Tre modi di considerare gli insiemi: le teorie ZF, GB(G), GB(B).

Il perchè delle teorie (x)(y)((z)(zx↔zy)→xy) (x)(y)(yx↔A(y)) L’assiomatizzazione di Frege La teoria proposta da Frege considera un solo predicato binario primitivo  per indicare l’appartenenza e due assiomi: Assioma di estensionalità: Se due insiemi hanno gli stessi elementi allora sono identici. (x)(y)((z)(zx↔zy)→xy) Assioma di comprensione: (x)(y)(yx↔A(y)) Pochi assiomi, chiari, intuitivi. La teoria è però talmente potente da riuscire a dimostrare una contraddizione. Il paradosso (e anche antinomia) di Russell La contraddizione si scopre considerando questa occorrenza dello schema di comprensione: (x)(y)(yx↔¬(yy))

Per recuperare la teoria degli insiemi si è allora cercato un sistema di assiomi in cui non fosse così semplice derivare una contraddizione. Sono state elaborate varie teorie nel tentativo di approdare a una teoria consistente. Russell propose un sistema in cui si dava una gerarchia alle variabili in modo che la formula considerate per dimostrare la contraddizone non fosse più nemmeno ben formata. Altri pensarono di limitare o escludere lo schema di assiomi di comprensione.

Le teorie Z e ZF L’idea di queste teorie è di rinunciare al principio di comprensione. Non si ha un insieme in corrispondenza di ogni condizione determinante o di ogni proprietà. Per evitare le contraddizioni secondo Zermelo si devono infatti considerare insiemi solo entità a cui non appartenga un eccessivo numero di elementi. La teoria Z Per entrambe le teorie si danno come simboli primitivi : -I simboli logici di un linguaggio del prim’ordine con identità. -Il predicato binario . La teoria si compone di 7 tipi di assiomi (6 assiomi e uno schema).

(x)(y)((z)(zx↔zy)→xy) Assioma di Estensionalità. Se due insiemi hanno gli stessi elementi allora sono identici: (x)(y)((z)(zx↔zy)→xy) Attraverso il solo assioma di estensionalità possiamo dimostrare uno schema di teoremi utile per estendere la teoria con nuovi simboli funzionali: Sia A una formula e xLib(A) allora: (!!x)(y)(yx↔A(y)) Schema di assiomi di Isolamento. Per ogni formula, esiste l’insieme composto dagli elementi che appartengono a un insieme e soddisfano la formula: Per ogni formula B: (x)(y)(z)(zy↔zxB(z))

L’assioma di isolamente ci permette già di dimostrare l’esistenza di alcuni insiemi, ad esempio l’insieme vuoto: E di conseguenza una volta dimostratane l’unicità di estendere la teoria introducendo una nuova costante individuale: Ax.∅ (y)¬(y∅)

(x)(z)(y)(yz↔(u)(yuux)) Assioma dell’Unione. Per ogni insieme esiste l’insieme che è l’unione di tutti i suoi elementi: (x)(z)(y)(yz↔(u)(yuux)) Introduzione del predicato binario  di inclusione Considerando la formula: (u)(ux→uy) Estendiamo la teoria con un nuovo predicato binario  attraverso un assioma: Ax. (x)(y)(xy↔(u)(ux→uy)) Leggeremo la formula xy come x è sottoinsieme di y. Assioma della Potenza. Preso un insieme qualunque esiste l’insieme al quale appartengono tutti e soli i suoi sottoinsiemi: (x)(y)(z)(zy↔zx) Si è ora in grado di dimostrare il teorema necessario all’introduzione del simbolo funzionale unario per indicare la potenza di un insieme (ma noi non lo introdurremo).

Assioma della Coppia. Esiste l’insieme a cui appartengono due insiemi: (x)(y)(z)(u)(uz↔uxuy) Introduzione del simbolo funzionale binario della coppia Grazie all’assioma della coppia e all’assioma di estensionalità otteniamo: (x)(y)(!z)(u)(uz↔uyux) Estendiamo quindi la teoria introducendo un nuovo simbolo funzionale binario {-,-} il comportamento del quale sarà regolato dal seguente assioma definitorio: Ax. {-,-} (x)(y)(u)(u{x,y}↔uyux) Introduciamo inoltre mediante definizione esplicita il simbolo {-} per indicare il singoletto di un insieme: {x}{x,x}

(x)(y)(!z)(u)(uz ↔ ux  uy) Introduzione del simbolo funzionale binario di intersezione. Attraverso l’assioma di isolamento è possibile ottenere: (x)(y)(!z)(u)(uz ↔ ux  uy) Estendiamo la teoria attraverso l’introduzione di un nuovo simbolo funzionale binario  regolato dal seguente assioma definitorio: Ax. (x)(y)(u)(uxy ↔ ux  uy) Assioma di Fondazione. Ogni insieme non vuoto è disgiunto da qualche suo elemento: (x)(¬(x∅)→(y)(yxxy∅)) Attraverso il precedente assioma possiamo dimostrare l’inesistenza di cicli all’interno della teoria ossia l’esistenza di catene di insiemi come xx. E’ infatti un teorema della teoria (x)¬(xx).

Introduzione del simbolo funzionale unario dell’unione Grazie all’assioma dell’unione e all’assioma di estensionalità otteniamo: (x)(!z)(u)(uz↔(y)(uyyx)) estendiamo la teoria introducendo un nuovo simbolo funzionale unario di unione , regolato dal seguente assioma definitoro: Ax.  (x)(u)(u(x)↔(y)(uyyx)) introduciamo inoltre il simbolo di unione binaria U attraverso la seguente definizione esplicita: xUy({x,y}) Il comportamento di questo simbolo è proprio quello atteso in quanto è un teorema di Z la formula: uxUy↔uxuy. Infatti dall’assioma dell’unione: (u)(u({x,y})↔(z)(uzz{x,y}))

Introduzione del predicato unario di ereditarietà Introduciamo la costante individuale 0 e il simbolo funzionale unario (…)+ definendoli esplicitamente come segue: 0∅ x+xU{x} Chiaeremo x+ il successore di x. Come si può desumere dalla definizione il successore di x appartengono tutti gli elementi che appartengono a x e x stesso. Consideriamo ora la formula: 0x(y)(yx→y+x) E introduciamo il predicato unario Ered attraverso il seguente assioma definitorio: Ax. Ered (x)(Ered(x)↔0x(y)(yx→y+x)) Assioma dell’infinito. Esiste un insieme ereditario: (x)Ered(x)

(u)(!!z)A(u,z)→(x)(y)(z)(zy↔(u)(uxA(u,z)) La teoria ZF ZF si ottiene sostituendo dalla lista di assiomi di Z lo schema di assiomi di isolamento e (potenzialmente) l’assioma della coppia con lo schema di assiomi di rimpiazzamento. Schema di assiomi di rimpiazzamento. esiste l’insieme ottenuto da quello dato sostituendo ognuno dei suoi elementi con al più un altro elemento: Presa una formula A in cui x e y non sono libere: (u)(!!z)A(u,z)→(x)(y)(z)(zy↔(u)(uxA(u,z)) E’ possibile provare ogni occorrenza dello schema di isolamento in ZF usando un’occorrenza dello schema di rimpiazzamento. Possiamo così considerare tutte le occorrenze di quello che in Z era lo schema di isolamento come teoremi di ZF.

La teoria GB nello stile di Gödel La sintassi di GB(G) è costruita pensando agli individui di un ipotetico suo modello non in termini di insiemi ma in termini di classi. Tutti gli insiemi sono classi ma non tutte le classi sono insiemi. Le classi che non sono insiemi sono dette classi proprie. GB(G) permette di recuperare uno schema di assiomi di comprensione (opportunamente limitato) tra gli assiomi della teoria. GB(G) permette di esprimere l’esistenza di classi come la classe di Russell o la Classe di tutti gli insiemi senza incorrere nelle contraddizioni nel modo consueto. E’ equicoerente rispetto a ZF: se abbiamo fiducia in ZF dovremmo averne anche in GB(G)

(x)(y)((z)(zx↔zy)→xy) La teoria GB(G) si compone di 10 tipi di assiomi: Assioma di Estensionalità. Se due classi hanno gli stessi elementi allora sono identiche: (x)(y)((z)(zx↔zy)→xy) L’assioma di estensionalità GB(G) è sintatticamente identico all’assioma di estensionalità di Z e ZF, tuttavia il significato inteso è differente. Le variabili individuali di GB(G) infatti variano su classi e non su insiemi e come vedremo i due termini non sono sinonimi. Introduzione del predicato unario Set(…) Considerata la formula: (x)(yx), estendiamo la teoria mediante definizione introducendo il predicato unario Set(…) attraverso il seguente assioma definitorio Ax.Set (y)(Set(y)↔(x)(yx))

Formule relativizzate e formule predicative Definizione 1. Una formula è detta relativizzata se ogni quantificatore che vi compare opera su una formula B del tipo seguente: Nel caso si tratti di un quantificatore universale: Nel caso si tratti di un quantificatore esistenziale: Definizione 2. Una formula A èdetta predicativa se è esiste una formula B relativizzata tale che: Assioma di comprensione. Per ogni formula predicativa esiste la classe di tutti e soli gli insiemi che la soddisfano: Sia A predicativa e sia x ∉Lib(A); allora è un assioma: (1.1.1) (x)(y)(yx↔Set(y)A) Ne è una formulazione equivalente: (1.1.2) (x)(y)(Set(y)→(yx↔A))

(x)(y)(Set(y)→ yx) Introduzione della costante individuale U per indicare la classe universo Grazie alla comprensione è ora possibile considerare l’esistenza della classe a cui appartengono tutti gli insiemi: (x)(y)(Set(y)→ yx) e tramite l’assioma di estensionalità non è difficile ottenere: (!!x)(y)(Set(y)→ yx) Permettendoci così di ottenere: (!x)(y)(Set(y)→ yx) Introduciamo ora il simbolo U mediante il seguente assioma definitorio: Ax.U (y)(Set(y)→ yU) A differenza di Z e ZF, la teoria GB(G) risulta quindi essere in grado di esprimere l’esistenza di un entità a cui appartengono tutti gli insiemi non essendo quest’ultima a sua volta un insieme. È infatti un teorema della teoria ¬Set(U)

Per la dimostrazione del precedente teorema possiamo ricorrere all’assioma di fondazione: Oppure in modo apparentemente più laborioso farne a meno:

Inoltre dalla definizione di Set(…) si ha: (yU)(Set(y)) Poché se una classe appartiene a qualche classe è un insieme, possiamo stabilire con un teorema l’equivalenza tra l’essere un insieme e l’appartenere alla classe universo: (y)(yU↔Set(y)) Ogni volta che incontriamo una formula in cui compare il predicato Set possiamo ottenere una formula equivalente sostituendo le presenze di Set(…) all’interno della formula con …U. In particolare possiamo riformulare l’assioma di comprensione nel modo seguente: Per ogni formula predicativa A che non contenga presenze libere di y: (y)(xU)(xy↔A)

Introduzione della costante individuale ∅ per indicare la classe vuota Come nel caso della classe universo attraverso l’assioma di comprensione otteniamo l’esistenza della classe che ci interessa e attraverso l’assioma di estensionalità la sua unicità. (!x)(y)(¬(yx)) Possiamo quindi introdurre (mediante definizione) la nuova costante individuale ∅ con assioma definitorio: Ax.∅ (y)(¬(y∅)) Introduzione del simbolo funzionale binario della coppia In ZF l’introduzione del simbolo per indicare la coppia richiedeva un assioma specifico. In GB(G) il teorema necessario per la formulazione dell’assioma definitorio si ottiene direttamente dagli assiomi di comprensione e di estensionalità. Ax.{-,-} (u)(z)(yU)(y{u, z}↔yuyz)

Si rivelerà inoltre utile introdurre accanto al simbolo funzionale della coppia anche il simbolo funzionale unario di singoletto e quello binario di coppia ordinata attraverso delle definizioni esplicite: {x}{x,x} x,y{{x,y},{x}} Coppie di Classi In GB(G) ha senso non solo parlare di coppie di insiemi ma anche di coppie di classi proprie e di coppie “miste”. I comportamenti di tali simboli funzionali saranno diversi in relazione al tipo di individui su cui opereranno. Set(x)¬Set(y)→{x,y}{x} ¬Set(x)¬Set(y)→{x,y}∅ Per assicurarsi che la classe formata dalla coppia di due classi si comporti sugli insiemi come ci si potrebbe aspettare, è necessario introdurre l’apposito assioma.

Assioma della Coppia. Se due classi sono insiemi allora lo è anche la loro coppia: (y)(x)(Set(x)Set(y)→Set({x,y})) Questo assioma garantisce anche per le coppie ordinate. Introduzione del predicato binario  di inclusione Considerando la formula (u)(ux→uy) si estende la teoria attravero il seguente assioma: Ax. (x)(y)(xy↔(u)(ux→uy))

Introduzione del simbolo funzionale unario P(…) della potenza Attraverso gli assiomi di comprensione e di estensionalità si ottiene: (u)(!x)(yU)(yx↔yu)) Estendiamo la teoria con un nuovo simbolo funzionale unario P(…): Ax.P (u)(yU)(yP(u)↔yu) Leggeremo il simbolo P(u) come la potenza di u. Sottolineiamo inoltre che ad una classe potenza non appartengono tutte le sottoclassi di una classe ma soltanto tutti i suoi sottoinsiemi. Assioma della potenza. se una classe è un insieme allora lo è anche la classe di tutti i suoi sottoinsiemi: (x)(Set(x)→Set(P(x))

Introduzione del simbolo funzionale  per indicare l’insieme unione La formula (y)(yxuy) è predicativa. Possiamo così considerare una occorrenza dello schema di comprensione ad essa corrispondente: (x)(z)(uU)(uz↔(y)(yxuy)) Attraverso l’assioma di estensionalità si ottiene : (x)(!z)(uU)(uz↔(y)(yxuy)) Si può ora estendere la teoria con un nuovo simbolo funzionale unario  mediante il seguente assioma definitorio: Ax.  (x)(uU)(u(x)↔(y)(yxuy))

¬Set(x)¬Set(y)→({x,y}) ∅ Introduzione del simbolo funzionale binario u di unione binaria Per preservare il comportamento “corretto” dell’unione binaria non possiamo definire il simbolo funzionale corrispondente in modo esplicito come abbiamo fatto in ZF. Infatti: ¬Set(x)¬Set(y)→({x,y}) ∅ Attraverso gli assiomi di comprensione e di estensionalità si ottiene: ((x)(y)(!u)(zU)(zu↔zxzy) Estendiamo quindi la teoria mediante il seguente assioma: Ax. U (x)(y)(zU)(zxuy↔ zxzy) Definiamo inoltre il simbolo di successiva di una classe attraverso la seguenti identità: x+xu{x}

Introduzione del simbolo funzionale binario  di intersezione binaria Assioma dell’unione. se una classe è un insieme allora lo è anche la classe composta da tutti gli insiemi appartenenti agli elementi della prima: (x)(Set(x)→Set((x))) Introduzione del simbolo funzionale binario  di intersezione binaria Attraverso gli assiomi di comprensione e di estensionalità si ottiene: (x)(y)(!u)(zU)(zu↔zxzy) Si può ora estendere la teoria con un nuovo simbolo funzionale binario  mediante il seguente assioma definitorio: Ax.  (x)(y)(zU)(zxy↔ zxzy)

(x)(Set(x)→(y)Set(xy)) Assioma di isolamento. L’intersezione di un insieme con una classe è un insieme: (x)(Set(x)→(y)Set(xy)) Grazie al precedente assioma possiamo facilmente dimostrare che ogni sottoclasse di un insieme è un insieme: (x)(y)(Set(x)yx→Set(y)) Assioma di fondazione. Ogni insieme non vuoto è disgiunto da qualche suo elemento: (xU)(¬(x∅)→(y)(yx(yx∅))

Introduzione del predicato unario per indicare le classi relazionali Considerando la formula (y)(yx→(uU)(zU)( y<u,z>)) si estende la teoria introducendo il predicato Rel(…) mediante seguente assioma: Ax. Rel Rel(x)↔(y)(yx→(uU)(zU)(y<u,z>)) Diremo essere relazionali le classi soddisfacenti il predicato Rel. Introduzione del predicato unario per indicare le classi univoche Considerata la formula (yU)(uU)(zU)((<y,u>x<y,z>x)→uz), si estende la teoria introducendo il predicato unario Un(…) mediante il seguente assioma: Ax.Un Un(x)↔(yU)(uU)(zU)((<y,u>x<y,z>x)→uz) Diremo essere univoche le classi soddisfacenti il predicato Un.

(x)(!z)(uU)(uz↔(yU)(<y,u>x)) Introduzione del predicato unario Fun(…) per indicare le classi funzionali Considerando la formula Rel(x)Un(x) si estende la teoria introducendo il predicato Fun(…) mediante il seguente assioma: Ax. Fun Fun(x)↔ Rel(x)Un(x) Diremo essere funzionali le classi soddisfacenti il predicato Fun. Introduzione del simbolo funzionale unario Im(…) per indicare l’immagine di una classe Attraverso gli assiomi di comprensione e di estensionalità si ottiene: (x)(!z)(uU)(uz↔(yU)(<y,u>x)) Estediamo quindi la teoria mediante il seguente assioma : Ax. Im (x)(uU)(u Im(x)↔(yU)(<y,u>x))

Introduzione del funzionale unario unario Dom(…) per indicare il dominio di una classe Attraverso gli assiomi di comprensione e di estensionalità si ottiene: (x)(!z)(uU)(uz↔(yU)(<u,y>x)) Estendiamo la teoria mediante il seguente assioma: Ax. Dom (x)(uU)(uDom(x)↔(yU)(<u,y>x)) Assioma di rimpiazzamento. Se una classe è funzionale e il dominio di quella classe è un insieme, allora anche l’immagine di quella classe è un insieme: Fun(x)Dom(x)U→Im(x)U

Introduzione del predicato unario Ered(…) per indicare le classi ereditarie Introduciamo un nuovo predicato unario attraverso il seguente assioma: Ax. Ered Ered(x)↔∅x(y)(yx→y+x) Introduzione della costante individuale E per indicare la classe degli insiemi ereditari Attraverso l’assioma di estensionalità e l’opportuna occorrenza dello schema di comprensione otteniamo che: (!z)(uU)(uz↔Ered(u)) Estendiamo la teoria con una nuova costante individuale E con il seguente assioma: Ax. E (uU)(uE↔Ered(u))

A questo punto del suo sviluppo la teoria GB(G) è in grado di provare l’esistenza di classi ma non l’esistenza di insiemi. La classe vuota potrebbe infatti non essere un insieme. Per parlare di insiemi dobbiamo introdurre un apposito assioma. Assioma dell’insieme vuoto. la classe vuota è un insieme: Set(∅) Il precedente assioma permette attraverso l’assioma di comprensione di ottenere enunciati che si pronunciano sull’esistenza di classi ereditarie, tuttavia non basta per assicurare l’esistenza di insiemi ereditari.

La minima classe ereditaria L’assioma dell’insieme vuoto è però sufficiente per dimostrare: Ered((E)) Il precedente teorema segnala anche che nel caso ci fossero insiemi ereditari (E) sarebbe la minima classe ereditaria. Infatti dalla definizione di intersezione si ha: (x)(x(E)↔(z)(zE→xz)) da cui si ottiene: (x)(xE→(E)x) . Assioma dell’infinito. L’intersezione della classe delle classi ereditarie è un insieme: Set((E))

La teoria GB nello stile di Bernays Al contrario di GB(G), GB(B) distingue nettamente tra ciò che è una classe e ciò che è un insieme. Tale differenza nel sistema precedente era parzialmente nascosta, qui invece si vuole mettere in luce la natura differente dei due tipi di enti. Gli uni (le classi) sono originate da considerazioni meramente logico linguistiche (estensioni di predicati). Gli altri sono gli oggetti della matematica indipendenti dalle astrazioni linguistiche.

Il linguaggio Il linguaggio di GB(B) si compone dei seguenti simboli primitivi: I simboli logici di una logica del prim’ordine con l’identità I predicati unari C e S I predicati binari e e g

Non vi sono altri enti oltre alle classi e agli insiemi: La teoria GB(B) Non vi sono altri enti oltre alle classi e agli insiemi: (x)(C(x)S(x)) Nessuna classe è un insieme: (x)(S(x)→¬C(x)) Se un elemento afferisce a un altro elmento allora sono entrambi insiemi. (x)(y)(xey→S(x)S(y)) Se un elemento soddisfa un altro elemento allora il primo è un insieme e il secondo una classe. (x)(y)(xgy→S(x)C(y))

Assioma di estensionalità. Per insiemi: se a due insiemi afferiscono gli stessi elementi allora sono identici: (xS)(yS)((zS)(zey↔zex)→xy) Per classi: se due classi sono soddisfatte dagli stessi elementi allora sono la stessa classe: (xC)(yC)((zS)(zgy↔zgx)→xy)

(x1,…, xkS)(y1,…, ynC)(zC)(uS)(ugz↔A) Schema di assioma di comprensione. Per ogni formula predicative A esiste la classe soddisfatta dagli insiemi che soddisfano A. Sia A una formula predicativa e sia Lib(A)={x1,…,xm,u} e sia 0km ponendo yi=xk+i in modo che x1,…,xm=x1,…, xk, y1,…, yn con n=m-k, allora è un assioma dello schema: (x1,…, xkS)(y1,…, ynC)(zC)(uS)(ugz↔A)

I simboli funzionali che introdurremo saranno quindi condizionati. Lo schema di comprensione a differenza della comprensione di GBB non si presenta come la chiusura universale di un esistenziale ma piuttosto come la chiusura universale di una implicazione. I simboli funzionali che introdurremo saranno quindi condizionati. Simboli funzionali condizionati Data una teoria del primo ordine T, siano A(x1,…, xk) e B(x1,…,xk,y) due formule tali che: (x1,…, xk)(A(x1,…, xk)→ (!y)B(x1,…, xk, y)) Allora possiamo estendere definitorimente T a T ' aggiungendo un simbolo funzionale (k-ario) f con un opportuno assioma: (x1,…, xk)(A(x1,…, xk)→B(x1,…, xk, f(x1,…, xk)))

Introduzione della costante individuale ∅ L’introduzione di simboli funzionali condizionati risulterà particolarmente utile per introdurre simboli funzionali il cui comportamento è interessante solo riguardo a particolari tipi di termini Introduzione della costante individuale ∅ La formula ¬(uu) è predicativa dunque è un assioma: (xC)(uU)(ugx↔¬(uu)) Attraverso l’assioma di estensionalità per classi, si ottiene poi: (!xC)(uS)(¬(ugx)) Possiamo quindi introdurre (mediante definizione) la nuova costante individuale ∅ con assioma definitorio: Ax. ∅ C(∅)(uS)(¬(ug∅))

Introduzione della costante individuale U per indicare la classe universo Poiché la formula (uu) è predicativa possiamo considerare l’opportuna occorrenza dello schema di assiomi di comprensione e attraverso l’estensionalità per classi dimostrare il seguente teorema: (!xC) (uS)(ygx) Introduciamo ora il simbolo U mediante il seguente assioma: Ax.U C(∅)(yS)(ugU)

Introduzione del predicato binario R per indicare la relazione di rappresentazione Sia gli insiemi che le classi, accettando come elementi delle proprie estensioni unicamente gli insiemi, dànno luogo alla possibilità che un insieme e una classe, abbiano la stessa estensione. Quando ciò si verifica, si dice che la classe è rappresentata dal dato insieme o che l’insieme rappresenta la classe. Per esprimere esplicitamente tale relazione si introduce il seguente predicato binario R: Ax. R R(x,y)↔S(x)C(y)(zS)(zy↔zx)

Introduzione del predicato unario Rep Una classe è detta rappresentabile se esiste un insieme che la rappresenta: Ax. Rep Rep(y)↔(x)(R(x,y)) Come non è difficile immaginare non tutte le classi saranno rappresentabili. È un teorema di GB(B): ¬Rep(U) Per ogni classe che in GB(G) risultava essere propria qui avremo il teorema per affermare che la “corrispondente” di quella classe non è rappresentabile.

Introduzione del simbolo funzionale unario c Attraverso gli assiomi di comprensione e di estensionalità si ottiene: (xC)(!u)(zS)(zgu↔(y)(ygx→zey) Estendiamo la teoria mediante il seguente assioma: Ax.c (xC)(zS)(zgc(x)↔(y)(ygx→zey) Si definisce esplicitamente l’intersezione di due insiemi: xssyc({x,y}ss) Introduzione del simbolo funzionale binario sc (xS)(yC)(!u)(zS)(ugx↔uexugy) Si può ora estendere la teoria con un nuovo simbolo funzionale binario: Ax.sc (xS)(yC)(uS)(ugxscy↔uexugy)

(x)(S(x)→(y)Rep(xscy)) Assioma di isolamento. L’intersezione tra un insieme e una classe è rappresentabile: (x)(S(x)→(y)Rep(xscy)) Assioma di fondazione. Ogni insieme non vuoto è disgiunto da qualche suo elemento. (xS)(¬(x∅)→(y)(yex(yssx∅))

Poiché (yS)(ueyyex) è predicativa, attraverso gli assiomi di Introduzione del simbolo funzionale s per indicare l’unione di un insieme Poiché (yS)(ueyyex) è predicativa, attraverso gli assiomi di comprensione e di estensionalità si ottiene: (xS)(!z)(uS)(ugz↔(yS)(ueyyex) Estendiamo ora la teoria mediante il seguente assioma: Ax.s (xS)(uS)(us(x)↔(yS)(yexuey) Assioma dell’unione. La classe unione di un insieme è rappresentabile: (x)(S(x)→Rep(s(x))) Grazie al precedente assioma siamo in grado di dimostrare che (x)(Rep(x)→Rep(c(x))

(xC)(!y)(Rep(x)→xrs(y)) Introduzione del simbolo funzionale unario rs Dalla comprensione e dall’estensionalità si ottiene: (yS)(!x)R(y, x) Per indicare la classe rappresentata da un insieme introduciamo un nuovo simbolo mediante il seguente assioma: Ax. rs (yS)R(y, rs(y)) Introduzione del simbolo funzionale unario rc Attraverso l’assioma di estensionalità otteniamo: (xC)(!y)(Rep(x)→xrs(y)) Per indicare l’insieme che rappresenta una classe introduciamo un nuovo simbolo funzionale mediante apposito assioma: Ax.rc (xC)(Rep(x)→xrs(rc (x)))

(x)(y)(S(x)S(y)→Rep({x,y}ss)) Introduzione del simbolo funzionale binario {-,-}ss , coppia di insiemi Dalla comprensione e dall’estensionalità si ottiene: (xS)(yS)(!z)(uS)(ugz↔uxuy) Introduciamo ora il simbolo {-,-}ss mediante il seguente assioma: Ax. {-,-}ss (xS)(yS)((uS)(ug{x,y}ss↔xuyu) Assioma della coppia: La coppia di due insiemi è rappresentabile. (x)(y)(S(x)S(y)→Rep({x,y}ss))

{x}s{x,x}ss Coppia ordinata Similmente a quanto fatto in GB(G) si definisce esplicitamente il singoletto di un insieme: {x}s{x,x}ss Definiamo invece il simbolo di coppia ordinata nel modo seguente: x,yrc({rc({x,y}ss),rc({x}ss)}ss) Introduciamo mediante definizione esplicita il simbolo binario di unione tra due insiemi e il simbolo di coppia ordinata: xUssys(rc({x,y}ss)) x+rc({x}s)Ussx

(x)(S(x)→Rep(Ps(x) )) Assioma della potenza: La classe potenza di un insieme è rappresentabile. (x)(S(x)→Rep(Ps(x) )) Grazie al precedente assioma siamo in grado di dimostrare che: (x)(Rep(x)→Rep(Pc(x)) Assioma di rimpiazzamento. Se una classe è funzionale e il dominio di quella classe è rappresentabile, allora anche l’immagine di quella classe è rappresentabile. Func(x)Rep(Domc(x))→Rep(Imc(x))

Assioma dell’insieme vuoto: La classe vuota è rappresentabile. Rep(∅) Introduzione della costante individuale 0 per indicare l’insieme vuoto Grazie all’assioma dell’insieme vuoto e poiché se una classe è rappresentabile allora esiste un solo insieme che la rappresenta, possiamo introdurre attraverso definizione esplicita la costante individuale riferita all’insieme vuoto: rc (∅)0

Assioma dell’infinito Assioma dell’infinito. L’intersezione della classe degli insiemi ereditari è rappresentabile: Rep(c(E) )

FINE