La Teoria delle Stringhe ed i Bigliardi Cosmici PIETRO FRE’ presenta La Teoria delle Stringhe ed i Bigliardi Cosmici La Teoria delle Stringhe ed i Biliardi cosmici

I fisici teorici hanno elaborato una teoria unificata di tutte le interazioni fondamentali la cui storia comincia nel 1968 e si articola in quattro periodi I fisici teorici hanno elaborato una teoria unificata di tutte le interazioni fondamentali della Natura la cui storia comincia nel 1968 e si articola in quattro periodi

L’ EVO ANTICO dal 1969 al 1975 L’evo antico inizia con una formula introdotta dal fisico italiano Gabriele Veneziano nel 1968. Durante l’evo antico la teoria è inventata e pensata come una teoria delle forze nucleari. durante il quale essa è inventata e pensata come una teoria delle interazioni forti ovvero nucleari

L’EVO MEDIO dal 1976 al 1984 L’evo medio della Teoria copre il periodo dal 1976 al 1984. A seguito del lavoro di molti, ma in particolare del fisico americano John Schwarz e soprattutto grazie al contributo determinante dato da un lavoro dell’inglese Olive e del francese Scherck in collaborazione con il professor Gliozzi dell’Università di Torino, si comprende che la teoria delle stringhe descrive tutte le interazioni fondamentali della Natura e le unifica con la Gravitazione. Anzi la teoria delle stringhe emerge come la naturale quantizzazione della della Relatività Generale di Einstein. Nello stesso periodo viene scoperta dall’olandese Van Nieuwenhuizen, dall’Americano Freedman e dall’Italiano Ferrara la versione supersimmetrica della Relatività Generale: nasce la teoria della supergravità che dapprima si sviluppa indipendentemente. Si vedrà poi che essa è l’approssimazione di basse energie delle stringhe. dopo la scoperta che le stringhe chiuse descrivono le interazioni gravitazionali e la parallela scoperta di una teoria supersimmetrica della gravità: la supergravità

L’ETA’ MODERNA dal 1984 al 1994 L’età moderna, inizia nel settembre 1984, a seguito di una scoperta dell’americano Schwarz e dell’inglese Green che viene oggi denominata la prima rivoluzione delle stringhe. La cosidetta cancellazione delle anomale da essi dimostrata conferma che la teoria è completamente consistente a livello quantistico ma soltanto in cinque versioni che sono apparentemente molto differenti tra loro e dotate di caratteristiche mutuamente complementari. Tutte e cinque queste teorie vivono necessariamente in 10 dimensioni spazio temporali. Inizia con la Prima Rivoluzione della Stringa (1984) seguita alla scoperta della cancellazione delle “Anomalie”. Questa scoperta riduce il numero di teorie di stringa consistenti a cinque

L’ETA’ POSTMODERNA dal 1994 ad oggi Inizia con la Seconda Rivoluzione delle Stringhe (1994) e la scoperta che le cinque teorie sono legate tra di loro da dualità Ma è ancora una stringa o é una p-brana ? O sono tante p-brane? L’età postmoderna ha inizio con la seconda rivoluzione delle stringhe nel biennio 1994-1995. Essa trae origine dal lavoro degli americani Edward Witten e Nathaniel Seiberg da una parte e degli inglesi Paul Townsend e Chris Hull dall’altra. Da una profonda riconsiderazione degli aspetti non perturbativi sia nella teoria dei campi che nelle stringhe emerge che le cinque teorie consistenti sono in realtà regimi diversi di un’unica teoria. Tale teoria contiene nuovi oggetti dette brane. Una Nuova Democrazia: La Democrazia delle brane

La Teoria delle Stringhe ha quasi 40 anni!! Che cosa abbiamo imparato dalla teoria delle stringhe? Abbiamo imparato che..... La Teoria delle stringhe ha dunque quasi quarant’anni. Che cosa abbiamo imparato da essa? Abbiamo imparato che:............

Se guardiamo a fondo dentro la materia troviamo delle…... Elettrone=leptone Nucleone Se guardiamo a fondo dentro la materia troviamo delle.... Stringhe! Studiare la materia a scale di lunghezza sempre più minuscule è come guardarvi dentro con un microscopio via via più potente. Se ingrandiamo la struttura della materia ordinaria a scale dell’ordine di 10 alla meno 8 o 9 centimetri vediamo gli atomi. Essi sono composti da elettroni e da un nucleo centrale. Se scendiamo alla scala di 10 alla meno 13 centimetri vediamo i singoli nucleoni.: protoni e neutroni. E se ingrandiamo ancora la nostra scala, che cosa vediamo dentro i nucleoni? Vediamo i quarks legati insieme dal collante nucleare, cioè dai gluoni. Immaginiamo ora di aumentare ancora in maniera straordinaria la potenza del nostro microscopio e di poter ingrandire l’immagine fino a scale di 10 alla meno 33 centimetri. Che cosa vedremmo? Secondo la teoria delle superstringhe vedremmo delle minutissime corde vibranti che possono essere sia chiuse che aperte. Stringhe aperte e chiuse Quarks stringhe !

I costituenti ultimi della minuscole cordicelle, dette materia sono delle minuscole cordicelle, dette STRINGHE Dunque i costituenti ultimi della materia sono delle minutissime cordicelle vibranti. Esse possono essere od aperte o chiuse e la loro lunghezza caratteritistica è 10 alla meno 33 centimetri, cioè la scala di lunghezze determinata dalla costante di gravitazione universale di Newton insieme alle altre costanti fondamentali, la velocità della luce e la costante di Planck acca tagliato. Stringa aperta Stringa chiusa Lunghezza caratteristica 10-33 cm

Le Particelle sono le note di un violino Particella A Particella B I vari tipi di particelle non sono altro che i possibili stati di vibrazione di queste minuscole corde, così, come le note prodotte da un violino non sono altro che i diversi possibili stati risonanti delle sue corde. Particella C Le particelle fanno un concerto

Tra le varie “note” emesse dalla stringa ci sono: le particelle del modello standard Tra le varie note emesse dalla stringa ci sono tutte le particelle del modello standard delle interazioni elettrodeboli e forti, cioè i leptoni, i quarks ed i bosoni di gauge, ma c’è anche il gravitone, cioè il mediatore della forza gravitazionale il gravitone (mediatore della gravità)

Consistenza  restrizioni (1984) INOLTRE ABBIAMO IMPARATO CHE:................. Solo 5 teorie di superstringa sono consistenti Inoltre abbiamo imparato che la consistenza quantistica implica delle forti restrizioni. Solo cinque teorie di stringa sono consistenti I loro nomi sono alquanto esotici per i non addetti ai lavori: Tipo 2A, Tipo2B, Tipo I Eterotica SO(32) ed Eterotica E8 per E8. Tutte queste teorie richiedono uno spazio tempo a dieci dimensioni e sono collegate tra di loro ed alla teoria di supergravità in undici dimensioni che è la teoria efficace di una misteriosa M teoria unificante tutte le stringhe. Tutte richiedono uno spazio- tempo a E sono collegate alla teoria di supergravità in D=11 che è la teoria efficace di una misteriosa M teoria unificante tutte le stringhe 10 dimensioni !

10  4 Ma l’ universo ha 4 dimensioni! se 6 dimensioni sono 10  4 COMPATTIFICAZIONE se 6 dimensioni sono “piccole” ed arrotolate Allora otteniamo delle teorie quadrimensionali il cui spettro di particelle e di campi é determinato dalla geometria delle dimensioni arrotolate Ma la nostra esperienza quotidiana ci rivela un Universo a quattro dimensioni spazio temporali. Dunque sei delle dieci dimensioni della stringa necessitano di una interpretazione appropriata.....! Questo ci porta all’idea ormai antica (risale al primo ventennio del secolo decimonono) della compattificazione alla Kaluza Klein....! Le dimensioni extra esistono, ma non le vediamo facilmente perchè sono piccole ed arrotolate...! Sono per esempio come una delle due dimensioni di una superficie cilindrica. In una direzione il cilindro si estende all’infinito. Nell’altra esso ha la topologia di un cerchio che può essere anche piccolissimo. In questo caso il cilindro sembra quasi una retta....! Se le esei dimensioni extra sono piccole ed arrotolate otteniamo delle teorie quadridimensionali il cui spettro di particelle e di campi è determinato dalla geometria delle dimensioni compatte, cioè arrotolate.....

implica anche l’esistenza di Abbiamo pure imparato..... che la Teoria della Stringa oltre alle dimensioni extra....... implica anche l’esistenza di Abbiamo pure imparato che la Teoria della Stringa oltre alle dimensioni extra implica anche l’esistenza di.......

p-brane oggetti estesi p-dimensionali (1990-95) P-brane, cioè di oggetti estesi p-dimensionali, dove p prende vari valori. In particolare vi sono le Dp brane che sono oggetti a cui si attaccano gli estremi delle stringhe aperte.....! Le Dp-brane sono definite come le superfici a cui si attaccano gli estremi delle stringhe aperte.

La Teoria delle Stringhe contiene oggetti estesi di tutte le dimensioni Le p-brane si muovono nello spazio a 10 dimensioni e descrivono delle superfici di mondo p+1 dimensionali La Teoria delle stringhe contiene p-brane di tutte le dimensioni possibili in uno spazio tempo uno più nove dimensionale. Il concetto di p brana non è più difficile di quello di stringa. Una p brana infatti è un ogpetto esteso di dimensione p (una ipersuperficie) che evolve nello spazio tempo ambiente tracciando un volume di mondo p+1 dimensionale. Ad esempio una membrana, che è una 2 superficie, evolve nel tempo tracciando un volume di mondo tridimensionale. La dinamica delle p brane è essenzialmente determinato dal principio di minimizzazione del loro volume di mondo. Le Dp-brane sono i luoghi cui si attaccano gli estremi delle stringhe aperte. Alternativamente possiamo considerare le Dp brane come bordi dello spazio tempo che assorbono od emettono stringhe chiuse. Alternativamente possiamo considerare le Dp brane come bordi dello spazio tempo a 10 dimensioni che assorbono (od emettono) stringhe chiuse Ad esempio una 2-brana evolve nel tempo e spazza una 3-superficie

La Teoria delle Stringhe unifica tutte le interazioni con la gravità e quantizza la Relatività Generale Vediamo dunque le sue applicazioni alla Cosmologia in cui l’interazione dominante è quella gravitazionale Si tratta di studiare le possibili soluzioni della teoria efficace ( = supergravità) che dipendono solo dalla coordinata temporale ( = t ) Qui c’è un interessantissimo interplay con la Teoria dei Gruppi Come sempre, la Teoria delle Stringhe incorpora tutte le strutture matematiche più profonde e le realizza in maniera essenziale. Le algebre di Lie eccezionali (serie E) sono naturalmente realizzate dalla Stringa come dualità e le soluzioni cosmologiche hanno una curiosa interpretazione come biliardi...! Il tavolo da biliardo è la sottoalgebra di Cartan.... La Teoria delle Stringhe unifica tutte le interazioni con la gravità e quantizza la Relatività Generale. Vediamo dunque le sue applicazioni alla cosmologia in cui l’interazione dominante è quella gravitazionale Si tratta di studiare le possibili soluzioni della teoria efficace, cioè della supergravità che dipendono solo dalla coordinata temporale Qui c’è un importantissimo interplay con la teoria dei gruppi Come sempre, la teoria delle stringhe incorpora tutte le strutture matematiche più profonde e le realizza in maniera essenziale Le algebra di Lie eccezionali della serie E, scoperte dal matematico francese Elie Cartan negli anni trenta del novecento, sono naturalmente dalla stringa come simmetrie di dualità tra regimi forti e deboli o tra dimensioni compattificate grandi e piccole e le soluzioni cosmologiche hanno una curiosa interpretazione come biliardi.....Il tavolo da biliardo è la cosidetta sottolagebra di Cartan.... dell’algebra eccezionale pertinente.....

Cosmologia: l’evoluzione dell’Universo a grande scala L’Universo appare granulare alle scale più basse. La Via Lattea 100.000 anni luce 10 milioni di anni luce La cosmologia studia la storia dell’Universo, ma esamina la sua evoluzione a scale di distanze tanto enormi da poter considerare le galassie come i granelli di una polvere cosmica. Considerare la gerarchia delle scale. L’universo appare granulare alle scale più basse. 10.000 anni luce è la dimensione tipica delle galassie ad esempio della nostra, la Via Lattea. 10 milioni di anni luce è la scala degli ammassi galattici 100 milioni di anni luce è la scala per i superammassi Ma alla scala di un miliardo di anni luce l’Universo può considerarsi come una zuppa omogenea e può essere modellizzato come un fluido perfetto. 100 milioni di anni luce Ma a 1028 cm = 1 miliardo di anni luce appare omogeneo

Nel 1929 Hubble scopre la recessione universale delle Galassie Le Galassie si allontano tutte radialmente da noi (dal Sole) e si allontanano tanto più velocemente, quanto più sono lontane. La più importante scoperta del novecento che diede inizio alla cosmologia moderna e trasformò questa da speculazione metafisica in scienza osservativa e sperimentale è la legge di Hubble sulla recessione universale delle galassie. Il fisico americano Hubble, constatò che tutte le galassie si allontanano da noi con una velocità apparente di recessione che è tanto più grande quanto più esse sono lontane. Nel 1929 egli formulò la sua legge lineare per tale recessione universale. La velocità di recessione è proporzionale alla distanza tramite una costante H0 che da allora in poi fu detta costante di Hubble Velocità di recessione Costante di Hubble Distanza

La frequenza della luce cambia per il moto relativo tra sorgente e osservatore

La legge di Hubble si verifica attraverso la misura del redshift Come è stata misurata e può essere verificata la legge di Hubble? Attraverso lo spostamento delle righe spettrali verso il rosso. Per capirci dobbiamo pensare al famigliare effetto Doppler delle onde acustiche. Tutti abbiamo fatto esperienza di ciò che avviene quando una autoambulanza passa vicino a noi a sirene spiegate. Quando essa si avvicina a noi, il tono della sirena è più acuto del normale ed è tanto più acuto quanto più grande è la velocità di avvicinamento. Quando invece l’autoambulanza si allontana, il tono della sirena diventa più grave ed esso è tanto più grave quanto più velocemente se ne va l’ambulanza. Lo stesso avviene per le onde luminose, cioè per i fotoni. Una sorgente luminosa in allontanamento dall’osservatore appare tanto più rossa quanto più grande è la velocità della sorgente. Dunque facendo l’analisi spettrale della luce che proviene da lontane galassie possiamo riconoscere la struttura delle righe spettrali per tutte le varie transizioni atomiche, ma constatiamo che esse sono tutte spostate verso il rosso e lo sono tanto più quanto più è lontana la galassia osservata. Definendo redshift lo spostamento percentuale delle righe spettrali e ponendolo in ordinata rispetto alla distanza posta in ascissa si ottiene una retta la cui pendenza è la costante di Hubble. Le righe spettrali delle galassie lontane appaiono spostate verso il rosso

Come capire la legge di Hubble? Risposta: L’Universo si espande! Andando a ritroso nel tempo torniamo ad un istante in cui l’Universo era piccolissimo e tutta la materia era concentrata in una regione infinitesima di spazio. La densità di energia era infinita. Qual’é l’interpretazione della legge di Hubble? A prima vista potrebbe sembrare che essa denoti la nostra posizione nell’Universo come privilegiata. Se tutti si allontanano radialmente da noi, allora noi siamo al centro dell’Universo che un tempo era tutto concentrato nel luogo ove ora noi stiamo. Inoltre una legge lineare che lega velocità e distanza suggerisce lo scenario di una grande esplosione passata. Al momento in cui una bomba esplode i suoi frammenti sono proiettati in tutte le direzioni con varie velocità. Dopo un certo tempo i frammenti più veloci avranno percorso più strada di quelli più lenti e per questo essi sono più lontani. Questa interpretazione corrispondente ad un principio antropico è quella che suggerì il nome BIG BANG, ma è ingenua ed in contrasto con l’omegeneità ed isotropia dell’Universo. A causa di questa omegeneità ed isotropia dobbiamo allora supporre che ciò che vediamo noi sia la stessa cosa che vede qualunque altro osservatore su qualunque altra galassia. Come possiamo interpretare la legge di Hubble, allora? Il modello intuitivo è il seguente. Le galassie sono come delle palle disposte su un telo (lo spazio tridimensionale) e rispetto al telo esse non si muovono. Ma è il telo che viene uniformemente dilatato e come conseguenza ogni palla si trova ad alontanarsi da tutte le altre. Le galassie sono come palle disposte su di un telo. Esse sono ferme ma è il telo che si dilata.

Candele standard e legge di Gauss In cosmologia noi osserviamo l’universo che ci circonda ricevendo la radiazione inviataci da sorgenti lontane (luce visibile, raggi X, onde radio, neutrini, un giorno anche onde gravitazionali. Misuriamo le distanze grazie alle candele standard. Se sappiamo quanto é luminosa una sorgente, deduciamo la sua distanza dalla sua luminosità apparente. Alla base di questo metodo c’é la legge di Gauss che asserisce che il flusso attraverso ogni sfera attorno alla sorgente è costante. In cosmologia noi osserviamo l’universo che ci circonda ricevendo la radiazione inviataci da sorgenti lontane (luce visibile, raggi X, onde radio, neutrini, un giorno anche onde gravitazionali. Misuriamo le distanze grazie alle candele standard. Se sappiamo quando é luminosa una sorgente, deduciamo la sua distanza dalla sua luminosità apparente. Alla base di questo metodo c’é la legge di Gauss che asserisce che il flusso attraverso ogni sfera attorno alla sorgente è costante. La diluizione dell’intensità con la distanza presuppone una geometria a simmetria sferica: isotropia!!! La diluizione dell’intensità con la distanza presuppone una geometria a simmetria sferica: isotropia!!!

Immaginate la superficie di una sfera I puntini sulla superficie rappresentano le galassie. se la sfera si espande ogni puntino si troverà più distante da ogni altro puntino di quanto esso lo fosse l’istante precedente FATTORE di SCALA: Questo modo di vedere ci conduce al concetto di fattore di scala dipendente dal tempo. Immaginate che il nostro spazio tridimensionale sia come la superficie di una sfera e che le galassie siano disposte su questa superficie. Immaginate ora che un demiurgo gonfi la sfera, cioè ne cambi il raggio nel tempo il raggio. Tutte le distanze tra ciascuna delle galassie ed ogni altra avranno rapporti fissati, ma saranno proporzionali al raggio della sfera che cresce col tempo. E’ come se l’unità di misura delle distanze fosse cambiata costantemente e fosse funzione del tempo. Chiamiamo tale unità di misura il fattore di scala e lo denotiamo con a(t). rAB A B C rAC Le distanze sono funzioni del tempo dAB = a(t) rAB dAC = a(t) rAC

La velocità é.....la derivata della distanza rispetto al tempo quindi La velocità è la derivata della distanza rispetto al tempo. Un semplice calcolo ci fa vedere che possiamo dedurre la legge di Hubble ed identificare la costante di Hubble con la derivata logaritmica del fattore di scala al tempo presente. La costante di Hubble in realtà non è costante. E’ essa stessa una funzione del tempo e ci informa sulla derivata prima del fattore di scala. La prima deviazione della legge di Hubble lineare ci informa sulla derivata seconda del fattore di scala, ci dice cioè se il nostro universo sta accelerando o decelarando la propria velocità di espansione. Dati su questo parametro di accelerazione erano fino a poco tempo fa impensabili dal punto di vista sperimentale. Recenti misure su supernovae in galassie distanti hanno potuto stabilire la sorprendente verità accertata negli ultimi due o tre anni: Il NOSTRO UNIVERSO STA ACCELERANDO! La costante di Hubble è in realtà una funzione del tempo è il suo valore al tempo attuale IL NOSTRO UNIVERSO STA ACCELERANDO

Il Principio Cosmologico Il Principio cosmologico impone l’omogenità e l’isotropia dello spazio tempo a grandi scale Isotropia vuol dire invarianza per rotazioni. In qualunque direzione puntiamo il nostro telescopio, dobbiamo vedere approssimativamente lo stesso panorama..... Omogeneità vuol dire invarianza per traslazioni. Ciò che vediamo noi dalla nostra galassia deve essere lo stesso panorama che vede un qualunque altro osservatore su qualunque altra galassia anche lontanissima Il modello cosmologico standard è basato sul principio cosmologico: Esso impone l’omogeneità e l’isotropia dello spazio tempo a grandi scale. Isotropia vuol dire invarianza per rotazioni. In qualunque direzione puntiamo il nostro telescopio dobbiamo vedere approssimativamente lo stesso panorama. Omogeneità vuol dire invarianza per traslazioni. Ciò che vediamo noi dalla nostra galassia deve essere lo stesso panorama che vede un qualunque altro osservatore su qualunque altra galassia anche lontsanissima.

L’Espansione dell’Universo L’Universo può avere tre diverse geometrie nelle sue sezioni a tempo costante, ma in ogni caso si espande. L’espansione è semplicemente una dilatazione dello spazio tridimensionale Universo sferico (k=1) Le geometrie tridimensionali consistenti con omegeneità ed isotropia sono solo tre e possono essere distinte dal segno della curvatura k. Per k=1 abbiamo la geometria sferica, la geometria cioè di una sfera tridimensionale. Per k=0 abbiamo la geometria piatta, quella ciè del normale spazio euclideo tridimensionale. Per k=-1 abbiamo la geometria iperbolica, quella cioè di un iperboloide. In tutti e tre i casi, fissata la geometria resta il fattore di scala che fissa l’unità di misura delle distanze e che può evolvere nel tempo. Espansione o contrazione dell’Universo. Universo iperbolico (k= - 1) Universo Piatto (k=0)

L’Universo piatto Nella geometria euclidea lo spazio è diviso in cubi ed un osservatore ha la sensazione dell’ordinaria, familiare prospettiva: l’apparente dimensione angolare degli oggetti è inversamente proporzionale alla loro distanza E’ molto difficile visualizzare la geometria tridimensionale. Un modo di farlo è quello di tessellare lo spazio con dei poligoni regolari. Lo spazio piatto può essere famigliarmente tessellato con dei cubi. La prospettiva è fornita dalla dimensione angolare degli oggetti che diminuisce in modo inversamente proporzionale alla distanza.

L’Universo sferico Lo spazio sferico mostrato qui é tessellato da dodecaedri regolari. La geometria dello spazio sferico è simile a quella della superficie della Terra. Siamo su una sfera tridimensionale anziché bidimensionale. La prospettiva in uno spazio sferico é peculiare. Oggetti sempre più lontani dapprima diventano più piccoli in dimensione angolare, ma raggiunta una dimensione minima crescono di nuovo in dimensione apparente al crescere della loro distanza. Questo é dovuto alla focalizzazione dei raggi luminosi Uno spazio sferico tridimensionale può essere tessellato incollando insieme dei dodecaedri regolari. Abbiamo dei nuovi effetti prospettici dovuti alla focalizzazione dei raggi luminosi.

L’Universo iperbolico Lo spazio iperbolico mostrato qui è tessellato di dodecaedri regolari, cosa impossibile nello spazio Euclideo. La taglia delle celle é dell’ordine di grandezza della curvatura. Per oggetti vicini la prospettiva nello spazio iperbolico é molto simile a quella dello spazio Euclideo, ma la dimensione angolare apparente decresce molto più rapidamente con la distanza. Infatti decresce in modo esponenziale. Anche lo spazio iperbolico può essere tessellato con dei dodecaedri regolari, ma l’effetto prospettico è molto diverso. La dimensione angolare degli oggetti decresce esponenzialmente con la distanza.

L’evoluzione del raggio di curvatura con il tempo cosmico Possiamo ora riassumere il modello cosmologico standard presentando il grafico del fattore di scala in funzione del tempo cosmologico. La qualità del grafico è molto diversa a seconda del segno della curvatura. Per curvatura positiva il fattore di scala è una cicloide. L’universo dapprima si espande, poi rallenta sempre di più la propria espansione, fino ad un punto di inversione in cui comincia a contrarsi. Lo spostamento verso il rosso diventa allora uno spostamento verso il blu e l’Universo si scalda di nuovo evolvendo verso un Big Crunch universale in cui la densità di energia torna infinita. Se la curvatura è nulla o negativa non vi è invece Big Crunch e l’espansione prosegue eternamente. Nel caso piatto (k=0) essa prosegue con una legge di potenza. Il fattore di scala cresce come t2/3 . Nel caso iperbolico il fattore di scala cresce invece con legge diversa ma è pur sempre monotono. Universo aperto di curvatura negativa o nulla Universo chiuso di curvatura positiva

Chi lo dice? Lo dice un’equazione differenziale, l’equazione di Freedman: per la materia per la radiazione Chi ci ha informato su questi destini dell’Universo. Una equazione differenziale, di cui i grafici precedenti sono le soluzioni: l’equazione di Freedman. E che cosa è tale equazione di Freedman? E’ null’altro che la forma presa dalle equazioni di campo di Einstein della Relatività Generale, allorchè le si applichi al caso di una geometria omogenea ed isotropa, allorchè cioè, si assuma il principio cosmologico. La giiustificazione del principio cosmologico è basata sulle osservazioni. L’Universo attuale è effettivamente omogeneo ed isotropo. Non solo, abbiamo una testimonianza diretta della sua omogeneità ed isotropia attraverso la misura della radiazione di fondo a 3 gradi Kelvin. Ne riparleremo presto. Da dove nasce l’equazione di Freedman? Dalla Relatività Generale. E’ l’equazione di Einstein per il fattore di scala a(t) !!

The horizon is 95% cloudy! STScI

LA RELATIVITA’ GENERALE in 6 diapositive Le equazioni di Einstein determinano la metrica..... Vediamo che cos’è una metrica.... Dobbiamo cominciare con uno spazio curvo......... La Relatività Generale in sei diapositive Le equazioni di Einstein determinano la metrica. Vediamo che cosè una metrica.... Dobbiamo cominciare con la nozione di uno spazio curvo.....

Un esempio di spazio curvo in 2 dimensioni è fornito dall’iperboloide Un esempio di spazio curvo in 2 dimensioni è fornito dall’iperboloide. I punti di questa superficie sono tutti quelli che soddisfano la seguente equazione quadratica Possiamo parametrizzare tutti i punti di questo spazio con due coordinate: Scrivendo: Un esempio di spazio curvo in due dimensioni è fornito dall’iperboloide. I punti di questa superficie sono tutti i punti dello spazio tridimensionale, identificati dalle tre coordinate (X0, X1 , X2 ) che soddisfano l’equazione quadratica che vedete. Essa è simile all’equazione della sfera. Cambiano solo alcuni segni, ma tale cambio, comporta differenze sostanziali... Se conoscete la nozione di seno e coseno iperbolico è facilissimo scrivere una soluzione parametrica. Il parametro a e l’angolo  formano un sistema di coordinate in grado di etichettare tutti i punti della superficie.

La metrica: una regola per calcolare la lunghezza delle curve!! In un campo gravitazionale le particelle si muovono lungo le geodetiche definite dalla metrica. Le geodetiche sono le linee più diritte possibili in quella geometria ed hanno lunghezza minima ( = estremale ) Una curva sulla superficie è descritta dando le coordinate come funzioni di un solo parametro t Quanto è lunga questa curva? A B Consideriamo ora una curva sulla superficie. Come è descritta matematicamente tale curva o linea che parte dal punto A e termina nel punto B? La risposta è semplice. Essa è descritta assegnando due funzioni a(t) e (t) in maniera tale che al variare del numero reale t nell’intervallo [0,1] si procede dalle coordinate del punto A a quelle del punto B con continuità passando per tutta una serie di punti intermedi. Data una simile curva sorge il problema di misurarne la lunghezza. Sorge anzi il problema di misurare la lunghezza di una qualsivoglia curva. Il fondamentale concetto geometrico di metrica, si può riassumere in questo modo. La metrica è una regola per calcolare la lunghezza di una qualunque curva. Ad esempio l’integrale lAB definito nella figura è una regola per calcolare la lunghezza di una qualsivoglia curva. Tale integrale è una metrica ed ogni possibile metrica definita sullo spazio tempo è un possibile campo gravitazionale. Questo integrale è una regola ! Ogni regola di questo tipo è un Campo Gravitazionale!!!!

Vediamo quali sono le linee dritte (=geodetiche) sull’iperboloide dl2 >0 geodetica di tipo spazio:non può essere percorsa da nessuna particella (viaggerebbe più veloce della luce) dl2<0 geodetica di tipo tempo. E’ una possibile linea di mondo per una particella con massa! dl2 = 0 geodetica di tipo luce. E’ una possibile linea di mondo per i fotoni e le altre particelle di massa nulla Tre tipi diversi di curve e quindi di geodetiche Relatività = segnatura di Lorentz - , + tempo spazio Vediamo dunque nel nostro modello giocattolo di spazio tempo bidimensionale quali sono le geodetiche, cioè le linee diritte. Siccome si tratta di uno spazio tempo, con segnatura di Lorentz, non c’e’ un solo tipo di geodetica, ma ve ne sono tre tipi diversi. Che significa segnatura di Lorentz? In termini molto semplici significa questo. La metrica, la regola per calcolare le distanze è data dall’integrale di una certa espressione che è la radice di una forma quadratica. I contributi alla forma quadratica hanno però segni diversi. Positivo per lo spazio, negativo per il tempo. Dunque questo oggetto, dl2 di cui poi dovremo fare la radice ed integrare il risultato lungo la curva può avere tre segni: positivo, negativo o nullo. Una geodetica per la quale dl2 è positivo è una geodetica di tipo spazio. Non può essere la traiettoria di nessuna particella. Per percorrere simile geodetica bisognerebbe viaggiare più velocemente della luce, il che è proibito. Una geodetica per la quale dl2 è negativo è una geodetica di tipo tempo. Essa può essere la traiettoria di una particella dotata di massa. Si percorrere una simile geodetica viaggiando più lentamente della luce. Infine una geodetica per la quale dl2 è nullo è una geodetica di tipo luce. E’ una possibile linea di mondo per particelle prive di massa come il fotone.

Tipo spazio Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo spazio. Esse si estendono dall’infinità negativa nella falda inferiore all’infinità positiva in quella superiore. Si attorcigliano un po’ attorno alla gola ma non fanno mai un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante p=pendenza. Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo spazio. Esse si estendono dall’infinità negativa nella falda inferiore all’infinità positiva in quella superiore. Si attorcigliano un po’ attorno alla gola ma non fanno mai un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante p=pendenza. La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze

Tipo tempo Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo tempo. Esse hanno un’estensione limitata in “altezza “ e si attorcigliano completamente attorno alla gola facendo più di un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante E=energia Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo tempo. Esse hanno un’estensione limitata in “altezza “ e si attorcigliano completamente attorno alla gola facendo più di un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante E=energia La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze

Tipo luce Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo luce. Esse hanno un’estensione infinita in “altezza “ e non si attorcigliano attorno alla gola Sono caratterizzate dalla costante a =energia Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo luce. Esse hanno un’estensione infinita in “altezza “ e non si attorcigliano attorno alla gola Sono caratterizzate dalla costante a =energia La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze

Al tempo T2 i fotoni hanno raggiunto una superficie 2 Ogni fotone emesso percorre una geodetica di tipo luce I fotoni viaggiano ancora! Al tempo T1 i fotoni emessi hanno raggiunto una superficie 1 Ora che abbiamo visto che cosa sono le geodetiche, possiamo esplorare le proprietà di una metrica, cioè di un campo gravitazionale studiando la forma e l’evoluzione delle sue geodetiche. Ad esempio............ Al tempo T2 i fotoni hanno raggiunto una superficie 2 Ora che abbiamo visto che cosa sono le geodetiche, possiamo esplorare le proprietà di una metrica, cioè di un campo gravitazionale studiando la forma e l’evoluzione delle sue geodetiche. Ad esempio............ Ogni fotone emesso percorre una geodetica di tipo luce Al tempo T0 una sorgente emette fotoni in tutte le direzioni uniformemente Al tempo T1 i fotoni emessi hanno raggiunto una superficie 1 I fotoni viaggiano ancora! Al tempo T2 i fotoni hanno raggiunto una superficie  Al tempo T0 una sorgente emette fotoni in tutte le direzioni uniformemente

L’espansione dell’Universo si può visualizzare considerando l’evolversi nel tempo della superficie L’espansione dell’Universo si può visualizzare considerando l’evolversi nel tempo della superficie  (t)

Il modello cosmologico standard è isotropo (oltre che omogeneo) Nel caso dell’ Universo piatto, abbiamo, ad esempio: come metrica, cioé come regola per calcolare le distanze. Una geodetica di tipo luce (la traiettoria spazio temporale di un fotone) é pertanto della forma seguente Il modello cosmologico standard è isotropo (oltre che omogeneo) Nel caso dell’ Universo piatto, abbiamo, ad esempio: come metrica, cioé come regola per calcolare le distanze. Una geodetica di tipo luce (la traiettoria spazio temporale di un fotone) é pertanto della forma seguente Dove kappa è un vettore costante (l’impulso del fotone) Dove è un vettore costante (l’impulso del fotone)

Le superfici (t) sono sferiche, nella metrica La sorgente emette il suo impulso. Osserviamo l’evoluzione del fronte d’onda Le superfici sigma di t sono sferiche nella metrica prescelta. La sorgente emette il suo impulso. Osserviamo l’evoluzione del fronte d’onda.

Consideriamo ora una metrica differente, omogenea, ma non necessariamente isotropa ds2 = abbiamo la soluzione dell’equazione di Einstein isotropa per un universo pieno di polvere (le galassie) Se p1 = p2 = p3 = Ma esistono anche altre soluzioni, anche nel vuoto, cioè in assenza di materia che riempia l’Universo. Nel vuoto la condizione perchè le equazioni di Einstein siano soddisfatte é: Consideriamo ora una metrica differente, omogenea, ma non necessariamente isotropa Se tutti e tre gli esponenti pi sono uguali tra di loro ed uguali a 2/3 abbiamo la soluzione dell’equazione di Einstein isotropa per un Universo pieno di polvere: le galassie. Ma esistono anche altre soluzioni, anche nel vuoto, cioè in assenza di materia che riempia l’Universo. Nel vuoto la condizione perchè le equazioni di Einstein siano soddisfatte é la seguente: Una soluzione è data ad esempio da: Una soluzione è data ad esempio da

Con questa metrica le superfici  (t) evolvono in questo modo: La superficie cambia forma perchè alcune dimensioni si espandono più velocemente di altre. In certe soluzioni alcune dimensioni possono addirittura contrarsi. La superficie cambia forma perché alcune dimensioni si espandono più velocemente di altre. In certe soluzioni alcune dimensioni possono addirittura contrarsi

Ed ora un pò di Teoria dei Gruppi Cominciamo dal gruppo più famigliare a tutti....... Ed ora un pò di Teoria dei Gruppi Cominciamo dal gruppo più famigliare a tutti......

il GRUPPO delle ROTAZIONI Rotazione Le rotazioni, note a tutti forniscono infatti il prototipo di cosa sia un gruppo. Esso é un insieme i cui elementi sono trasformazioni attive su qualche cosa. Un gruppo é un insieme i cui elementi sono operazioni di trasformazione che possono essere eseguite in sequenza

Il prodotto di due elementi del gruppo é...... La sequenza delle due trasformazioni: A R1 A R2 R3=R2R1 Il prodotto di elementi di un gruppo è l’esecuzione in sequenza delle due operazioni di trasformazione da essi generate. A In genere il prodotto non é commutativo

Le rotazioni Y Z X Rotazione attorno all’asse X Rotazione attorno all’asse Y Consideriamo ad esempio, nello spazio tridimensionale le rotazioni attorno ai tre assi coordinati La rotazione attorno all’asse X La rotazione attorno all’asseY La rotazione attorno all’asse Z Rotazione attorno all’asse Z Le rotazioni

Dato un iperpiano possiamo considerare la riflessione rispetto ad esso Un iperpiano in un spazio euclideo é identificato dal vettore  ad esso ortogonale Le Riflessioni

Il risultato di una rotazione di 90 gradi attorno all’asse z è differente dal risultato di una riflessione. X Y Z Una rotazione è una trasformazione continua: per questo abbiamo potuto fare un film!!! Il risultato di una rotazione di 90 gradi attorno all’asse z è differente dal risultato di una riflessione. Una rotazione è una trasformazione continua: per questo abbiamo potuto fare un film!!! E per questo una rotazione di un angolo  attorno ad un asse è l’esponenziale di un generatore infinitesimo delle rotazioni attorno a quell’asse!!! E per questo una rotazione di un angolo  attorno ad un asse è l’esponenziale di un generatore infinitesimo delle rotazioni attorno a quell’asse!!!

Le matrici di rotazione ed i generatori Un vettore é identificato dalle sue componenti lungo gli assi X, Y, Z La rotazione è rappresentata da una matrice Applichiamo una rotazione Vediamo ora il concetto di generatore di una trasformazione Un vettore è un segmento orientato nello spazio Esso è identificato dalle sue componenti lungo gli assi coordinati Applichiamo a questo vettore una rotazione: Ad esempio una rotazione di un angolo theta attorno all’asse Z Dopo la rotazione le componenti del vettore saranno diverse e le nuove componenti si ottengono dalle antiche applicando una matrice. Per questo ogni rotazione è descritta da una matrice 3 x 3 che può scriversi come l’esponenziale di una matrice J moltiplicata per un angolo. Tale matrice J è il generatore delle rotazioni attorno ad un certo asse.

Le algebre e certi vettori speciali detti radici.... Siccome le rotazioni sono trasformazioni continue, esse sono generate da generatori infinitesimi, come JZ Siccome le trasformazioni del gruppo ( = le rotazioni ) non commutano, allora neanche i generatori commutano.... Essi generano un’ algebra, cioé: Le rotazioni sono trasformazioni continue ed è per questo che esse sono generate da generatori infinitesimi, come JZ Siccome le trasformazioni del gruppo ( cioè le rotazioni ) non commutano, allora neanche i generatori commutano.... Essi generano un’ algebra, cioé:

Le algebre e certi vettori speciali detti radici.... Ci sono gruppi molto più grandi del gruppo delle rotazioni che descrivono trasformazioni in spazi più complessi. Essi hanno molti più generatori...... I GENERATORI SI ORGANIZZANO SEMPRE COSI’: (Cartan – Weyl – Dynkin 1930-1945) Algebra Geometria Sotto algebra di Cartan Assi di uno spazio euclideo (o pseudoeuclideo ?) Operatori radice   Speciali vettori in questo spazio Le algebre e certi vettori speciali detti radici.... Ci sono gruppi molto più grandi del gruppo delle rotazioni che descrivono trasformazioni in spazi più complessi. Essi hanno molti più generatori...... I padri della moderna teoria dei Gruppi, Cartan, Weyl, Dynkin hanno dimostrato che i generatori si organizzano sempre nel seguente modo: Ci sono dei generatori hacca detti di Cartan, che commutano tra di loro e sono in corrispondenza con gli assi di uno spazio euclideo r dimensionale. R è detto il rango dell’algebra e lo spazio generato dagli hacca si chiama la sottoalgebra di Cartan Tutti gli altri generatori sono in corrispondenza con un set di speciali vettori che vivono nello spazio euclideo r-dimensionale. I commutatori di ogni algebra hanno la seguente forma generale in termini dei generatori di Cartan Weyl ed il sistema di vettori alfa, beta, detti radici soddifa delle proprietà geometriche molto speciali Proprietà speciali soddisfatte dal sistema di vettori, detti radici

I sistemi di radici Tutta la struttura algebrica è riassunta in due proprietà od assiomi: 1 ) Ogni algebra è identificata dal sistema di radici corrispondenti cioè dal set W di vettori alfa1, alfa 2 alfa n e tutta la struttura algebrica è rissunta in due proprietà od assiomi: La riflessione di ogni vettore dell’insieme W rispetto al piano ortogonale ad ogni altro vettore dell’insieme appartiene ancora all’insieme W Il prodotto scalare tra ogni due vettori dell’insieme diviso per la norma quadra del secondo vettore appartiene agli interi o seminteri Questo implica che l’angolo possibile tra ogni due radici è quantizzato ed è uno tra i seguenti. 2)

Un sistema di radici in tre dimensioni: A3 Che hanno a che fare le algebre di Lie e le radici con la cosmologia e le stringhe? 1 2 3 2+3 1+2 1+2 +3 Un esempio fa meglio comprendere questi concetti. Consideriamo l’algebra A3 il cui sistema di radici è il seguente sistema di vettori tridimensionali. Ci sono 12 radici che sono uguale ed opposte a due a due. Alfa 1, alfa 2 ed alfa 3 sono dette radici semplici. Tutte le altre sono combinazioni lineari a coefficienti interi di queste tre ed i coefficienti sono tutti positivi oppure tutti negativi. Ogni sistema di radici ammette una base di radici semplici Ma che hanno a che fare le algebre di Lie e le radici con la comsologia e le stringhe. 1 , 2 , 3 sono dette radici semplici: tutte le altre radici sono combinazioni intere di queste tre.

Cerchiamo di capirlo....... Si era detto che la Teoria delle Stringhe implica D=10 dimensioni spazio temporali. Allora una metrica cosmologica che generalizza quella considerata prima in quattro dimensioni, sarà del tipo: Se non c’è materia la condizione perchè questa metrica sia soluzione delle equazioni di Einstein é: Cerchiamo di capirlo..... Si era detto che la Teoria delle Stringhe implica D=10 dimensioni spazio temporali. Allora una metrica cosmologica che generalizza quella considerata prima in quattro dimensioni, sarà del tipo seguente: Se non c’è materia la condizione perchè questa metrica sia soluzione delle equazioni di Einstein é: Viene ora un’idea a prima vista peregrina. Immaginiamo che.... Le funzioni del tempo ad esponente in ciascun fattore di scala siano le coordinate di una pallina che si muove di moto rettilineo con velocità Le cui componenti sono gli esponenti p con i. Qual’è lo spazio 9-dimensionale in cui si muove questa pallina fittizia? Siano le coordinate di una pallina che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità Viene ora una idea a prima vista peregrina.... Immaginiamo che Qual’è lo spazio 9 dimensionale in cui si muove questa pallina fittizia?

RISPOSTA: La sottoalgebra di Cartan di un’algebra di rango 9 cioè con 9 generatori di Cartan. h1 h2 h9 Risposta.... La sottolagebra di Cartan di un’algebra di rango 9, cioè con 9 generatori di Cartan... Chi è dunque quest’algebra di rango 9 ? E’ E9 , cioè una estensione infinito dimensionale dell’algebra E8 E chi è E8 ? Chi è dunque quest’algebra di rango 9? E’ E9 , cioè una estensione infinito dimensionale dell’algebra E8 E chi è E8 ?

In matematica le algebre (dei gruppi di Lie) sono classificate....... dalle proprietà delle radici semplici. Ricordate quei vettori 1, 2 , 3 tali che........... E’ sufficiente specificare i prodotti scalari delle radici semplici tra di loro, cioé la matrice (tutta di numeri interi): 1 2 3 2+3 1+2 1+2 +3 AD ESEMPIO PER A3 In matematica le algebre (dei gruppi di Lie) sono classificate....... dalle proprietà delle radici semplici. Ricordate quei vettori 1, 2 , 3 tali che........... Ogni altro si poteva scrivere come combinazione a coefficienti interi di loro tre? E’ sufficiente specificare i prodotti scalari delle radici semplici tra di loro, cioé la seguente matrice (tutta di numeri interi): E tutte le radici sono fissate così come l’intera algebra ( e pure il gruppo) Ad esempio per A3 abbiamo C’e’ un modo grafico molto compatto di rappresentare queste matrici e quindi le algebre..... Il diagramma a pallini blu si chiama Diagramma di Dynkin E tutte le radici sono fissate così come l’intera algebra ( e pure il gruppo) C’e’ un modo grafico molto compatto di rappresentare queste matrici e quindi le algebre

Ed allora che cosa abbiamo in D=2 ? Le algebre del tipo Esistono per qualunque In D=3 abbiamo E8 Le algebre del tipo Esistono solo per Ed allora che cosa abbiamo in D=2 ? Serie E (eccezionale) In uno spazio euclideo non si possono impaccare più di otto vettori con angoli di 120 gradi !! Le algebre del tipo seguente Con un diagramma di Dynkin dato da una catena lineare ad elle pallini Esistono per qualunque numero di pallini elle Le algebre il cui diagramma di Dynkin è invece del tipo seguente Esistono invece solo per un numero di pallini elle uguale ad 1,2, 3, 4,5,6, 7 ed 8, massimo e sono dette algebre E elle La ragione è che in uno spazio eucliedeo non si possono impaccare più di otto vettori indipendenti con angoli di 12o gradi tra di loro. Il gruppo Er è il gruppo di dualità della Teoria delle Stringhe in dimensioni D = 10 – r + 1 In D=3 abbiamo E8 Ed allora che cosa abbiamo in D=2 ? Il gruppo Er è il gruppo di dualità della Teoria delle Stringhe in dimensioni D = 10 – r + 1

Abbiamo E9 ! Ma come? Più di 8 vettori non si possono impaccare in un spazio euclideo ad angoli di 120 gradi ! Già! Euclideo!! Ma non euclideo si può !! Ricordate la condizione sugli esponenti pi = (velocità della pallina) dove Abbiamo E9 ! Ma come? Più di 8 vettori non si possono impaccare in un spazio euclideo ad angoli di 120 gradi ! Già! Euclideo!! Ma non euclideo si può !! Ricordate la condizione sugli esponenti p con i, cioè sulle componenti della velocità della pallina fittizia? Questa condizione si può riscrivere come la seguente forma quadratica Se diagonalizziamo la matrice Kij dei coefficienti troviamo i seguenti autovalori Ecco in questo meno la segnatura non-euclidea nell’algebra di Cartan di E9. E’ un’algebra infinita ha cioè infinite radici Se diagonalizziamo la matrice Kij troviamo gli autovalori Ecco la segnatura non-euclidea nell’algebra di Cartan di E9. E’ un’algebra infinita ( = infinite radici!!)

Ora teniamo conto anche delle radici...... Sono infinite, ma quelle di tipo tempo sono in numero finito. Sono 120 come per E8. Tutte le altre sono di tipo luce. Le radici di tipo tempo, rappresentano i vari campi leggeri della Stringa diversi dalla metrica diagonale (parti fuori diagonale) e campi di materia. h1 h2 h9 Ora teniamo conto anche delle radici...... Sono infinite, ma quelle di tipo tempo sono in numero finito. Sono 120 come per E8. Tutte le altre sono di tipo luce. Le radici di tipo tempo, rappresentano i vari campi leggeri della Stringa diversi dalla metrica diagonale (parti fuori diagonale) e campi di materia. Quando accendiamo le radici, la fittizia pallina cosmica non va più in linea retta, ma rimbalza!! Quando accendiamo le radici, la fittizia pallina cosmica non va più in linea retta, ma rimbalza!!

Il bigliardo cosmico    Ovvero, visto di fronte Le radici dell’algebra corrispondono o ad elementi fuori diagonale della metrica, ovvero a campi di materia (le p+1 forme che si accoppiano alle p-brane)    Eccoci dunque arrivati al biliardo cosmico Le radici dell’algebra corrispondono o ad elementi fuori diagonale della metrica, ovvero a campi di materia (le p+1 forme che si accoppiano alle p-brane) Accendendo una radice  si erige un muro su cui la pallina cosmica rimbalza Accendendo una radice  si erige un muro su cui la pallina cosmica rimbalza

Quale è il significato del biliardo cosmico? Il numero di dimensioni efficaci può variare nel tempo, dinamicamente! Alcune dimensioni sono depresse per un certo tempo cosmico e poi si dilatano, mentre altre si contraggono. I muri sono anche dinamici. Prima non esistono e poi si innalzano per un certo tempo per poi decadere di nuovo. I muri sono p-brane euclidee! (Space-branes) Quando c’è la brana le dimensioni in cui si estende sono grandi e dominanti, mentre quelle trasverse si contraggono. Quando la brana decade, avviene l’opposto Quale è il significato del biliardo cosmico? Il numero di dimensioni efficaci può variare nel tempo, dinamicamente! Alcune dimensioni sono depresse per un certo tempo cosmico e poi si dilatano, mentre altre si contraggono. I muri sono anche dinamici. Prima non esistono e poi si innalzano per un certo tempo per poi decadere di nuovo. I muri sono p-brane euclidee! (Space-branes) Quando c’è la brana le dimensioni in cui si estende sono grandi e dominanti, mentre quelle trasverse si contraggono. Quando la brana decade, avviene l’opposto

3 4 8 9 = direzioni parallele alla brana = muro Un esempio esplicito La metrica é: 3 4 8 9 = direzioni parallele alla brana = muro 1 2 5 6 7 = direzioni trasverse alla brana Ma c’é anche una F5 che corrisponde alla presenza di una D3 brana spaziale Un esempio esplicito La metrica è Ma c’è anche una F5 che corrisponde alla presenza di una D3 brana spaziale. Questo campo é associato ad una radice ed abbiamo un muro 3 4 8 e 9 sono le dimensioni parallele alla brana, cioè al muro 1 2 5 6 e 7 sono le direzioni trasverse alla brana Questo campo é associato ad una radice ed abbiamo un muro!!!!

Muri che crescono....... 3 4 8 9 = direzioni parallele alla brana = muro 1 2 5 6 7 = direzioni trasverse alla brana Vediamo dunque la dinamica di questo rimbalzo

Il filmino che abbiamo visto, illustra il fenomeno di un biliardo “liscio” Direzioni parallele alla brana Direzioni trasverse Il filmino che abbiamo visto, illustra il fenomeno di un biliardo “liscio” Osserviamo i grafici dei fattori di scala nelle direzioni trasverse alla brana E nelle direzioni parallele alla medesima Nelle direzioni trasverse abbiamo un minimo laddove nelle direzioni parallele abbiamo un massimo

Rivediamo la stessa verità nei grafici della densità di energia e della pressione La densità dienergia totale decresce nel tempo Ma la frazione di energia contribuita dalla brana rispetto al totale ha un massimo piccato ad un certo tempo La pressione nelle direzioni trasverse ha un minimo a quel tempo lì Mentre la pressione nelle direzioni parallele ha un massimo allo stesso istante di tempo P in 34 P in 89 P in 12 P in 567

La discussione delle soluzioni cosmologiche e del bigliardo cosmico illustrano un pò il ruolo dei gruppi di dualità delle Stringhe Le dualità hanno molti altri aspetti importantissimi, ma quando si considerano configurazioni dipendenti dal tempo esse sono messe in particolare evidenza perchè è come ridursi ad una sola dimensione ed è in bassa dimensione che le dualità si vedono meglio. Il bigliardo cosmico apre un nuovo paradigma per l’interpretazione delle dimensioni aggiuntive. Forse il nostro Universo non le vede al tempo attuale, ma le ha viste in passato e le vedrà in futuro. Forse anche il nostro Universo vive sul world volume di una brana che poi decadrà e si scioglierà nelle 10 Dimensioni dove altre brane sorgono continuamente. Fine La discussione delle soluzioni cosmologiche e del biliardo cosmico illustrano un pò il ruolo dei gruppi di dualità delle Stringhe Le dualità hanno molti altri aspetti importantissimi, ma quando si considerano configurazioni dipendenti dal tempo esse sono messe in particolare evidenza perchè è come ridursi ad una sola dimensione ed è in bassa dimensione che le dualità si vedono meglio. Il biliardo cosmico apre un nuovo paradigma per l’interpretazione delle dimensioni aggiuntive. Forse il nostro Universo non le vede al tempo attuale, ma le ha viste in passato o le vedrà in futuro. Forse anche il nostro Universo vive sul world volume di una brana che poi decadrà e si scioglierà nelle 10 Dimensioni dove altre brane sorgono continuamente.