVPI): La definizione si legge: quanto vale la decisione dato che sappiamo l’informazione meno il valore della decisione senza l’informazione N.B.: ci riferiremo solo all’incertezza aleatoria Metodi Quantitativi per il Management

Esempio: l’investimento Metodi Quantitativi per il Management

Valore dell’informazione sull’andamento mercato Metodi Quantitativi per il Management

EVPI Result Metodi Quantitativi per il Management

Problemi Metodi Quantitativi per il Management

Quanto offrire? Voi lavorate per una compagnia nel settore della produzione di energia. La vostra compagnia si trova a fronteggiare la decisione su quanto offrire nella gara per il recupero del relitto di una SS.Kuniang, nave da trasporto per carbone. Se vinceste, la nave potrebbe essere riparata e destinata allo stoccaggio e trasporto di carbone. La vittoria e anche il risultato della decisione dipendono dal giudizio del tribunale della Guardia Costiera, che sarà noto solo dopo l’apertura delle buste di gara. Infatti, se la guardia costiera si pronuncerà per un basso valore della nave, significa che la nave è considerata recuperabile. Altrimenti, la nave sarà giudicata inservibile. Se non doveste vincere, la compagnia sarebbe costretta a comperare una nuova imbarcazione. Elencate gli elementi della decisione Strutturate un diagramma di infuenza e l’albero delle decisioni corrispondenti Metodi Quantitativi per il Management

Diagramma di influenza con tre eventi Dati i seguenti elementi: Decisione con alternative 1 e 2 Eventi: A=(up, down); (B=high, low);(C=good, bad); Conseguenze Ci (una conseguenza per ciascuna delle combinazioni di eventi che si realizzano) Inoltere sapete che se si realizza A=Down, allora si realizza direttamente la condizione CAdown Disegnate il diagramma di influenza corrispondente al problema Disegnate l’albero delle decisioni corrispondente Se ora l’evento C dipende da A, come cambia il diagramma di influenza? Come cambia l’abero delle decisioni? Metodi Quantitativi per il Management

Vendite_costi Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3, stimare la migliore decisione. Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare: P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2 Alte Vendite P_Alte|Alto Basse 1- P_Alte|Alto -10 Alto Costo P_alto P_ P_Alte|Alto 20 Basso 1-P_alto Investo Decisione Non-Investo 5 alto=0.5 P_Alte=0.3 P_alto=0.5 Metodi Quantitativi per il Management

Guasto in produzione Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di €500000. Per ogni giorno di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a €25000 al giorno (il valore giornaliero della produzione è di €50000). Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g . Nel caso in cui la riparazione non sia perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di €1000000. Con probabilità P_10g la linea sarà come prima del guasto. Secondo voi la vita residua dell’impianto è importante per la decisione? Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per l’impianto. Quale intervento conviene effettuare? Individuate gli elementi della decisione Realizzate il diagramma di influenza e l’albero delle decisioni corrispondente Trovate il o i valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che l’altro Cosa consigliereste al direttore dell’impianto? Metodi Quantitativi per il Management

Valore dell’informazione Determinate il valore dell’informazione relativa a ciascuno degli eventi casuali nei seguenti problemi decisionali: Vendite_Costi (lez. 2) Guasto in Produzione (lez.2) Ripetete la prova utilizzando, anzichè l’attributo profitto, la vostra funzione utilità per il denaro, determinata nel problema 2. Metodi Quantitativi per il Management

Soluzioni Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione Diagr. 3 Eventi Diagramma di Influenza I Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione Corrispondente Albero delle Decisioni Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione Diagramma di Influenza II Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione Albero delle Decisioni II: Metodi Quantitativi per il Management

Vendite_costi Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3, stimare la migliore decisione. Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare: P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2 Alte Vendite P_Alte|Alto Basse 1- P_Alte|Alto -10 Alto Costo P_alto P_ P_Alte|Alto 20 Basso 1-P_alto Investo Decisione Non-Investo 5 alto=0.5 P_Alte=0.3 P_alto=0.5 Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione Vendite_Costi Metodi Quantitativi per il Management

Guasto in produzione Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di €500000. Per ogni giorno di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a €25000 al giorno (il valore giornaliero della produzione è di €50000. Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g . Nel caso in cui la riparazione non sia perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di €1000000. Con probabilità P_10g la linea sarà come prima del guasto. Secondo voi la vita residua dell’impianto è importante per la decisione? Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per l’impianto. Quale intervento conviene effettuare? Individuate gli elementi della decisioni Realizzate in diagramma di influenza corrispondente Trovate I valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che l’altro Cosa consigliereste al direttore dell’impianto? Cosa succederebbe se la vita dell’impianto fosse di due anni o quattro anni? Metodi Quantitativi per il Management

Diagramma di Influenza Metodi Quantitativi per il Management

Albero delle Decisioni Metodi Quantitativi per il Management

Valori delle probabilità Tre anni Metodi Quantitativi per il Management

2 anni e 4 anni 2 anni 4 anni Metodi Quantitativi per il Management

Capitolo IV Elementi di Analisi di Sensibilità Metodi Quantitativi per il Management

Sensitivity Analysis and Parameter Importance Relevance of parameter in a model with respect to a certain criterion Sensitivity Analysis used to Determine Parameter Importance Concept of importance not formalized, but extensively used Risk-Informed Decision Making Resource allocation Need for a formal definition Metodi Quantitativi per il Management

Process Identify how sensitivity analysis techniques work through analysis of several examples Formulate a definition Classify sensitivity analysis techniques accordingly Metodi Quantitativi per il Management

Sensitivity Analysis Types Model Output: Local Sensitivity Analysis: Determines model parameter (xi) relevance with all the xi fixed at nominal value Global Sensitivity Analysis: Determines xi relevance of xi’s epistemic/uncertainty distribution Metodi Quantitativi per il Management

The Differential Importance Measure Nominal Model output: No uncertainty in the model parameters and/or parameters fixed at nominal value Local Decomposition: Local importance measured by fraction of the differential attributable to each parameter Metodi Quantitativi per il Management

Global Sensitivity Indices Uncertainty in U and parameters is considered Sobol’’s decomposition theorem: Sobol’Indices Metodi Quantitativi per il Management

Formal Definition of Sensitivity Analysis (SA) Techniques SA technique are Operators on U: x1 x2 xn I(x1) I(xn) I(x2)  or  Metodi Quantitativi per il Management

Importance Relations Importance relations: xi xj iff I(xi)>I(xj) X the set of the model parameters; Binary relation xi xj iff I(xi)>I(xj) xi~xj iff I(xi)=I(xj) xi xj iff I(xi)<I(xj) Importance relations induced by importance measures are complete preorder Metodi Quantitativi per il Management

Additivity Property In many situation decision-maker interested in joint importance: An Importance measure is additive if: DIM is additive always Si are additive iff f(x) additive and xj’s are uncorrelated Metodi Quantitativi per il Management

Techniques that fall under the definition of Local SA techniques Metodi Quantitativi per il Management

Global Importance Measures Metodi Quantitativi per il Management

Sensitivity Analysis in Risk-Informed Decision-Making and Regulation Risk Metric: xi is undesired event probability Fussell-Vesely fractional Importance: Tells us on which events regulator has to focus attention Metodi Quantitativi per il Management

Summary of the previous concepts Formal Definition of Sensitivity Analysis Techniques Definition of Importance Relations Definition enables to: Formalize use of Sensitivity Analysis Understand role of Sensitivity Analysis in Risk-informed Decision-making and in the use of model information Metodi Quantitativi per il Management

Sensitivity Analysis Various Types of SA Uncertainty Analysis One Way SA Two Way SA Tornado Diagrams (Differential Importance Measure) Uncertainty Analysis Monte Carlo (Global SA) Metodi Quantitativi per il Management

How do we use SA? a) To check model correctness and robustness b) To Further interrogate the model Questions: What is the most influential parameter with respect to changes? What is the most influential parameter on the uncertainty (data collection) Metodi Quantitativi per il Management

Sensitivity Analysis (Run or withdraw) Underline the critical dependencies of the outcome Metodi Quantitativi per il Management

Contenuti Analisi di Sensitività Analisi di Incertezza One way sensitivity Two way sensitivity Tornado Diagrams Analisi di Incertezza Incertezza Aleatoria Incertezza Epistemica Teorema di Bayes per distribuzioni continue Metodo Monte Carlo Metodi Quantitativi per il Management

Analisi di Sensitività Per sensitività o sensibilità si intende il cambiamento del risultato (output) in funzione del cambiamento di uno dei parametri del modello (input) Tipi più semplici di analisi di sensitività: one way sensitivity two way sensitivity Tornado diagrams Metodi Quantitativi per il Management

Analisi di sensitività ad un modo Alterando una alla volta le variabili del modello, una si analizza come cambia la decisione. Permette di analizzare il variare del valore di ciascuna delle alternative al variare del parametro su cui stiamo degli eventi Metodi Quantitativi per il Management

Analisi di sensitività Bi-variata In questo caso si variano due parametri. Anzichè una linea si ottiene il piano delle combinazioni, in cui ogni regione coincide con la decisione preferenziale dati i valori dei due parametri Metodi Quantitativi per il Management

Tornado Diagrams Si focalizza l’analisi sulla decisione principale Si sceglie un intervallo di variazione per ciascuno dei parametri Si alterano una alla volta tutti i parametri Si registra il cambiamento dell’output Si mostra il cambiamento dell’output con una barra orizzontale La variabile che “incide” di più è quella corrispondente alla barra più larga Metodi Quantitativi per il Management

Esempio di Tornado Diagram Metodi Quantitativi per il Management

Pregi e Difetti Pregi Difetti Semplicità di calcolo Immediatezza nella lettura dei risultati Difetti Range di variazione delle variabili arbitrario, non consente una interpretazione dell’importanza (non si dovrebbero classificare) Una o al massimo due parametri possono essere cambiati contemporaneamente Metodi Quantitativi per il Management

Capitolo V Analisi di Incertezza Metodi Quantitativi per il Management

Analisi di Incertezza Metodi Quantitativi per il Management

Contenuti Distinzione tra Incertezza Aleatoria ed Incertezza Epistemica Il teorema di Bayes nel continuo come rappresentazione dell’incertezza epistemica Il metodo Monte Carlo per la propagazione dell’incertezza Metodi Quantitativi per il Management

Incertezze Incertezza Aleatoria: Da “Alea” dadi: “Alea jacta est” si riferisce all’ accadimento di un determinato evento casuale. Esempio: l’accadere di un terremoto Incertezza Epistemica: Dal Greco “Epist”, Conoscenza riflette la nostra mancanza di conoscenza del valore dei parametri del modello che si riferisce all’evento Metodi Quantitativi per il Management

Esempio: modello aleatorio La probabilità di un terremoto è di solito modellizzato da una distribuzione di Poisson: che rappresenta la probabilità che il numero di terremoti che avviene nel tempo t sia n. La distribuzione di Poisson si ottiene per eventi indipendenti in cui l’accadere dell’evento non influenza l’accadere degli eventi successivi e la probabilità dell’evento in ogni intervallo di tempo è la stessa AL MODELLO scelto per descrivere come si comportano i terremoti viene dato il nome di modello aleatorio [in inglese, con un po’ meno di modestia “model of the world” (MOW).] Metodi Quantitativi per il Management

Informazioni utili sulla Poisson è la probabilità che nel tempo t si verifichino n eventi La somma per n=0... di P(n,t) è 1. La probabilità di avere k>N eventi è data da: E[n]=t Metodi Quantitativi per il Management

Il corrispondente modello epistemico Ora, nonostante gli studi, è ben difficile che uno scienziato sappia con esattezza il valore del parametro  della distribuzione. Più probabilitmente  è descritto da una serie di valori. Per esempio  può stare tra 1/5 e 1/50 anni. Supponiamo che lo scienziato decida di esprimere il suo stato di conoscenza su  tramite una distribuzione uniforme u( ): Metodi Quantitativi per il Management

A questo punto... Ci ritroviamo con due modelli: Il modello aleatorio: eventi avvengono secondo distribuzione di Poisson Il modello espitemico: distribuzione uniforme dell’incertezza Allora, qual è la probabilità di avere un terremoto nei prossimi due anni? Risposta: non c’è Una probabilità, ma c’è una p(n,t, ) per ogni valore di . Quindi dobbiamo riscrivere: Metodi Quantitativi per il Management

…. Questa espressione ci dice che non tutte le distribuzioni di Poisson pesano (in genere) allo stesso modo. Quindi: Nel nostro caso: u()=c; quindi: Metodi Quantitativi per il Management

In Generale Il MOW dipenderà da m parametri , ,…: La probabilità dell’evento (indichiamolo ancora con t) sarà: Metodi Quantitativi per il Management

Un problema La probabilità di rottura di una serie di componenti attorno al tempo dt è data dalla densità esponenziale: Dai dati a vostra disposizione emerge che: Qual è il tempo medio di rottura? Metodi Quantitativi per il Management

Soluzione E[t]= Metodi Quantitativi per il Management

Teorema di Bayes nel continuo Incertezza eistemica e teorema di Bayes sono collegati in quanto sappiamo che possiamo usare l’evidenza per aggiornare le probabilità. Ad esempio, supponete di avere una moneta e di voler sapere se la probabilità che esca testa o croce sia del 50%. Come fate? Tirate la moneta…. Metodi Quantitativi per il Management

Formula La densità di probabilità di un parametro, dopo aver raccolto l’evidenza (E) cambia come segue: L(E)=MOW likelihood o verosimiglianza 0=() è la densità di probabilità di  prima dell’evidenza detta distribuzione a priori =() è la densità di probabilità di  prima dopo l’evidenza detta distribuzione a posteriori Metodi Quantitativi per il Management

Deriviamolo Prendiamo la formula del teorema di Bayes nel discreto: Passiamo al continuo: in questo caso vogliamo sapere la probabilità che un parametro nella distribuzione assuma un determinato valore dato che un certo evento si è verificato Quindi l’evento Aj è:  assume il valore * Da cui: P(Aj)0()d 0()=densità a priori Quindi: P(EAj) ha il significato di probabilità che l’evidenza E si realizzi dato che  sia pari a * . Si scrive L(E,  ) ed è chiamata funzione verosimiglianza: ma è anche il MOW!!! Metodi Quantitativi per il Management

Deriviamolo Il denominatore esprime la somma delle probabilità dell’evidenza dati tutti i possibili eventi. Nel caso dell’ncertezza epistemica i possibili eventi sono i valori del parametro . Quindi: Sostituendo i vari termini si trova la formula del teorema di Bayes per stribuzioni continue che abbiamo mostrato prima Metodi Quantitativi per il Management

E’ una moneta onesta? Quale è il modello aleatorio? E’ una binomiale: 2) Quale è il valore di p? Supponiamo di non sapere nulla su p e allora scegliamo una distribuzione a priori non informativa: la uniforme Raccogliamo l’evidenza. Al primo lancio esce testa Al secondo croce Al terzo testa Metodi Quantitativi per il Management

Ristulato Equivalentemente: Evidenza: t,c,t L(tctp)=p2(1-p) Primo lancio Evidenza t. MOW: L(tp)=p Priori: 0 Secondo lancio: Evidenza è c MOW: L(cp)=(1-p) Priori: 1 Terzo lancio: Evidenza t MOW: L(tp)=p Priori: 2 Equivalentemente: Evidenza: t,c,t L(tctp)=p2(1-p) Metodi Quantitativi per il Management

Grafico 3 Metodi Quantitativi per il Management 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 3 Metodi Quantitativi per il Management

Distribuzioni Coniugate Likelihood Poisson Distr. a Posteriori Distr. A Priori Gamma dove: Metodi Quantitativi per il Management

Distribuzioni Coniugate Likelihood Normale Distr. a Posteriori: Normale Distr. A Priori di : Normale dove: Metodi Quantitativi per il Management

Distribuzioni Coniugate Likelihood Binomiale Distr. a Posteriori: Beta Distr. A Priori di : Beta dove: Metodi Quantitativi per il Management

Riassunto delle Distribuzioni Coniugate Modello Aleatorio Distribuzione a Priori Distribuzione a Posteriori Binomiale Beta Poisson Gamma Normale Negative binominal The table represents the distribution of the observations, the prior distribution of the parameter w and the posterior distribution of w. For more details, see Chapter 9 of DeGroot. N Metodi Quantitativi per il Management

Incertezza nei Problemi decisionali Investimento: Supponiamo che P.up sia distribuita secondo una uniforme tra 0.3 e 0.7 Come varia la decisione? Occorre propagare l’incertezza nel modello Metodi Quantitativi per il Management

Propagazione analitica E’ lo stesso problema del MOW … Ripetendo per le altre decisioni e confrontando i valori attesi si ottiene la decisione ottimale Ricordiamo: Metodi Quantitativi per il Management

Metodo Monte Carlo Campionamento di un valore di P.up Per ogni valore di P.up si valuta il modello. 2 informazioni: Frequenza della decisione migliore Distribuzione di ciascuna delle alternative Metodi Quantitativi per il Management

Campionamento: il cuore del Monte Carlo 1) Generatore di numeri casuali “u” tra 0 e 1 (I numeri sono generati con distribuzione uniforme) 3) Supponiamo che il parametro incerto  sia caratterizzato dalla distribuzione cumulativa in figura: 1 u Metodi Quantitativi per il Management

Campionamento Inversione: 1 Inversione: I valori di  così ottenuti seguono la densità/cumulativa da cui abbiamo invertito Metodi Quantitativi per il Management

Esempio Valutare il volume del solido mediante metodo Monte Carlo. V0 Metodi Quantitativi per il Management

Applicazione ID e DT Per ognuna delle variabili del modello si crea la corrispondente distribuzione epistemica Storia 1: Si generano n numeri casuali tanti quanti sono le variabili incerte Si campiona il valore di ciascuna variabile invertendo la distribuzione comulativa corrispondente Si valuta il modello Si registra per ciascuna storia il valore di ciascuna delle alternativa Si registra l’alternativa preferita Si ripete il procedimento per N storie Metodi Quantitativi per il Management

Risultato Frequenza della decisione Incertezza della decisione più frequente Metodi Quantitativi per il Management

Problema V-1 Il tempo medio di rottura di una serie di componenti in funzionamento è descritto da una distribuzione esponenziale con parametro . Supponete che  sia caratterizzato da una distribuzione uniforme tra 1/100 e 1/10. Qual è il MOW? Quale il modello epistemico? Qual è il tempo medio di rottura? Supponete di avere registrato I seguenti tempi di rottura: t=15, 22, 25. Aggiornate la distribuzione epistemica in base ai nuovi dati Qual è il nuovo tempo medio di rottura? Metodi Quantitativi per il Management

Problema V-2: Investire Siamo di nuovo alle prese con il problema dell’investimento (lezione 2 per il diagramma di influenza). In realtà, fino ad oggi non avete raccolto dati per la P_up. Dopo aver saputo del teorema di Bayes, cominciate a raccogliere dati. Dopo 15 giorni lavorativi avete: up,down, down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up. Assumendo che le giornate siano indipendenti: a) Quale è il modello aleatorio e quale quello epistemico? b) Senza i dati qual è la decisione migliore? c) Qual è la distribuzione probabilità che il mercato sia up dopo i dati? d) Cosa decidete ora? Soluzione: a) Stabilire un modello aleatorio ed uno epistemico Il modello aleatorio consta del modello degli eventi che caratterizzano la decisione. In questo caso abbiamo un solo evento, l’andamento del mercato. Il modello aleatorio di questo evento è una binomiale, dato che ci sono solo due eventi possibili, up e down, se assumiamo indipendenza tra le giornate. La probabilità corrispondente è P_up. Il modello epistemico: è l’insieme delle distribuzioni che descrive la nostra conoscenza dei parametri del modello aleatorio. In questo caso è la dstribuzione di P_up. La distribuzione a priori: partiamo da una uniforme tra 0 e 1 per P_up, dato che non abbiamo dati b) Dobbiamo riprendere le espressioni del valore delle tre alternative in funzione di P_up Metodi Quantitativi per il Management

Prob. 5-2 Per sapere qual è la decisione migliore, dobbiamo ottenere il valore atteso delle tre alternative sulla distribuzione a priori di P_up, quindi sulla uniforme Sostituendo i valori: E[URisky]=50, E[USafe ]= 20, E[ULess Risky ]= 20 Metodi Quantitativi per il Management

Investire c) Usiamo Bayes per aggiornare l’uniforme Teorema di Bayes: Evidenza: up,down, down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up L(E|P_up): Priori: 0 uniforme tra 0 e 1 Teorema di Bayes: Distribuzione a posteriori E[p_up]=0.47 d) Decisione dopo i dati: E[URisky]=23, E[USafe ]= 20, E[ULess Risky ]= 9.2 Metodi Quantitativi per il Management

Problemi Per gli esempi e gli esercizi della scorsa lezione, sottoponete i modelli ad analisi di sensitività: One way Two way Tornado diagrams Discutete i risultati Metodi Quantitativi per il Management

Decisione Bayesiana Siete i direttori di una libreria. Per migliorare le vendite state pensando di assumere ulteriore personale. Assumendo più persone, pensate, dovrebbe migliorare il servizio. Se il servizio migliora, vi aspettate un aumento del numero dei clienti e il conseguente aumento del fatturato. Supponete che il numero di persone che entrano nel negozio ogni giorno sia distribuito secondo una Poisson, con tasso non noto con certezza. Dai dati a vostra disposizione sul numero di clienti ad oggi vi aspettate in media 50 persone al giorno. I dati fittano una distribuzione gamma con valore atteso 55 e deviazione standard 15. L’aumento di costi dovuto al servizio è 5000EUR al mese. Se il servizio è efficace e ricevete più di 50 visite al giorno, ricavate 15000EUR, per un guadagno operativo di 10000 medio sul numero di visite. Se non riuscite a superare le 50 persone al giorno, allora perdete i 5000EUR. In base ad un sondaggio, stimate la probabilità che il servizio aumenti di qualità pari p. Cosa decidete? Dopo 6 giorni, avete a disposizione I seguenti dati sul numero di clienti: 75,45,30,80,72,41. Riaggiornate le probabilità. Cosa decidereste adesso? Quanto vi aspettate di guadagnare adesso? Sottoponete I risultati ad analisi di sensitività sulle probabilità. Cosa vi suggerisce? Metodi Quantitativi per il Management

Diagramma di influenza Più di 500 Clienti P_500_up 10000 Meno di 500 1-P_500_up -5000 Migliora Servizio Pmigl Non Migliora 1-Pmigl Investo Decisione Non Investo Clienti=0 Servizio=0 P=0.1 Pmigl=0.5 P_500=0.5 P_500_down=0.5 P_500_up=0.7 Metodi Quantitativi per il Management

Capitolo VI Elementi di Teoria delle Decisioni Metodi Quantitativi per il Management

Contenuti Preferenze nella Certezza Preferenze nell’incertezza Curve di indifferenza Funzione Valore [V(x)]: proprietà Indipendenza preferenziale Preferenze nell’incertezza Assiomi delle scelta razionale Funzione Utilità [U(x)] ad una dimensione Avversione al rischio Preferenze in presenza di obiettivi molteplici Funzioni Utilità a multiattributi Metodi Quantitativi per il Management

Preferenze nella certezza Esempio: dovete sceglire il primo lavoro. Stabilite che gli attributi sono: località (misurata in distanza dal vostro luogo di origine), salario di base e prospettive di carriera. Chiamate gli attributi x1, x2, x3. Avete a disposizione 5 scelte o opzioni a1, a2,…,a5. Ad ogni scelta corrisponde con certezza un livello di x1, x2, x3. Ovvero: le conseguenze di ogni scelta sono note con certezza. Come decidete? Si tratta di un problema di scelta a più attributi, in cui le conseguenze di una decisione sono note con certezza. In questo caso dovete solamente stabilire quanto rinunciare di un attributo a favore di un altro. Metodi Quantitativi per il Management

Preferenze nella Certezza La scelta è tra alternative le cui conseguenze sono certe 1 Opzione X1 2 X2 3 X3 4 X4 5 X5 X1=0.0 X2=0.0 X3=0.0 X4=0.0 X5=0.0 Metodi Quantitativi per il Management

E’ possibile strutturare le preferenze? Per un determinato problema, potete creare le curve di indifferenza o di isopreferenza: Punti che giacciono sulla stessa curva vi lasciano indifferente x1 x2 Metodi Quantitativi per il Management

La funzione Valore Supponete di poter associare un valore ad ogni curva di indifferenza: V(x) è la funzione che ci dice quanto sono disposto a scambiare di xj a fronte di un aumento di xk x1 x2 Metodi Quantitativi per il Management

V(x) V(x) è una funzione valore se soddisfa le seguenti proprietà: a) b) Dovete sempre supporre una corrispondenza tra opzioni (ai) e attributi x Metodi Quantitativi per il Management

Esempio Per la scelta del lavoro, supponete di essere giunti alla seguente funzione preferenza: dove x1 è la distanza misurata in centinaia di chilometri, x2 è la prospettiva di carriera misurata in una scala da 0 a 10 e x3 è lo stipendio misurato in k EUR Supponete di avere le seguenti 5 offerte: (1, 5, 20), (5, 4, 10), (8,3,60), (10, 5, 20), (10,2,40) Quale scegliete? Metodi Quantitativi per il Management

Preferenze nell’Incertezza Ora ho una miscela delle conseguenze di prima: per scegliere non uso più la funzione Valore (V(x)) ma l’Utilità (U(x)) P11 U1 P12 U2 P13 U3 P14 U4 1 2 3 P41 P42 P43 P44 4 Scelta Metodi Quantitativi per il Management

Funzione Utilità Utilità è una funzione che dà la preferenza sulle distribuzioni degli attributi. Date le distribuzioni 1 e 2 sulle conseguenze x, la distribuzione 1 è tanto desiderabile quanto la 2 se e solo se: Metodi Quantitativi per il Management

Utilità vs. Valore Problema ad 1 attributo x. Supponiamo che se l’alternativa 1 produce x1 e la 2 x2, allora 12 se x1>x2 Prendiamo due alternative 1 e 2, con x1>x2, dati con certezza. La funzione valore ci dirà: v(x1)>v(x2) Adesso prendete il seguente problema: Per decidere avete bisogno di u(1) e u(2) P1 X1 1-P1 XN XI 1 2 Metodi Quantitativi per il Management

Dominanza stocastica La distribuzione 1 è dominata 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x probability distributions over x Distributions over attribute x La distribuzione 1 è dominata dalla 2, se ottenere più x è preferibile. Viceversa, se ottenere meno x è preferibile, allora la distribuzione 2 è dominata dalla 1 Metodi Quantitativi per il Management

Utilità in una Dimensione Metodi Quantitativi per il Management

Equivalente Certo Data la lotteria: il valore di x tale che siete indifferenti tra x* per certo e giocare la lotteria. In equazioni: N.B.: se siete neutrali rispetto al rischio, allora x*=E[x] P1 X1 1-P1 XN X3 1 2 P1 X1 1-P1 X2 X* 1 2 Metodi Quantitativi per il Management

Definizione di Avversione al Rischio Un decisore è avverso al rischio se preferisce sempre il valore atteso di una lotteria alla lotteria Hp: funzione di utilità crescente. Th: Sitete avversi al rischio se l’equivalente certo di una lotteria è sempre inferiore al valore atteso della lotteria Siete avversi al rischio se e solo se la vostra funzione utilità è concava (£20) 0.500 £40 £20 1 £10 2 £10; P = 1.000 2 : £10 Metodi Quantitativi per il Management

Premio per il Rischio e Premio di Assicurazione Il premio per il rischio (“RP”) di una lotteria è la differenza tra il valore atteso della lotteria e il vostro equivalente certo per la stessa: Intuitivamente, il premio per il rischio è la quantità di attributo a cui siete disposti a rinunciare per evitare i rischi connessi alla lotteria. Supponete ora di trovarvi di fronte ad una lotteria che abbia solo esiti negativi rispetto allo status quo. (una tale lotteria non è altro che un insieme di incidenti). In pratica E[x]=0. A questo punto: Quindi siete disposti a pagare x* pur di coprirvi dalla lotteria. RP in questo caso è il Premio di Assicurazione (PA)! Quindi: Metodi Quantitativi per il Management

Definizione Matematica La funzione avversione al rischio è definita da: che si può anche scrivere: Supponiamo di avere una avversione al rischio costante, otteniamo una funzione utilità esponenziale: Metodi Quantitativi per il Management

Risk Preferences Constant Risk Aversion Compute constant  through Certainty Equivalent (CE): Metodi Quantitativi per il Management

Investment Results with Risk Aversion Market up Market 0.600 1-exp(-200/70) = 1 Market Down 0.400 1-exp(-(-160)/70) = -9 Blue Chip Stock Decision -3 1-exp(-500/70) = 1 1-exp(-(-600/70)) = -5,278 -2,110 Bond=1 1-exp(-50/70) = 1; P = 1.000 TwoStock prob_up=0.6 Risky Investment Metodi Quantitativi per il Management

A quale valore accetterei l’investimento rischioso Metodi Quantitativi per il Management

Esempi di funzioni Utilità Lineare: u=ax Proprietà: Neutrale rispetto al rischio Esponenziale: Segno - Avversione al rischio costante, + propensione al rischio costante Logaritmica: Avversione al rischio decrescente con x Metodi Quantitativi per il Management

Problemi Metodi Quantitativi per il Management

Problema VI-1 Per le seguenti tre funzioni utilità, calcolate: La funzione di rischio r(x) Il premio di rischio per lotterie 50/50 Il premio di assicurazione Metodi Quantitativi per il Management

Problema VI-2 Considerate una lotteria 50/50. Determinate la vostra costante di avversione al rischio, assumendo una funzione esponenziale. Con la costante trovata nell’esercizio precedente, risolvete i problemi e i diagrammi di influenza assegnagi nella lezione 2. Come cambiano le decisioni? Metodi Quantitativi per il Management

Problema VI-3 State analizzando alternative per le vostre vacanze: Un tour per le città culturali d’Italia, durata 10 giorni, costo 500EUR, per un totale di 1500km percorsi in macchina. Un viaggio ai Caraibi, durata 1 settimana, costo 2000EUR, viaggio in aereo. 15 giorni in una località Trentino, per un costo di 2000EUR, con 500km di passeggiate a piedi. In questo caso, per decidere vi serve una funzione utilità o valore? Ragionate sull’ assegnazione di una funzione valore a tre attributi, e provate a decidere. Provate la seguente funzione: dove x1 è il costo in migliaia di EUR, x2 è la distanza e x3 è un coefficiente di merito riposo/divertimento da assegnare tra 1 e 10. Cosa scegliete? Metodi Quantitativi per il Management