Cap. 13 Cerchio e circonferenza

Terzo postulato Punto A (centro) Per definire una circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio Circonferenza Lunghezza

Definizione di circonferenza Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro della circonferenza

Quante circonferenze passano per un punto? Quante circonferenze passano per due punti? Qualsiasi punto dell’asse può essere in centro di una circonferenza che passa per A e B perciò ….. Ricorda l’asse di un segmento L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi

Il circocentro Dal latino circum (circolo) e dal greco Kentron (centro) Si definisce circocentro il punto di incontro dei tre assi di un triangolo Il nome deriva da una proprietà facilmente ricavabile se si ricorda il significato di asse Quante circonferenze passano per tre punti non allineati?….. Ricordiamo il circocentro di un triangolo

Proprietà del circocentro Consideriamo l’asse del lato CB, per definizione il punto O (appartenente all’asse) è equidistante da C e da B OB = OC Prendiamo l’asse del lato AC, ancora una volta O è equidistante da A e da C OC = OA A questo punto si ha che: OB=OC=OA Il circocentro è equidistante di vertici del triangolo

Il centro del circolo …. È ora chiaro che il circocentro è il centro cella circonferenza che passa per i vertici del triangolo Da cui …. Qualsiasi triangolo può essere inscritto in una circonferenza I vertici di un triangolo costituiscono tre punti non allineati pertanto ….

una sola circonferenza Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza

Definizione di cerchio Si definisce cerchio la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

Raggio Si definisce raggio di una circonferenza in segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza Tutti i raggi di una stessa circonferenza sono congruenti

Corda e diametro Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza Si definisce diametro una corda che passa per il centro della circonferenza Tutti i diametri sono congruenti È facile vedere che : d = 2r Il diametro rappresenta anche la corda di dimensione massima

Semicirconferenza si definisce semicirconferenza Consideriamo una circonferenza e un suo diametro Il diametro divide la circonferenza in due parti congruenti Ciascuna di queste parti prende il nome di semicirconferenza si definisce semicirconferenza ciascuna delle due parti in cui la circonferenza risulta suddivisa da un suo diametro

Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle due parti in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d

Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro a Tale angolo prende il nome di angolo al centro Si dice che l’arco AB sottende un angolo a e l’angolo a è sotteso da un arco AB Archi uguali sottendono angoli uguali

Relazione arco - corda In questo caso diremo che la corda AB Dai i due punti che costituiscono gli estremi dell’arco io posso tracciare una corda In questo caso diremo che la corda AB sottende l’arco AB L’arco AB è sotteso dalla corda AB

OB = O’B’ e OA = O’B’ perché raggi di una stessa circonferenza È data una circonferenza di centro O e raggio r Su di essa tracciamo due archi congruenti AB e A’B’ Essi sottendono le corde a e a’ Se tracciamo i raggi otteniamo due triangoli OAB e OA’B’ congruenti per il primo criterio perché: OB = O’B’ e OA = O’B’ perché raggi di una stessa circonferenza Se ciò è vero possiamo concludere che: AB = A’B’ a = a’ perché angoli al centro di archi uguali

Archi congruenti sono sottesi da corde congruenti Corde congruenti sottendono archi congruenti

Il diametro rappresenta anche la corda di dimensione massima Prima abbiamo fatto un’affermazione a cui non era stata data alcuna giustificazione Essa intuitivamente ci è sembrata vera Dimostriamo che effettivamente è così Prendiamo la seguente figura Consideriamo il triangolo ABO Per il criterio di esistenza dobbiamo avere che AB < AO + OB Cioè corda < r + r Ma r + r = d perciò Corda < d In ogni circonferenza qualsiasi corda è minore del diametro corda raggio Il diametro rappresenta anche la corda di dimensione massima

Proprietà del triangolo isoscele In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche asse, mediana e bisettrice Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e l’altezza è anche mediana L’altezza è la perpendicolare condotta a partire dal punto medio perciò sta sul suo asse Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno uguali anche e e z perciò l’altezza è anche bisettrice dell’angolo in C

È data una circonferenza di centro O e raggio r ed una sua corda AD Tracciamo due raggi che uniscono gli estremi della corda col centro della circonferenza Otteniamo il triangolo isoscele ABO Tracciamo l’altezza, essa sarà anche asse, mediana, e bisettrice pertanto … La perpendicolare alla corda passante per il centro della circonferenza divide la corda a metà Consideriamo ora un’altra corda congruente con la prima e tracciamo i raggi dai suoi due estremi Per il terzo criterio i triangoli AOB e A’B’O risulteranno congruenti Le loro altezze h e h’ risulteranno congruenti Se due corde sono congruenti e appartengono alla stessa circonferenza sono equidistanti dal centro

Posizioni reciproche di punto e circonferenza appartenente ad un piano a Un punto è esterno ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r Un punto appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r Un punto è interno ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio

Secanti e tangenti Una retta si dice secante se interseca una curva in due o più punti Una retta si dice tangente ad una curva se ha un solo punto di contatto (da tangere toccare) con la curva (o meglio la tocca in due punti coincidenti)

Posizioni reciproche di retta e circonferenza appartenente ad un piano a Una retta è esterna ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r Una retta è tangente alla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r Una retta è secante ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio

Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa È data una circonferenza c di centro o e raggio r ed un punto p esterno ad essa Dal punto P tracciamo le tangenti m e t alla circonferenza e siano H e K i punti di contatto Tracciamo i segmenti OH, OP e OH e otteniamo due triangoli OHP e OKP congruenti per il primo principio di congruenza Pertanto risulta anche che PH = PK I segmenti che hanno per estremi il punto P e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti

Le tangenti alla circonferenza Le tangenti alla circonferenza sono sempre perpendicolari al raggio La dimostrazione è per assurdo e non rientra nei programmi di scuola media

Dimostriamo che i triangoli OHP e OKP sono congruenti Tracciamo la corda HK Il segmento OP sta sull’asse della corda pertanto è bisettrice di KOH perché, come sappiamo, il triangolo OKH è isoscele A questo punto abbiamo: a = b a1 = a2 e d in comune I due triangoli sono congruenti per il primo principio

Posizioni reciproche di due circonferenze Sono date due circonferenze di centri O e O’ e raggi r ed r’ con r>r’ le due circonferenze si dicono: Esterne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ > r + r’ Tangenti esterne se si toccano in un punto P con OO’ = r + r’ Secanti se hanno due punti P e Q di contatto r – r’ < OO’ < r + r’ Tangenti interne se si toccano in un punto P con OO’ = r – r’ Interne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ < r – r’ Concentriche se si ha che O ≡ O’

Angolo alla circonferenza si chiama angolo alla circonferenza un angolo con il vertice su una circonferenza e i lati o entrambi secanti (prima specie), o uno secante e l'altro tangente alla circonferenza (seconda specie).

Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza Sia data una circonferenza c di centro O e raggio r e un arco AB su di essa Tracciamo un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco d Tracciamo il diametro che passa per C ed O Il triangolo COA avrà gli angoli a, a e 180 – 2a Discorso analogo lo possiamo fare per il triangolo OCB e per l’angolo DOB Gli angoli AOD e COA sono supplementari, siccome uno dei due è 180 – 2a l’altro necessariamente sarà 2a il doppio di ACO

L’angolo alla circonferenza sarà dato da a + b L’angolo al centro da 2a + 2b = 2 x (a + b) cioè esattamente il doppio dell’angolo alla circonferenza In una circonferenza l’angolo al centro che insiste su un certo arco sarà sempre il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco

Angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco Su uno stesso arco di circonferenza insistono infiniti angoli alla circonferenza ed hanno tutti lo stesso valore

Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo arco BC Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dell’arco con il centro Otteniamo cosi una porzione di cerchio Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento a?

Corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 fra le due circonferenze si trova una porzione di piano Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

p 2 p Formule d r C = p x 2r C = p x d C C Ma d = 2 x r allora Formule inverse Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Circonferenza uguale a p greco per il diametro C C d p r 2 p