Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno Lezione n° 13: 27-28 Aprile 2009 Teoria della dualità: Teorema forte della dualità Teorema degli scarti complementari Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

2. Teorema (forte) della dualità Se (P) e (D) ammettono soluzione ottima finita, allora per ogni ottimo x* per (P) esiste una soluzione ottima w* per (D) tale che La dimostrazione del Teorema della dualità forte evidenzia che il valore della soluzione ottima di (D) corrispondente alla soluzione ottima di (P) vale

Dim. Sia B la base associata a x* quindi Se allora e Dimostriamo che è ammissibile per (D):

Poichè è la condizione di ottimalità per (P) (problema di minimizzazione), è verificata l’ammissibilità. Per la dualità debole è estremo superiore per (D), quindi la soluzione ammissibile per cui è ottima per (D).

La base B è ottima per (P) e per (D) La base B è ottima per (P) e per (D). Siano infatti X e W rispettivamente gli insiemi delle soluzioni ammissibili per (P) e (D)

una sol. di base per (P) la corrispondente per (D)

l’ammissibilità per (P) l’ammissibilità per (D) (vera sempre) sono le (n-m) condizioni di ottimalità (costi ridotti) di (P)

La base B è ottima se e sono rispettivamente ammissibili per (P) e (D).

Solo in corrispondenza dell’ottimo dalla base B ammissibile per (P) si ottiene una soluzione ammissibile per (D) (che in particolare è anche ottima). Ad una generica iterazione del simplesso dalla base corrente per (P) si può costruire un vettore che non è soluzione di (D). Tale vettore è detto dei MOLTIPLICATORI DEL SIMPLESSO e compare nel calcolo dei coefficienti di costo ridotto (problema di min):

Il Teorema dello “scarto complementare” (Complementary Slackness Theorem) Consideriamo la coppia di problemi (P) e (D) in forma canonica e trasformiamoli in forma standard

Ad ogni variabile di (P) è associato un vincolo di (D) e quindi la corrispondente variabile di slack e viceversa. 3. Teorema della slackness complementare Data la coppia di soluzioni x e w rispettivamente ammissibili per (P) e (D), x e w sono ottime per (P) e (D) se e solo se dove aj è il vettore riga j-esima di A ai è il vettore colonna i-esima di A