Teoremi di Lieb Permette di stabilire l’esistenza di Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) Consideriamo lo stato fondamentale del modello di Hubbard repulsivo su un reticolo di dimensione qualsiasi bipartito L con |A| siti A e |B| siti B per cella, Gli hopping accoppiano solo siti di un sottoreticolo a quelli dell'altro. Per U<0 e un numero pari di particelle lo spin totale e’ S=0. Per U>0 a mezzo riempimento sia Allora, 2S=|B|-|A |. Permette di stabilire l’esistenza di Ferrimagnetismo da elettroni itinearanti, e la dimostrazione e’ bella e formativa. Elliot H. Lieb (Boston 1932)

Relazione col modello di Heisenberg Abbiamo visto che nel caso U>>t il modello di Hubbard si riduce al il modello di Heisenberg This model was considered on a bipartite AB lattice in a famous paper by Lieb and Mattis (J. Mathematical Physics 3, 749 (1962)). They were able to show that in the ground state the spin of the elementary cell is 2S=|B|-|A| where |B| and |A| are the numbers of sites in the two lattices. La strategia di Lieb e’ quella di ricondursi a questo caso mostrando che esiste uno stato fondamentale unico con Sz=0 per ogni U>0; l’impossibilita’ di avere incroci comporta che il teorema validi per il caso di Heisenberg su estende a quello di Hubbard.

Abbiamo visto che gli operatori di spin sono: Trasformazione da U positivo a U negativo E da spin a pseudospin

Cosi' uno mappa il problema repulsivo in uno attrattivo Cosi' uno mappa il problema repulsivo in uno attrattivo . Tranne il caso di un problema originale di half filling pero' ha in generale il problema trasformato ha una configurazione magnetica, con una popolazione diversa da quella di spin giu'. spin spin Half filling Indicando |L| con il numero dei siti, specializziamoci allora ad half filling, quando ci sono n elettroni di spin alto e n di spin basso, con

Cambiamo notazione, eliminando i tilde, ponendo U<0 e scrivendo semplicemente Lieb dimostra che il problema attrattivo ha uno stato fondamentale di singoletto con un ragionamento alla Perron-Frobenius. Poi dimostra che e’ unico sfruttando il principio variazionale e U<0. Questo stato corrisponde nel problema repulsivo ad un solo stato fondamentale che si ottiene dalla trasformazione unitaria. Questo stato non degenere ha la stessa energia; non e’ in generale di singoletto ma si trova nel settore Sz=0 perche’ nel reticolo ci sono n elettroni per spin.

Matrice W delle ampiezze La dimensione del problema da risolvere per trovare lo stato fondamentale e’ m2. Il tutto si puo' formulare in termini di una matrice mxm W come segue. La funzione d'onda fondamentale puo' scriversi in termini di configurazioni dei due spin e della matrice mxm W. Sulla base delle configurazioni sui siti, gli elementi diagonali contribuiscono alla funzione d'onda termini del tipo che sono, come si e' visto, di singoletto di spin.

Si tratta, beninteso, di un singoletto di spin per il problema con U attrattivo, che non lo e' necessariamente per il problema repulsivo originario. Infatti nella trasformazione lo spin va nello pseudospin. Se vi sono termini diagonali non nulli in W, lo stato fondamentale y del problema attrattivo ha sicuramente almeno una componente di singoletto. L’elemento di matrice Wab va poi reinterpretato nel problema repulsivo nel senso che nello stato fondamentale a e’ la configurazione delle buche secondo lo schema 7 7

Esempi

La matrice W puo' sempre essere presa hermitiana. Infatti, Con W hermitiana, la normalizzazione e' Normalizzazione 9 9

Energia cinetica in termini di W e’ la matrice dell'energia cinetica sulla base delle configurazioni. Dalla definizione uno puo’ calcolarsi direttamente le matrici E poiche’ W e’ hermitiana,l’energia cinetica risulta espressa in termini dell’incognita W:

Interazione in termini di W Introducendo la matrice del numero di occupazione, che non dipende dallo spin, sfruttiamo di nuovo il fatto che W e’ hermitiano: Gli indici sembrano messi male, ma non c’e’ problema poiche' n e’ hermitiano e reale. Poiche’ la matrice di n e' simmetrica, questo vale dove il 2 viene dalla somma sugli spin.

Equazione di Schrödinger (SE)

Definizione Nota Bene: Allora anche sulla base delle configurazioni W>0 ha elementi diagonali non nulli,  lo stato fondamentale ha almeno una parte di singoletto, avendo termini del tipo Nota Bene: Faremo vedere poi che uno stato fondamentale deve essere semidefinito positivo. 13 13

W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale. (ragionamento alla Perron-Frobenius) Supponiamo di conoscere una W dello stato fondamentale. Diagonalizzandola, troviamo gli autovalori wi ed una matrice ortogonale C di autovettori tali che Prendendo i moduli degli autovalori wi e tornando indietro, si ottiene una matrice semidefinita positiva, chiamiamola |W|, tale che:

Poiche' U e' negativo, |W| ha energia non superiore a W, quindi e' essa stessa uno stato fondamentale. (Questo era lo scopo della trasformazione canonica a U negativo). W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale. Dal momento che |W| e‘ uno stato fondamentale definito positivo, il problema con U<0 ha uno stato fondamentale di singoletto. Infatti, la traccia non nulla implica elementi di matrice diagonali non nulli anche sulla base delle configurazioni dei siti. Esiste uno stato fondamentale di singoletto. Bisogna dimostrare che in realta’ W=|W| e lo stato fondamentale e’ unico. Faremo vedere che deve essere semidefinito positivo e che tale proprieta’ non puo’ essere vera se non e’ unico.

W fondamentale deve essere semidefinito positivo (o negativo) Si dimostra per assurdo. Se lo stato fondamentale W non e’ semidefinito, cioe’ ha autovalori sia positivi che negativi, calcoliamo |W|; W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale. Con esso formiamo R=|W|-W. |W| e W sono stati fondamentali, quindi anche R=|W|-W lo e’. Inoltre, Allora a meno di un segno inessenziale, ritroviamo lo stesso stato fondamentale. Se viceversa supponiamo che esista un autovalore nullo, allora dimostramo che tutti sono nulli, cioe’ R=0, Infatti, dato l’autovalore nullo, sia V l'autovettore corrispondente, per il quale RV=0. Allora possiamo mostrare che questa relazione vale per tutto il set completo e R=0. Infatti, mediando l'equazione di Schroedinger per R su V, troviamo (l’argomento e’ euristico ma si puo’ rendere rigoroso)

In tal modo tutte le configurazioni connesse con V dal termine cinetico sono nel Kernel di R; ma date due configurazioni si possono sempre collegare con una potenza finita di K, e il Kernel si mangia tutto lo spazio di Hilbert. Una matrice che ha un kernel cosi’ grande e’ nulla. Quindi R=0, W=|W| e lo stato fondamentale e’ semidefinito positivo. Un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale. Unicita’ e spin dello stato fondamentale Resta la possibilita' di avere due soluzioni W1 e W2 che differiscano anche per i moduli di alcuni autovalori. Pero' il fatto che lo stato fondamentale e’ definito positivo implica la sua unicita’. La combinazione lineare Wl =W1 +l W2 , che dovrebbe a sua volta essere uno stato fondamentale (da normalizzare) avrebbe traccia Tr (W1 +l W2 )=0 per una opportuna scelta di l , e dovrebbe avere autovalori sia positivi che negativi (con autovalori tutti nulli, W=0); ma come si e' visto, un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale. Questo dimostra che lo stato fondamentale non e' degenere. Nel caso repulsivo lo stato fondamentale si ottiene dal caso attrattivo con la trasformazione canonica; quindi e’ unico. Per U grandi il modello tende a quello di Heisenberg, che ha 2S=|B|-|A|. Questo deve valere per U qualsiasi, dato che l’unicita’ proibisce incroci di livelli.

Mielke ferromagnetism (J. Phys Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991):the Kagome lattice is ferromagnetic at filling factor 1/6. First case with saturated ferromagnetism (all spins up) at finite U. The lowest band is dispersionless and this is called flat band ferromagnetism. 18 18

Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991)

Ferrimagnetismo 2S=B-A dove B ed A sono i numeri di siti dei due sottoreticoli ed S e' lo spin totale. Cio' implica S=0 per il modello di Hubbard triviale, S=1/2 per ogni cella del modello a 3 bande (senza interazioni O-O, perche’ deve essere un reticolo bipartito) etc. Reticolo CuO2

Antiferromagnetismo - modello a 3 bande CuO In un reticolo di lato L, ci sono A= 2 L2 O e B= L2 Cu. Quindi, 2S= L2 Quindi il sistema senza interazioni O-O e’ ferrimagnetico: spin opposti su siti vicini, ma prevalenza numerica degli ossigeni e momento magnetico di bulk. In realta’ il sistema e’ antiferromagnetico, perche’ ci sono le interazioni O-O e perche’ ad essere mezza piena e’ la banda del Cu, non tutta la valenza.

Lavori sul Magnetismo nel modello di Hubbard Teorema di Lieb-Mattis Phys. Rev. 125, 164 (1962) Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) ( review by Hal Tasaki, cond-mat/9512169, cond-mat/9712219) 23 23

Galileo Transformations Quantum phases Galileo Transformations One checks that plane wave momentum transforms according to Galileo.

Macroscopic quantum phenomena: Josephson effect Superconductor Thin insulator R emf AC response to DC bias ! 25 25

Gauge Transformations Without the gauge invariance, any theory is untenable. In classical theory, the Hamiltonian of a charged particle is where p is the kinetic momentum and A the vector potential. Both are unobservable. New Schroedinger equation: ; One could have started with new potentials giving the same fields: 26

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Peierls prescription for discrete models Consider a Linear Combination of Atomic Orbitals (LCAO) model for a molecule or cluster (or a Hubbard Model, neglecting overlaps) a b tab 28 28

By complex hoppings, one can introduce a concatenated magnetic flux In the case of H2 this can be gauged away, but with three or more atoms the physical meaning is that a magnetic flux φ is concatenated with the molecule; changing φ by a fluxon has no physical meaning, however. By complex hoppings, one can introduce a concatenated magnetic flux 29 29

3-site cluster with flux 1 2 3 Ground state Energy Egs(f) has period=2 p Egs 30 30

Aharonov-Bohm effect The electron(s) see no magnetic field. The phase difference between beams on either side of solenoid is 31 31

Topologic phases From Griffiths Introduction to Quantum Mechanics

Topologic quantum phases Pancharatnam phase The Indian physicist S. Pancharatnam in 1956 introduced the concept of a geometrical phase. Let H(ξ ) be an Hamiltonian which depends from some parameters, represented by ξ ; let |ψ(ξ )> be the ground state. Compute the phase difference Δϕij between |ψ(ξ i)> and |ψ(ξj)> defined by This is gauge dependent and cannot have any physical meaning. Now consider 3 points ξ and compute the total phase γ in a closed circuit ξ1 → ξ2 → ξ3 → ξ1; remarkably, γ = Δϕ12 + Δϕ23 + Δϕ31 is gauge independent! Indeed, the phase of any ψ can be changed at will by a gauge transformation, but such arbitrary changes cancel out in computing γ. This clearly holds for any closed circuit with any number of ξ. Therefore γ is entitled to have physical meaning. There may be observables that are not given by Hermitean operators. 33 33 33