MATEMATICA IN GIOCO – Seconda Parte Carlo Toffalori – Chiara Clementi Gli uomini non sono mai più ingegnosi che nell'invenzione dei giuochi; l'ingegno si trova a suo agio […] Dopo i giuochi che dipendono unicamente dai numeri, vengono i giuochi in cui entra la posizione […] Dopo i giuochi in cui entrano solo il numero e la posizione, verrebbero i giuochi in cui entra il moto […] Infine sarebbe desiderabile che si avesse un corso intero di giuochi trattati matematicamente. (Leibniz, lettera a De Montmort, 29 luglio 1715)

MATEMATICA RICREATIVA Aritmetica Calcolo Combinatorio Calcolo delle Probabilità Geometria Teoria dei Grafi Logica e altro ancora…

Aritmetica Il problema dei conigli (Fibonacci) Il problema del mercante di bestiame (Eulero) Il problema delle noci di cocco (Fermi? Dirac?)

Il Problema dei Conigli Leonardo Fibonacci, terzo paragrafo del Liber Abaci del 1202 Una coppia di conigli si riproduce dopo due mesi di vita procreando una coppia di conigli al mese. Quante coppie di conigli in vita ci sono al mese n-simo?

Formula ricorsiva F1 = F2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2 per n ≥ 3 Per ogni intero positivo n, Fn = numero delle coppie di conigli presenti nel mese n-simo. Allora - F1 = 1, - F2 = 1, - F3 = 2, - F4 = 3, - F5 = 5, - F6 = 8, - F7 = 13, - … Formula ricorsiva F1 = F2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2 per n ≥ 3 La serie di Fibonacci (Edouard Lucas, metà XIX secolo) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Legame tra il Triangolo di Tartaglia e la serie di Fibonacci

64=65? (Charles Lutwidge Dodgson, noto con lo pseudonimo di Lewis Carroll) Scacchiera 8x8 Scacchiera 13x5 5 = F5 8 = F6 13 = F7 IDENTITA’ DI CASSINI Fn+1 Fn-1 - (Fn )2 = (−1)n F7 F 5 - (F6 )2 = 65 - 64= 1

La sezione aurea Formula esplicita della serie di Fibonacci Sezione o Rapporto aureo La Gioconda L’uomo Vitruviano Partenone

La spirale logaritmica

Il problema del mercante di bestiame Leonardo Eulero Un mercante di bestiame spende 1770 scudi per comprare tori e cavalli. Il costo di ogni cavallo è 21 scudi e di ogni toro è 31 scudi. Quanti tori e cavalli ha acquistato il mercante? notazione x = numero di cavalli acquistati dal mercante y = numero di tori acquistati dal mercante 21x + 31y = 1770 x, y ∈ Z Equazione lineare diofantea del primo ordine Ha coefficienti interi e si cercano soluzioni intere.

Metodo di Eulero Esso consiste nell’esprimere la variabile con coefficiente più piccolo in funzione della variabile con coefficiente più grande. Torniamo alla nostra equazione 21x + 31y = 1770 x, y ∈ Z Ricaviamo la variabile x Ponendo otteniamo una nuova equazione diofantea

SOLUZIONI POSSIBILI - 71 cavalli e 9 tori (u=1), Procedendo allo stesso modo otteniamo dove Operando alcune sostituzioni otteniamo il numero dei tori e dei cavalli acquistati dal mercante in funzione della variabile u e SOLUZIONI POSSIBILI - 71 cavalli e 9 tori (u=1), - 40 cavalli e 30 tori (u=2), - 9 cavalli e 51 tori (u=3).

Il problema dei naufraghi, la scimmia e le noci di cocco Ben Ames Williams sul Saturday Evening Post del 2 ottobre 1926 Cinque naufraghi si ritrovano su un'isola abitata solamente da una scimmia. I naufraghi passano il primo giorno a raccogliere noci di cocco, che divideranno in cinque parti il giorno seguente. Durante la notte, quando tutti dormono, un naufrago si sveglia e decide di prendere la sua parte: divide il mucchio di noci in cinque parti, nasconde la sua e, avanzando una noce, la dà alla scimmia poi riforma il mucchio delle noci restanti. Poco dopo si sveglia un secondo naufrago che divide il mucchio di noci rimanenti in cinque parti e nasconde la sua. Una noce avanza dalla divisione e la dà alla scimmia. Uno dopo l'altro gli ultimi tre fanno la stessa cosa. La mattina seguente i naufraghi si svegliano e, come d'accordo, dividono le noci in cinque parti e ne prendono una parte a testa. Ne avanza una che viene data alla scimmia. Quante erano all'inizio le noci di cocco?

Notazione n = numero totale delle noci, ni = numero delle noci accantonate dal naufrago i (i = 1, 2, …, 5), n6 = numero delle noci di ogni parte nella distribuzione finale. Otteniamo dalle informazioni del problema il seguente sistema di equazioni

PRIMO METODO DI RISOLUZIONE Attraverso l'eliminazione successiva delle variabili, possiamo ridurre questo sistema di equazioni diofantee a un'unica equazione diofantea Applicando il metodo di Eulero, mostrato nel problema precedente, troviamo le soluzioni dell’equazione.

SECONDO METODO DI RISOLUZIONE Il seguente metodo fu proposto da David Sharpe nel 1979 ed è basato sulle congruenze. Dalle precedenti equazioni troviamo che In conclusione la minima soluzione positiva per n è 15621.

TERZO METODO DI RISOLUZIONE Non si ha certezza dell'ideatore di questo metodo; alcuni lo attribuiscono al fisico inglese Dirac, altri all'italiano Enrico Fermi. Osservazione Se n è una soluzione del problema, allora lo è pure per ogni q ∈ N. Una soluzione possibile, almeno teoricamente, è (!!!). Quindi anche è soluzione sensata. Da chiarire: coma fa n = −4 a essere una soluzione del problema?

Calcolo Combinatorio Le Torri di Hanoi Il Sudoku

Le Torri di Hanoi Edouard Lucas, Récréations mathématiques del 1884 Supponiamo di avere n dischi forati di ampiezza diversa e una base su cui sono montati tre bastoncini rivolti verso l'alto, etichettati con A, B e C. Inizialmente i dischi sono infilati in ordine di grandezza decrescente nel bastoncino A. Lo scopo del gioco è quello di spostare tutti i dischi in C sempre in ordine di grandezza decrescente usando le seguenti regole: - ˆ è possibile spostare i dischi sul bastoncino B, ˆ- si deve evitare che un disco finisca su un disco più piccolo. Sia H(n) il numero minimo di movimenti necessari per risolvere il problema delle Torri di Hanoi con n dischi .

PRIMO CASO: un solo disco B C H(1) = 1

SECONDO CASO: due dischi B C H(2) = 3

Passiamo da n dischi a n+1 dischi Supponiamo che con H(n) movimenti si riesca a risolvere il problema con n dischi. Passiamo al caso di n + 1 dischi. A B C H(n+1) = 2H(n) +1

H(n) = 2n - 1 . Abbiamo che H(n) = 2H(n-1) +1 H(n-1) = 2H(n-2) +1 . H(2) = 2H(1) +1 . Moltiplichiamo rispettivamente le equazioni per 1, 2, …, 2n-3, 2n-2 e sommando troviamo che H(n) = 2n - 1 .

Leggenda Nel tempio di Brahma a Benares, sotto una cupola che rappresenta il centro del mondo, è posizionato un piatto di ottone con tre colonne di diamante. Nello stesso momento in cui Dio creò il mondo creò anche le torri di Brahma e infilò su una delle colonne in ordine crescente 64 dischi d'oro forati di varie ampiezze. Quando i monaci riusciranno a spostare tutti i dischi su un'altra colonna, seguendo le regole precedentemente descritte, il mondo finirà. Secondo la formula precedentemente trovata per fare ciò i monaci impiegheranno H(64) = 264 − 1 =18446744073709551615 mosse, quindi più di 500 miliardi di anni!

Quello che solitamente viene provato è che il numero di movimenti richiesti dall'algoritmo ricorsivo per n dischi è 2n−1. Questo non dimostra che non esistono altri algoritmi con un minor numero di movimenti. ( Derick Wood nell’articolo The towers of Brahma and Hanoi revisited , Journal of Recreational Mathematics del 1981) H(n) ≤ 2n − 1

2n − 1 PRIMO CASO H(n) = 2H(n−1)+1 = 2n − 1 D. Wood dimostra che è esattamente il limite inferiore del numero dei movimenti necessari per n dischi e tre bastoncini. Per n = 1 è banalmente vero. Assumiamo ora che n > 1 e H(k) = 2k − 1 per ogni k con 1 ≤ k < n. Consideriamo il caso k = n. Studiamo il primo movimento del disco n. PRIMO CASO H(n) = 2H(n−1)+1 = 2n − 1

SECONDO CASO A B C A B C H(n) > 2H(n−1)+1

Il Sudoku Howard Garns , rivista Dell Pencil Puzzles & Word Games, 1979

I Quadrati Latini (Eulero): antenati del Sudoku

Quadrati Euleriani Per quali N ci sono quadrati euleriani n x n? Eulero diede una risposta positiva se N è dispari o divisibile per 4 ipotizzò che il problema non è risolvibile se N = 4k + 2 con k ∈ N. Nel 1901 il matematico algerino Gaston Tarry dimostrò la congettura di Eulero per il caso N = 6, ma per altri casi maggiori di 6 l'ipotesi venne confutata nel 1960 dai matematici R. Bose, E. Parker e S. Shrikhande.

Quadrato euleriano di ordine 10 trovato da Parker

Osservazioni E’ stato calcolato il numero di tutti i possibili schemi del Sudoku. Esso è 6 670 903 752 021 072 936 960 A meno di “equivalenze”, il numero si riduce a 5 472 730 538 mantenendosi comunque al di sopra dei cinque miliardi. 17 sembra essere la minima quantità di numeri che devono essere inizialmente forniti, affinché la soluzione sia unica ma la cosa non è stata ancora dimostrata. 77 è la quantità massima che non garantisce l'unicità della soluzione, infatti a partire da una griglia opportuna con 77 numeri si trovano due diversi schemi completi di Sudoku.

Il calcolo delle probabilità e il Problema dei Punti in palio (Pascal-Fermat, 1654) Due giocatori partecipano a un gioco, nel quale la posta in gioco sarà assegnata a quel giocatore che raggiungerà un certo numero di punti. A un certo momento però il gioco viene interrotto. La questione è come dividere il premio tra i due giocatori sulla base dei punti che hanno raggiunto al momento dell'interruzione del gioco. Caso particolare: consideriamo il gioco del lancio della moneta. Supponiamo di sapere che la partita in corso si concluderà al massimo entro 4 giocate e che al momento dell'interruzione al giocatore A mancano 2 punti alla vittoria, mentre a B 3 punti.

11 : 5 11 le combinazioni che portano il giocatore A alla vittoria caso 1° giocata 2° giocata 3° giocata 4° giocata vincitore 1 a A 2 b 3 4 5 6 7 8 B 9 10 11 12 13 14 15 16 LEGENDA a = vittoria del giocatore A nella singola giocata b = vittoria del giocatore B nella singola giocata 11 le combinazioni che portano il giocatore A alla vittoria 5 le combinazioni che portano il giocatore B alla vittoria 11 : 5

Generalizzando … Il numero di punti necessari per la vittoria è n Al giocatore A mancano k punti per la vittoria, Al giocatore B mancano m punti per la vittoria, Per concludere la partita, mancherebbero k + m − 1 giocate. Indicando con e(k, m) la quota della posta in gioco destinata al giocatore A, si ha che per n, k, m = 1, 2, … e(0, n) = 1, e(n, n) = ½ , e(k, m) = ½ [e(k − 1, m) + e(k, m − 1)]. Una formula esplicita…

Geometria Linee nel piano Piani nello spazio

Linee nel Piano Jacob Steiner, 1826 Quanti pezzi si ottengono al massimo dividendo una pizza con determinato numero di tagli dritti? Problema Trovare il massimo numero di parti in cui è possibile dividere il piano tracciando un numero n di rette. Indichiamo tale numero con P(n). Tralasciamo i seguenti casi - due o più rette parallele, - tre o più rette incidenti nello stesso punto.

P(0) = 1 P(1) = 2 P(2) = 4

Passiamo da n rette a n+1 rette

Legame tra i numeri P(n) ed il Triangolo di Tartaglia

Variante del problema P*(0) = 0 P*(1) = 0 P*(2) = 0 Problema Trovare il massimo numero di parti limitate in cui è possibile dividere il piano tracciando un numero n di rette. Indichiamo tale numero con P*(n). P*(0) = 0 P*(1) = 0 P*(2) = 0

Passiamo da n rette a n+1 rette

Piani nello Spazio Problema Trovare il massimo numero di parti in cui è possibile dividere lo spazio tridimensionale tracciando un numero n di piani. Indichiamo tale numero con S(n). Banalmente si trova che Seguendo lo stesso ragionamento di prima, aggiungiamo un (n+1)-esimo piano, quest'ultimo interseca i primi n piani con n rette distinte, che dividono il (n + 1)-esimo piano in P(n) regioni piane, quindi

Legame tra i numeri S(n) e il triangolo di Tartaglia

Paradossi logici (Zenone) Il piè veloce Achille e la tartaruga Il punto (im)mobile

Achille piè veloce e la tartaruga zampa lenta Zenone di Elea (489 a. C Achille piè veloce e la tartaruga zampa lenta Zenone di Elea (489 a.C.-431 a.C.) Achille deve fare una gara di velocità con una tartaruga, ma dato che è nettamente più veloce decide di darle un po' di vantaggio. Achille raggiungerà la tartaruga? Se sì, dopo quanto tempo? Risposta di Zenone: Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Errore nel ragionamento di zenone NOTAZIONE vA = velocità di Achille vT = velocità della tartaruga Supponiamo che vA = 10vT e sia s0 il vantaggio iniziale della tartaruga. Per percorrere s0, Achille impiegherà un tempo t1 pari a t1 = s0/vA . Nel tempo t1 la tartaruga avrà percorso uno spazio s1 pari a s1 = vT/t1 = s0/10. Per percorrere s1, Achille impiegherà un tempo t2 pari a t2 = s1/vA e in questo tempo la tartaruga ha percorso s2 = vT/t2 = s0/100 . . . e così via. Il tempo impiegato da Achille per raggiungere la tartaruga è serie geometrica di ragione 1/10, che ha somma 10/9 Errore nel ragionamento di zenone Zenone pensa che la somma di un numero infinito di intervalli finiti sia infinita.

Il punto (im)mobile Zenone di Elea (489 a.C.-431 a.C.) Achille deve percorrere una certa distanza: prima deve percorrere la metà della distanza, ancora prima un quarto, ancora prima un ottavo ... e così via. Il tempo impiegato da Achille per percorrerla è finito? Risposta di Zenone: Zenone osserva che questo processo di dimezzamento può continuare all'infinito. Achille deve percorrere un numero infinito di intervalli limitati e dunque non arriverà mai alla ne del percorso.

Siano s la distanza da percorrere e v la velocità di Achille Siano s la distanza da percorrere e v la velocità di Achille. La serie di distanze da percorrere è Il tempo impiegato è serie geometrica di ragione ½, che ha somma 2 TEMPO FINITO

Teoria dei Grafi Il problema dei ponti di Königsberg Il Gioco Icosiano

Il problema dei ponti di Königsberg Eulero, Solutio problematis ad Geometriam situs pertinentis, Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae del 1736 Trovare, se possibile, un percorso che attraversi tutta la città passando una sola volta su ciascun ponte. Cartina della citta di Königsberg ai tempi di Eulero.

Grafo del problema dei ponti di Königsberg Dato che i ponti da attraversare sono sette, il problema diventa quello di trovare una parola composta da 8 lettere prese tra A, B, C e D. Le lettere devono succedersi secondo il ponte che le collega e ogni ponte deve essere coinvolto esattamente 1 volta. Le lettere B, C e D devono allora comparire due volte nella parola dato che sono collegati a tre archi La lettera A deve comparire almeno tre volte, dato che la parte della città che rappresenta è collegata alle altre tramite 5 ponti. Non è possibile trovare un percorso di questo tipo

Generalizzando … Problema Dato un grafo, ci chiediamo se esso è Euleriano. Definizione Si definisce cammino di Eulero in un grafo un percorso dove ogni arco è attraversato una e una sola volta. Un grafo che contiene un cammino di Eulero chiuso, ovvero un ciclo di Eulero, è detto grafo Euleriano. Teorema Sia G un grafo connesso contenente almeno un vertice. Esso è euleriano se e solo se tutti i suoi vertici hanno grado pari. Inoltre un grafo connesso contiene un cammino di Eulero dal vertice v al vertice w se e solo se v e w sono gli unici vertici di grado dispari.

Soluzione del problema dei ponti di Königsberg Il grafo in figura, pur essendo connesso, non ha tutti i vertici di grado pari. Non esiste un cammino chiuso euleriano e quindi il quesito posto dagli abitanti ha risposta negativa.

Il Gioco Icosiano William Hamilton, 1857 Materiale del gioco pedine numerate da 1 a 20 tavola con 20 fori e linee che collegano i fori Scopo del gioco I giocatori devono mettere i pioli nei fori (numerati da 1 a 20) in modo tale che ogni coppia di interi consecutivi e la coppia (1, 20) siano collegate da una sola linea sulla tavola.

SI Problema Il grafo relativo al Gioco Icosiano è hamiltoniano? Il dodecaedro del Gioco Icosiano può sicuramente essere interpretato come un grafo, dove i fori rappresentano i vertici e le linee gli archi del grafo. Definizione In un grafo G un ciclo o cammino è detto ciclo o cammino di Hamilton se contiene ogni vertice una e una sola volta. Un grafo è hamiltoniano se contiene un ciclo di Hamilton. SI Problema Il grafo relativo al Gioco Icosiano è hamiltoniano?