La competenza matematica Come promuoverla e come valutarla Suggerimenti di Michele Pellerey Salerno CIIM 2013

Siamo nel 1983-4. Si stava discutendo dei programmi della scuola elementare (pubblicati poi nel 1985). Prodi insisteva per indicare come primo contenuto la risoluzione di problemi. In effetti sotto il titolo Obiettivi e contenuti al primo punto è stato posto il tema «I problemi». «Il pensiero matematico è caratterizzato dalla attività di risoluzione di problemi e ciò è in sintonia con al propensione del fanciullo a porre domande e a cercare risposte» Salerno CIIM 2013

Si affacciava appena la questione della competenza matematica da considerare fin dalla scuola primaria. In quel periodo in una classe di quinta elementare di Verona guidata da un insegnante eccezionale avvenne sotto i miei occhi questo episodio. Salerno CIIM 2013

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La competenza evidenziata dall’alunno La competenza evidenziata dall’alunno. Ha una chiara e fluida conoscenza della figura geometrica del quadrato. Questa è derivata da un insegnamento dinamico, che permette di muovere e spostare figure rigide sul piano. Un quadrato rimane se stesso anche se assume visivamente posizioni diverse. Molti ragazzi sviluppano invece una fissità o rigidità figurativa. Salerno CIIM 2013

’ È in grado di verificare che sia la figura originaria, sia quella trasformata, sono composte dallo stesso numero di figure rispettivamente uguali. Egli sa usare questo principio in maniera operativa per giustificare il risultato ottenuto; non solo, anche dal punto di vista retorico riesce a persuadere i compagni del suo gruppo. Questi costituiscono come una risorsa esterna che consente una verifica sociale non pericolosa. Essi possono valutare la validità della soluzione al loro livello. Salerno CIIM 2013

C’è anche un’altra risorsa esterna assai importante in casi come questo: la lavagna sulla quale è possibile disegnare, cancellare. E’ meglio di un foglio di carta, perché libera da suggestioni negative, anche se può rendere più difficile all’insegnante avere traccia del percorso di ricerca dell’alunno o degli alunni. Oggi può essere usato un tablet come Ipad. Salerno CIIM 2013

Ci sono altre risorse interne che sono messe in moto e combinate tra loro in modo da portare effettivamente alla soluzione? Possiamo ipotizzarne varie: l’interesse per il problema, sollecitato anche dal contesto sociale e da un atteggiamento generale di disponibilità a impegnarsi nell’attività di ricerca in classe; la capacità di concentrarsi su un compito per un tempo sufficientemente prolungato; ecc. Salerno CIIM 2013

Ai fini del nostro discorso, prendiamo in considerazione un modello di competenza che deriva dalle ricerche degli anni ottanta e novanta del secolo passato da parte dei coniugi Spencer (Spencer e Spencer, 1995). Salerno CIIM 2013

Manifestazioni di competenza Contenuti culturali (conoscenze, abilità)   Qualità personali profonde (atteggiamenti) Salerno CIIM 2013

Il nucleo profondo della persona è costituito da qualità stabili che incidono su tutti i comportamenti. Si tratta di atteggiamenti, attribuzioni di valore, significati e motivazioni, abiti di studio e di lavoro, volizione e capacità di perseveranza, ecc. Queste qualità tendono a darsi una caratterizzazione specifica nel settore dell’apprendimento della matematica. Salerno CIIM 2013

A un livello intermedio si colloca la qualità delle conoscenze e delle abilità acquisite. Conoscenze (fatti, concetti, definizioni, ecc.) che sono caratterizzate da significatività, stabilità fruibilità. Abilità che sono caratterizzate da una loro attivazione corretta e veloce quando ciò risulta utile o necessario. Salerno CIIM 2013

A un livello superficiale si hanno le manifestazioni di competenza, cioè modalità d’azione che possono essere osservate e valutate sulla base di standard di riferimento (uso di strumenti, soluzione di problemi, ragionamenti matematici, ecc.). Si tratta di saper valorizzare in maniera integrata e funzionale le proprie risorse interne e quelle esterne disponili per affrontare un compito specifico. Salerno CIIM 2013

La parte superficiale, quella comportamentale, non è solo quella che consente di osservare e valutare la parte più interna delle competenza personale, ma anche è quella con cui possiamo interagire direttamente nel contesto della nostra attività di insegnamento. Ricordiamo che insegnare significa organizzare un contesto nel quale gli studenti possano (stato di preparazione) e vogliamo (stato motivazionale e volitivo) apprendere. Salerno CIIM 2013

Qualcosa di analogo è stato considerato a livello europeo nel contesto del Quadro delle competenze chiave per l’apprendimento permanente. Salerno CIIM 2013

Competenza chiave nell’ambito della matematica La competenza matematica è l’abilità di sviluppare e applicare il pensiero matematico per risolvere una serie di problemi in situazioni quotidiane. Partendo da una solida padronanza delle competenze aritmetico-matematiche, l’accento è posto sugli aspetti del processo e delle attività oltre che su quelli della conoscenza. La competenza matematica comporta, in misura variabile, la capacità e la disponibilità a usare modelli matematici di pensiero (pensiero logico e spaziale) e di presentazione (formule, modelli, costrutti, grafici, carte). Salerno CIIM 2013

Componenti della competenza matematica Conoscenze, abilità e atteggiamenti essenziali legati a tale competenza: La conoscenza necessaria nel campo della matematica comprende una solida conoscenza del calcolo, delle misure e delle strutture, delle operazioni di base e delle presentazioni matematiche di base, una comprensione dei termini e dei concetti matematici e una consapevolezza dei quesiti cui la matematica può fornire una risposta. Salerno CIIM 2013

Una persona dovrebbe disporre delle abilità per applicare i principi e processi matematici di base nel contesto quotidiano nella sfera domestica e sul lavoro nonché per seguire e vagliare concatenazioni di argomenti. Una persona dovrebbe essere in grado di svolgere un ragionamento matematico, di cogliere le prove matematiche e di comunicare in linguaggio matematico oltre a saper usare i sussidi appropriati. Un atteggiamento positivo in relazione alla matematica si basa sul rispetto della verità e sulla disponibilità a cercare motivazioni e a determinarne la validità. Salerno CIIM 2013

Consideriamo, per non rimanere nell’astratto, alcune prestazioni (manifestazioni di competenza) degli studenti alla fine del primo biennio di scuola secondaria e cerchiamo di considerarle, facendo riferimento alle tre dimensioni prima considerate (superficiale, intermedia, profonda). Salerno CIIM 2013

D10. Qual è la metà del numero (1/2)50. Omesse: 1,0. □ A D10. Qual è la metà del numero (1/2)50? Omesse: 1,0 □ A. (1/2)50 scelta dal 19,8 % □ B. (1/2)25 scelta dal 59,2 % □ C. (1/2)51 scelta dal 12,1 % □ D. (1/2)49 scelta dal 8,0 % Salerno CIIM 2013

D. 16 L’espressione 1037+1038 è anche uguale a. Omesse: 2,4. □ A. 1075 D.16 L’espressione 1037+1038 è anche uguale a Omesse: 2,4 □ A. 1075 scelta dal 35 % □ B. 107 scelta dal 1,9 % □ C. 11 x 1037 scelta dal 22 % □ D. 1037-38 scelta dal 38,7 % Salerno CIIM 2013

D5. L’età della Terra è valutata intorno ai 4,5 x 10⁹ anni D5. L’età della Terra è valutata intorno ai 4,5 x 10⁹ anni. L’Homo Erectus è comparso circa 10⁶ anni fa. Qual è la stima che più si avvicina all’età che la Terra aveva quando è comparso l’Homo Erectus? Omesse: 2,6 □ A. 4,5 x 10⁹ anni scelta dal 10,2 % □ B. 3,5 x 10⁹ anni scelta dal 6,9 % □ C. 4,5 x 10⁶ anni scelta dal 23,2 % □ D. 4,5 x 10³ anni scelta dal 57,0 % Salerno CIIM 2013

D5. Si sa che 210 = 1024. Quale tra le seguenti potenze del 10 è quella che più si avvicina a 270? Omesse: 6,2 % □ A. 1024 scelta dal 12 % □ B. 1021 scelta dal 34 % □ C. 1014 scelta dal 22,1 % □ D. 107 scelta dal 25,4 % Salerno CIIM 2013

Si tratta di potenze, di potenze di 10 e di numeri scritti secondo la notazione scientifica. La loro conoscenza e l’abilità nel manipolarli hanno una notevole importanza nel quadro della cultura scientifica degli studenti, ma ancor più in quella matematica. Ma viene evocato anche un preciso abito di lavoro: gestire la comprensione di un testo, quello del problema posto. Salerno CIIM 2013

Manifestazioni di competenza (numerica) Contenuti culturali (potenze, potenze di 10 e notazione scientifica)   Qualità personali (abito di lavoro nella lettura di testi) Salerno CIIM 2013

Promuovere e valutare il nucleo profondo della competenza matematica (atteggiamenti, attribuzioni di valore, significati e motivazioni, abiti di studio e di lavoro, volizione e capacità di perseveranza, ecc.). Qui dovrei lasciare la parola al Presidente della CIIM, che ha studiato con cura varie dimensioni di questo nucleo. Alcune di esse sono caratteristiche generali della persona, ma si colorano spesso nei riguardi della matematica. Salerno CIIM 2013

Gran parte di tali dimensioni si sviluppano sulla base dell’esperienza vissuta sia in classe, sia in famiglia, sia nell’ambiente socio-culturale di appartenenza. Una delle più significative conclusioni della ricerca ha messo in luce l’importanza della comprensione e le risonanze emozionali che provoca il disorientamento quando non si capisce e si diventa dipendenti dal giudizio altrui (oltre che sentirsi estranei ai discorsi). Salerno CIIM 2013

Sono stati evidenziati alcuni passaggi fondamentali da curare con attenzione: l’introduzione e l’utilizzo dei numeri decimali, l’introduzione e l’utilizzo delle lettere e del calcolo letterale, l’introduzione e la valorizzazione del concetto di funzione e dei suoi sviluppi successivi. Salerno CIIM 2013

La loro valutazione può essere inferita evidentemente solo a partire da una osservazione attenta dei comportamenti (linguistici e non linguistici), cioè delle manifestazioni di competenza. Salerno CIIM 2013

A livello intermedio si collocano gran parte delle risorse fondamentali che entrano in gioco quando si parla di competenze. Rimane decisiva un’adeguata comprensione dei concetti fondamentali, che però non è basata solo su definizioni capite, ma soprattutto su una loro costruzione progressiva legata a esempi e controesempi e su un loro utilizzo per descrivere e interpretare situazioni sia interne alla matematica, sia alle scienze (fisica in particolare), sia alla vita quotidiana. Salerno CIIM 2013

I processi fondamentali evocati spesso (a esempio in Svizzera, o dall’UMI) fanno parte di questo livello Salerno CIIM 2013

Sapere riconoscere e descrivere Numeri e calcolo Geometria Grandezze e misure Funzioni Dati e probabilità Sapere riconoscere e descrivere Eseguire e applicare Utilizzare strumenti Presentare e comunicare Matematizzare e modellizzare Argomentare e giustificare Interpretare e riflettere Salerno CIIM 2013

A esempio l’impianto svizzero indica alla fine del primo ciclo per il processo utilizzare strumenti: • utilizzare le funzioni più importanti di una calcolatrice tascabile (in particolare +, –, ×, ÷, =, x², √x, 1/x, STO, RCL, ( ), yx); • utilizzare un foglio di calcolo per rappresentare una serie di dati ed esplorare una situazione numerica; • utilizzare tavole, formulari, opere di riferimento e Internet per trovare una formula o una procedura adeguate per risolvere dei problemi numerici. Salerno CIIM 2013

Per quanto riguarda Presentare e comunicare nell’ambito Numeri e calcolo: • prelevare in modo pertinente e presentare in modo comprensibile e utilizzabile da altri, dati numerici adeguati su testi, schizzi, disegni, piani, tabelle o diagrammi; • esplicitare dei procedimenti risolutivi per mezzo di frasi, di simboli aritmetici e algebrici, di tabelle e di schizzi adeguati. Salerno CIIM 2013

I processi evocati si sviluppano progressivamente attraverso l’esercizio e dovrebbero alla fine della scolarità diventare veri e propri abiti di lavoro intellettuale, cioè disposizioni stabili a pensare, a lavorare, a comunicare matematicamente. Se si vogliono promuovere, occorre dare spazio alla loro presentazione, sollecitazione, guida e correzione progressiva (si tratta di un vero e proprio apprendistato cognitivo). La loro valutazione può essere inferita a partire dalle manifestazioni di competenza. Salerno CIIM 2013

Le manifestazioni di competenza Le manifestazioni di competenza. Siamo a quello che abbiamo definito livello superficiale più direttamente osservabile e valutabile. Quello che abbiamo precedentemente evocato a partire dalle prove Invalsi. A questo livello è necessario individuare almeno alcuni fondamentali indicatori e relativi standard. Salerno CIIM 2013

Riprendiamo quindi alcune delle prestazioni degli studenti registrate dalla prove Invalsi, o da altre prove, per vedere come valorizzarle per poter intervenire a un livello giusto di profondità. Indicatore di comprensione del concetto di rapporto e delle sue forme di rappresentazione. Salerno CIIM 2013

D.16 Nelle ultime elezioni svoltesi in un paese europeo è andato a votare il 70% degli aventi diritto al voto. Di questi il 20% ha votato per il partito A. Quale percentuale di aventi diritto al voto ha votato per il partito A? Omesse: 2,0 □ A. 60% scelta dal 2,3 % □ B. 50% scelta dal 24,0 % □ C. 20% scelta dal 34,9 % □ D. 14% scelta dal 36,3 % Salerno CIIM 2013

Per verificare più in profondità il livello di comprensione si può chiedere di trasformare il problema usando invece delle percentuali le frazioni e i decimali corrispondenti per poi risalire alle percentuali: 70% = 7/10 = 0,7 20% = 2/10 = 0,2 20% x 70% = 7/10 x 2/10 = 14/100 = 14% 20% x 70% = 0,7 x 0,2 = 0,14 = 14% Salerno CIIM 2013

Il nucleo concettuale è dato dal concetto di rapporto, dalle sue forme di rappresentazione, dalle sue applicazioni, dai suoi sviluppi nella quadro della proporzionalità. Sembra che alla fine del primo ciclo scolastico si abbiano ancora non poche incertezze e difficoltà. D’altra parte su di esso si fonda buona parte dello sviluppo della conoscenza matematica, anche successiva (grandezze misurabili e loro misura; grandezze commensurabili e incommensurabili, proporzionalità, ecc., ecc.) Salerno CIIM 2013

Esempi di questioni a fine 1° ciclo che segnalano incertezze a vario livello 1) Un bicchiere contiene ¼ di litro di acqua. Se si vuole riempire una bottiglia da 1,5 litri, quanti bicchieri di acqua bisogna versare nella bottiglia? 2) A una certa ora di una giornata di dicembre, un bastone lungo 1,5 m, piantato nel terreno perpendicolarmente ad esso, proietta un’ombra lunga 6 m. Alla stessa ora, un palo della luce proietta un’ombra di 18 m. Quanto è alto il palo? Salerno CIIM 2013

3) La catena di una bicicletta collega una ruota dentata grande che ha 52 dentini a una ruota dentata piccola che ha 13 dentini. Quando la ruota dentata grande ha compiuto 8 giri, quanti ne ha compiuti quella piccola? A) 8 giri B) 16 giri C) 24 giri D) 32 giri E) 48 giri   Salerno CIIM 2013

Per concludere: qualche riflessione sul problema della valutazione delle competenze in generale. Salerno CIIM 2013

Valutare significa confrontare i risultati attesi (ciò a cui si dà valore) con le informazioni disponibili circa quanto in realtà è stato appreso da parte dei singoli studenti per trarne un giudizio che dovrebbe soprattutto aiutare a impostare l’azione di insegnamento (valutazione per l’apprendimento) Quali forme principali abbiamo a disposizione per raccogliere tali informazioni? Salerno CIIM 2013

1. Osservazioni occasionali: l’interazione continua con gli studenti favorisce un giudizio di massima, da confermare con altre evidenze. 2. Osservazioni sistematiche: sia perché si esplorano le varie dimensioni dell’apprendimento, sia perché lo si fa con tutti in maniera pianificata. 3. Colloqui e interrogazioni: si tratta si organizzare tali interazione verbali in maniera da ricavare le informazioni attese (es. quali processi risolutivi sono stati adottati) Salerno CIIM 2013

4. Prodotti semplici: come brevi sondaggi, lavori fatti a casa, test veloci. 5. Prodotti più impegnativi: come lavori scritti in classe, test strutturati, risultati di indagini o di produzioni personali o di gruppo *** Nella elaborazione di un giudizio occorre comunque tenere conto di tre polarità fondamentali che entrano in gioco per favorire la affidabilità e pertinenza del giudizio Salerno CIIM 2013

Polo soggettivo Polo oggettivo Polo intersoggettivo Salerno CIIM 2013

È anche utile ricordare alcune questioni È anche utile ricordare alcune questioni. a) Il concetto di competenza e le difficoltà valutative conseguenti (cfr. indagini nel mondo di lingua tedesca e in seno al Cedefop); b) la competenza come variabile latente della cui presenza e livello si può solo inferire a partire da alcuni indicatori (misurabili); c) la valutazione di conseguenza (e la certificazione) non è mai un giudizio assoluto, ma relativo alla qualità del processo e degli strumenti usati. Salerno CIIM 2013

Di conseguenza occorre tener conto in maniera adeguata de: a) la descrizione della competenza e del suo livello; b) la scelta degli indicatori e la loro funzionalità rispetto al processo valutativo; c) la utilizzazione operativa degli indicatori; d) il processo inferenziale a partire dagli indicatori ; e) il consenso raggiunto sulla presenza e il livello della competenza. Salerno CIIM 2013

Grazie Salerno CIIM 2013

Descrizione dei livelli Livello 6 Gli studenti di 6° livello sono in grado di concettualizzare, generalizzare e utilizzare informazioni basate sulla propria analisi e modellizzazione di situazioni problematiche complesse. Essi sono in grado di collegare fra loro differenti fonti d’informazione e rappresentazioni passando dall’una all’altra in maniera flessibile. A questo livello, gli studenti sono capaci di pensare e ragionare in modo matematicamente avanzato. Essi sono inoltre in grado di applicare tali capacità di scoperta e di comprensione contestualmente alla padronanza di operazioni e di relazioni matematiche di tipo simbolico e formale in modo da sviluppare nuovi approcci e nuove strategie nell’affrontare situazioni inedite. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di esporre e di comunicare con precisione le proprie azioni e riflessioni collegando i risultati raggiunti, le interpretazioni e le argomentazioni alla situazione nuova che si trovano ad affrontare Livello 5 Gli studenti di 5° livello sono in grado di sviluppare modelli di situazioni complesse e di servirsene, di identificare vincoli e di precisare le assunzioni fatte. Essi sono inoltre in grado di selezionare, comparare e valutare strategie appropriate per risolvere problemi complessi legati a tali modelli. A questo livello, inoltre, gli studenti sono capaci di sviluppare strategie, utilizzando abilità logiche e di ragionamento ampie e ben sviluppate, appropriate rappresentazioni, strutture simboliche e formali e capacità di analisi approfondita delle situazioni considerate. Essi sono anche capaci di riflettere sulle proprie azioni e di esporre e comunicare le proprie interpretazioni e i propri ragionamenti. Livello 4 Gli studenti di 4° livello sono in grado di servirsi in modo efficace di modelli dati applicandoli a situazioni concrete complesse anche tenendo conto di vincoli che richiedano di formulare assunzioni. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e di integrare fra loro rappresentazioni differenti, anche di tipo simbolico, e di metterle in relazione diretta con aspetti di vita reale. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di utilizzare abilità ben sviluppate e di ragionare in maniera flessibile, con una certa capacità di scoperta, limitatamente ai contesti considerati. Essi riescono a formulare e comunicare spiegazioni e argomentazioni basandosi sulle proprie interpretazioni, argomentazioni e azioni. Livello 3 Gli studenti di 3° livello sono in grado di eseguire procedure chiaramente definite, comprese quelle che richiedono decisioni in sequenza. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e applicare semplici strategie per la risoluzione dei problemi. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di interpretare e di utilizzare rappresentazioni basate su informazioni provenienti da fonti differenti e di ragionare direttamente a partire da esse. Essi riescono a elaborare brevi comunicazioni per esporre le proprie interpretazioni, i propri risultati e i propri ragionamenti. Livello 2 Gli studenti di 2° livello sono in grado di interpretare e riconoscere situazioni in contesti che richiedano non più di un’inferenza diretta. Essi sono in grado, inoltre, di trarre informazioni pertinenti da un’unica fonte e di utilizzare un’unica modalità di rappresentazione. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di servirsi di elementari algoritmi, formule, procedimenti o convenzioni. Essi sono capaci di ragionamenti diretti e di un’interpretazione letterale dei risultati. Livello 1 Gli studenti di 1° livello sono in grado di rispondere a domande che riguardino contesti loro familiari, nelle quali siano fornite tutte le informazioni pertinenti e sia chiaramente definito il quesito. Essi sono in grado, inoltre, di individuare informazioni e di mettere in atto procedimenti di routine all’interno di situazioni esplicitamente definite e seguendo precise indicazioni. Questi studenti sono anche capaci di compiere azioni ovvie che procedano direttamente dallo stimolo fornito. Salerno CIIM 2013

Gli studenti di 4° livello sono in grado di servirsi in modo efficace di modelli dati applicandoli a situazioni concrete complesse anche tenendo conto di vincoli che richiedano di formulare assunzioni. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e di integrare fra loro rappresentazioni differenti, anche di tipo simbolico, e di metterle in relazione diretta con aspetti di vita reale. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di utilizzare abilità ben sviluppate e di ragionare in maniera flessibile, con una certa capacità di scoperta, limitatamente ai contesti considerati. Essi riescono a formulare e comunicare spiegazioni e argomentazioni basandosi sulle proprie interpretazioni, argomentazioni e azioni. Salerno CIIM 2013

Gli studenti di 3° livello sono in grado di eseguire procedure chiaramente definite, comprese quelle che richiedono decisioni in sequenza. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e applicare semplici strategie per la risoluzione dei problemi. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di interpretare e di utilizzare rappresentazioni basate su informazioni provenienti da fonti differenti e di ragionare direttamente a partire da esse. Essi riescono a elaborare brevi comunicazioni per esporre le proprie interpretazioni, i propri risultati e i propri ragionamenti. Salerno CIIM 2013