F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Linee e superfici : le forme e le forze 11

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa sommario Classificazione proiettiva delle quadriche Proprietà meccaniche delle curve e delle superficie Rassegna morfologica per generazione meccanica delle curve Categorizzazione delle curve Esercizio sulle superfici di Lamé

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa QUADRICHE

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Trasformazioni omografiche della sfera

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa PUNTO ELLITTICO

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa ellissonide

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa paraboloidi

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Trasformazione omografica della superficie conica rotonda

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa PUNTO PARABOLICO

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa F. Dischinger: Copertura del mercato di Lipsia (1929

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Mole antonelliana a Torino ( )

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa iperboloidi

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa PUNTO IPERBOLICO DIREZIONE ASINTOTICA

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Paraboloide iperbolico: sezioni parabolociche

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Paraboloide iperbolico: sezioni iperboliche

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Paraboloide iperbolico come superficie rigata

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Iperboloide a una falda

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa V. Choukhov: Torre radio a Mosca (1922),

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CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Curve e superficie dordine superiore una breve panomarica morfologica e unapplicazione in architettura Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità breve panoramica morfologica dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche Curve di Bezier, B-Spline e NURBS Una generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Grado dellequazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica Cubiche ellittiche (Parabole divergenti) e cubiche razionali (duplicatrice) Coniche (Quadratiche)

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa LE FORME E LE FORZE: Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve:

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Serie morfologiche parabola catenaria Catenaria dugual resistenza

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa sinusoide lintearia Cicloide di Sturm

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa kappa Curva di Schoute a forma di punta di matita qui ottenuta come inversione biassiale delliperbole

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Grafico della funzione Inversa del coseno iperbolico Curva di Gauss Cubica di Lamé Curva di Agnesi

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa strofoide Trisettrice di MacLaurin Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano costantemente una alla velocità tripla dellaltra Folium di Cartesio

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Cubica circolare razionale cissoide Cissoide come curva mediana della retta del circolo

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Cubiche di Chasles Iperboli cubiche (P è un polinmio di terzo grado)

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Parabole (cubiche) divergenti

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Quartica razionale piriforme. Curva a lacrima

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Lemniscata di Bermouilli Lemniscata di Gerono

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Quartiche bicircolari razionali Lumaca di Pascal

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Cardioide Qui costruita come pericicloide

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Quartiche di Bermuoilli Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Spiriche di Perseo Fissati A e B variando C. 1) Se 0 < B < A 2) Se B < 0 < A Spiriche e toriche

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Ovali di Cassini Ovali e Lemniscate di Booth e Ippopede di Proclo

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Quartiche di Plücker

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Trascendenti tipiche: le spirali Spirale logaritmica Caso di fibonacci Cfr. Modulor

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Spirale dArchimede E la sua inversa: Spirale iperbolica

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Involuta del circolo Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dallestremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto duna retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi). Una qualunque curva della quale unaltra curva C è levoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è lEvolvente).

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Evolute dellellisse (curve di Lamè)

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa curve (di approssimazione) di Bézier curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dellultimo). Lordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i punti di controllo giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari. Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier. tragitto di B(t) da P0 a P1.

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e allultimo tratto della spezzata di controllo È tutta allinterno di un poligono convesso che racchiude la spezzata

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Curve di approssimazione (B-spline) Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo lordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo). la curva passa per il primo e lultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e lultimo tratto della spezzata di controllo.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Non Uniform Rational B-spline sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali). Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero: se = 0 gli archi sono semplicemente contigui se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la medesima tangente nel punto di saldatura se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa I parametri che modellano una NURBS sono dunque: - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso; - il numero degli archi o spans che compongono la curva; - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura (knots); - il grado (ordine) della curva. Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa La categorizzazione comune delle curve

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Curve di Lamè

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Curve e Superfici di Lamè

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa