Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno Lezione n° 4: 16-17 Marzo 2009 Problemi di Programmazione Matematica Problemi Lineari e Problemi Lineari Interi Forma Canonica. Forma Standard Rappresentazione grafica della regione di ammissibilità Anno Accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

Programmazione Matematica Lineare Problema di Programmazione Matematica (PM) (problema di ottimizzazione) max f(x) s.t. funzione obiettivo scalare vettore delle variabili decisionali insieme delle soluzioni ammissibili

Un problema di PM è lineare quando: la funzione obiettivo è lineare l’insieme X è espresso in termini di relazioni (uguaglianze e disuguaglianze) lineari variabili x continue Programmazione Lineare Continua (PL) X variabili x intere Programmazione Lineare Intera (PLI)

Problemi di Programmazione Lineare: Forma Canonica Consideriamo un problema di Programmazione Lineare (PL) con m vincoli ed n variabili in Forma Canonica di minimo: dove: x è il vettore nx1 delle variabili decisionali c è il vettore nx1 dei coefficienti della funzione obiettivo b è il vettore mx1 dei termini noti dei vincoli A è la matrice mxn dei coefficienti dei vincoli; A=[aij], i=1,...,n, j=1,...,m

Problemi di Programmazione Lineare: Forma Standard di minimo Condizione: b ≥ 0

Inoltre, si assumono soddisfatte le seguenti ipotesi: - m<n - m=rango(A) I valori di x che soddisfano i vincoli (1) sono detti soluzioni del problema di PL. Inoltre, i valori di x che soddisfano anche i vincoli (2) sono detti soluzioni ammissibili del problema di PL.

L’ipotesi m<n (più variabili che vincoli) non rappresenta una perdita di generalità. E’ noto infatti che il sistema di equazioni lineari (1): può ammettere una soluzione unica se m=n può ammettere ¥n-m soluzioni se m<n Solo il secondo caso è significativo dal punto di vista dei problemi di ottimizzazione.

Qualunque problema di PL può essere trasformato in un problema equivalente in forma standard.

Formulazioni equivalenti: Funzione Obiettivo Esempio

Formulazioni equivalenti: Vincoli

Formulazioni equivalenti: Vincoli di disuguaglianza in vincoli di uguaglianza Variabile di slack (variabile fittizia)

Formulazioni equivalenti: Variabili

Rappresentazione grafica della regione di ammissibilità: Esempio

1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 (3) (1) (2) X

Un problema di PL può essere: Non Ammissibile (senza soluzioni ammissibili) Ammissibile con valore ottimo finito: 2.1 unico punto di ottimo 2.2 infiniti punti di ottimo 3. Ammissibile con valore ottimo illimitato

Da un punto di vista grafico: Non Ammissibile (senza soluzioni ammissibili): la regione di ammissibilità è l’isieme vuoto X1 X2

Da un punto di vista grafico: Ammissibile con valore ottimo finito: regione di ammissibilità è diversa dall’insieme vuoto, è chiusa e limitata X

Da un punto di vista grafico: Ammissibile con valore ottimo illimitato: in questo caso la regione di ammissibilità è un insieme non vuoto e illimitato (n.b., una soluzione con valore ottimo illimitato implica un insieme di ammissibilità X illimitato, ma non è vero il viceversa) X (X illimitato)