Riassunto lezione precedente Evidenza spettroscopica di multipletti quasi degeneri; organizzabili secondo simmetria SU(2) di isospin, con lieve rottura di degenerazione per interazione elettromagnetica necessità di introdurre nuovo numero quantico stranezza S; secondo SU(3) mesoni organizzati in nonetti sia pseudoscalari sia vettori; barioni organizzati in ottetto e decupletto a parità + e singoletto a parità –; nello spettro, ad alta energia segnali di rottura di una simmetria legata a P (simmetria chirale?) Gell-Mann & Zweig (‘63): ipotesi di simmetria a livello più basso, basata su struttura più elementare, i quarks; si giustificano osservazioni spettroscopiche, ma non si evidenzia mai il tripletto di SU(3): i quark sono reali? cenni di teoria dei gruppi: il caso SU(2), le matrici di Pauli definizione e proprietà di generatori di SU(N); rappresentazioni fondamentale, regolare, coniugata; operatore di Casimir e classificazione dei multipletti; esempi di SU(2) e SU(3) 14-Ott-13

le matrici di Gell-Mann λ SU(3) : proprietà generali gruppo delle trasformazioni unitarie U tali per cui χ’ = Uχ U sono matrici unitarie 3x3 del tipo 8 generatori della trasformazione: 8 matrici 3x3 hermitiane a traccia nulla le matrici di Gell-Mann λ sottogruppo SU(2) di isospin “I – spin” su (u,d) sottogruppo “V – spin” su (u,s) sottogruppo “U – spin” su (d,s) Rappresentazione fondamentale a dim.3 di SU(3): χ=(u,d,s) con base u=(1,0,0) , d=(0,1,0) , s=(0,0,1). Ex: u stato a I3=+½, d a I3=-½ , s a I3=0. Struttura delle matrici di Gell-Mann in SU(3) come opportuna estensione di SU(2), definizione di I-spin, V-spin e U-spin. Diagramma del tripletto (u,d,s) in spazio (I3,Y): u,d, a S=0 quindi Y=⅓ e a I3=+½, -½ rispettivamente; s a S=-1 quindi Y=-⅔ e I3=0. (u,d) connessi da I-spin, (u,s) da V-spin, (d,s) da U-spin. Simbolo. λ3 operatore di isospin diagonale, quindi u,d,s autostati di +½, -½, 0. E si usa questo per classificare i multipletti, come in SU(2). Y operatore di ipercarica: ⅓, ⅓, -⅔ rispettivamente. Y I d u operatore isospin ½ λ3 operatore ipercarica I3 U V s 14-Ott-13

SU(3) : classificazione multipletti e operatore di Casimir definiamo Fi = ½λi . Algebra: [Fi, Fj] = i fijk Fk , {Fi, Fj} = 4/3 δij + 4 dijk Fk costanti di SU(3): f123=1 , f458=f678= √3/2 d118=d228=d338=-d888= 1/√3 f147=f246=f257=f345=f516=f637= ½ d146=d157=d256=d344=d355= ½ d247=d366=d377= -½ d448=d558=d668=d778= -1/2√3 operatore di Casimir SU(2): Ii = ½ σi C = (I)2 = ½ (I+I- + I-I+) + (I3)2 = ½ {I+, I-} + (I3)2 SU(3): Fi = ½ λi C = (F)2 = Σi=18 FiFi = ½ {I+, I-} + ½ {V+, V-} + ½ {U+, U-} + (F3)2 + (F8)2 I± = F1 ± i F2 V± = F4 ± i F5 U± = F6 ± i F7 autovalore di C è ⅓ (p2+pq+q2)+(p+q) p,q ε N+ SU(3) caratterizzata da 8 generatori F che trasformano stati N dim. χ e sono rappresentati da matrici NxN hermitiane e a traccia nulla con algebra indicata e con costanti di struttura (antisimmetriche in scambio di ogni coppia di indici). Seguendo caso SU(2), l’operatore di Casimir si definisce analogamente per SU(3) sfruttando defs. eq.(2.50) Simbolo. Osserviamo che I+, V+, U- incrementano I3. Quindi si definisce autostato ϕ corrispondente ad autovalore max per cui I+ϕ=V+ϕ=U-ϕ=0. Verificare eq.(2.52) e usarla per riscrivere C mettendo al posto degli anticommutatori le espressioni di eq.(2.52). Su ϕ si ha eq.(2.53). Per generalizzarla in spazio (I3,Y) definire p,q con eqs.(2.54),(2.55). Ex. fig. 2.4. Così si arriva a (2.56) e poi finale (2.57) Simbolo. Tabella mostra alcuni dei casi usando eq.(2.57). Per calcolare 6 e 10 pensare a triangolo rovesciato di barioni 3/2; per 1 non può che essere p=q=0 Simbolo. Inoltre disegnare 3 (u,d,s) in (I3,Y)  tripletto, mentre 3bar (ubar,dbar,sbar) in (I3,Y) viene rovesciato  antitripletto. Quindi le due rappresentazioni non sono equivalenti. dim. (p,q) F2 1 (0,0) 3 (1,0) 4/3 (0,1) 8 (1,1) 6 (2,0) 10/3 10 (3,0) - 3  3* because of Y 14-Ott-13

Quarks e rappresentazioni SU(N) − supponiamo barioni = {qqq} e mesoni = {qq} sapore up u down d strange s nr. barionico B ⅓ isospin I ½ I3 +½ -½ ipercarica Y -⅔ carica Q +⅔ -⅓ stranezza S -1 Y = B+S Q = I3+½Y servono almeno 2 flavors u,d per distinguere p da n Supponiamo che barioni={qqq} e mesoni={q qbar} (lo dimostreremo euristicamente dopo). Allora Bq=⅓ , perché così B(barioni)=1 e B(mesoni)=0. Per isospin abbiamo già visto che u,d possono essere identificati con doppietto di SU(2). Questo è quello che serve per distinguere p={uud} da n={udd}. Non essendoci S, ipercarica e carica si calcolano di conseguenza e con Qu=+⅔ e Qd=-⅓ si ricostruisce Qp=1 e Qn=0. Però per distinguere p da Σ+ serve nuovo flavor, s, e il tripletto risultante può identificarsi con rappr. fondamentale di SU(3). Ipercarica e carica si modificano di conseguenza. gruppo SU(2)I servono almeno 3 flavors u,d,s per distinguere p da Σ+ gruppo SU(3)f 14-Ott-13

Spettro barionico e simmetria degli stati barioni = {qqq} q = u,d,s (per ora non importa ordine: uds  dsu  sud…) come distinguere ? quark simmetria carica stranezza stati uuu S 2 Δ++ uud S M 1 Δ+ p udd Δ0 n ddd -1 Δ- uus Σ+ Σ*+ uds S M M A Σ0 Σ*0 Λ0 Λ dds Σ- Σ*- uss -2 Ξ0 Ξ*0 dss Ξ- Ξ*- sss -3 Ω- p da Δ+  n da Δ0  ….  ….  ….  ….  Prendiamo sempre per dato che barioni = {qqq}. Ogni q può essere = u,d,s e lasciamo stare ordine. In tabella sono elencate le 10 possibili combinazioni, con n. quantici corrispondenti e associazione con stati dello spettro osservati. Domanda: come si fa a distinguere tra p e Δ+, ad esempio? Risposta: serve considerare anche ordine dei flavor, cioè proprietà di simmetria degli stati formati. Dato {qqq} con q=u,d,s qualsiasi, è sempre possibile formare combinazione simmetrica  10 stati S possibili. Se almeno un flavor è diverso da altri due, quindi {qqq’} o anche {qq’q’’}, allora si possono avere stati a simmetria mista M. Sono 8 perché {uds} ha 2 “modi” diversi di avere quark differente da altri due. Se flavor tutti diversi, cioè {uds}, allora si può avere uno stato antisimmetrico per ogni scambio di coppia di quark  1 A. Vediamo di costruire stati cominciando da caso più semplice di SU(2), con solo u,d. ….  ora ordine conta: dato {qqq} con q=u,d,s si può sempre costruire un S  10 dato {qqq’} o {qq’q’’} si può avere simm. mista M  8 ({qq’q’’} ha 2 “modi” diversi  M M) dato {qq’q’’} si può avere un A ({qq’q’’}=-{q’qq’’} per ogni coppia)  1 14-Ott-13

Rappresentazioni di SU(2) Rappresentazione fondamentale (dim. 2): 2 oggetti : |χ1> , |χ2> |S1 S1z ; S2 S2z >  |S Sz > |χ1> |χ2> scambio 1 <-> 2 u uu d 1/√2 (ud+du) 1/√2 (ud-du) dd S A |½ ½ ; ½ ½ >  |1 1 > 1/√2 [ |½ ½ ; ½ -½ > +  |1 0 > |½ -½ ; ½ ½ > ] 1/√2 [ |½ ½ ; ½ -½ > -  |0 0 > |½ -½ ; ½ -½ >  |1 -1 > notazione di teoria di gruppo Consideriamo SU(2) e la sua rappresentazione fondamentale, cioè a dim.2, cioè stati = doppietti. Prendiamo 2 stati così e combiniamoli. Ci sono 4 possibilità, elencate in tabella: 3 S e 1 A, con relativa notazione di teoria di gruppo. I coeffs. garantiscono ortonormalità degli stati. Ex: combinazione di 2 spin ½ a fare Stot = 1 o 0. Casi in tabella rappresentati da accoppiamenti di momenti angolari usando Clebsh-Gordan. Ex: S1 = ½ S2 = ½  S = 1 o 0 14-Ott-13

3 oggetti : |χ1> , |χ2> , |χ3> |χ1>|χ2>|χ3> scambio 1  2 Sz uuu 3/2 uud, udu, duu 1/√3 (uud+udu+duu) 1/√2 (ud-du)u 1/√6 [ (ud+du)u - 2 uud ] ½ udd, dud, ddu 1/√3 (udd+dud+ddu) 1/√2 (ud-du)d -1/√6 [ (ud+du)d - 2 ddu ] -½ ddd -3/2 S MA MS antisimmetrico simmetrico in 12 ma non definito negli altri Adesso prendiamo 3 oggetti della rappresentazione fondamentale di SU(2). Si combinano come in tabella, i coeffs. necessari per l’ortonormalità degli stati. A parte il caso S, si formano combinazioni che sono S in (1,2) o A in (1,2) ma indefinite in (1,3) o (2,3)  simmetrie miste MS e MA. Ex: combinazione di 3 spin ½: prima si combinano i primi due a fare S12=1,0; quest’ultimo =1 con il terzo spin dà Stot=3/2 e ½ simmetrico, quando =0 dà Stot=½ antisimmetrico. Si può vedere la stessa cosa con i Clebsh-Gordan. Ad esempio, la combinazione S=3/2 e Sz=½ si costruisce da Tab.3.5 e eq.(3.6)-(3.8) Simbolo. Ex: S1 =½ S2 =½ S3 =½  S12 =1 S3 =½ + S12 =0 S3 =½  S = 3/2 o ½S + S = ½A 14-Ott-13

Rappresentazioni di SU(3) Rappresentazione fondamentale (dim. 3): 2 oggetti : |χ1> , |χ2> |χ1> |χ2> scambio 1 <-> 2 u uu d 1/√2 (ud+du) 1/√2 (ud-du) dd s 1/√2 (us+su) 1/√2 (us-su) 1/√2 (ds+sd) 1/√2 (ds-sd) ss S A − stati A sono 3 perché Y ud Consideriamo adesso SU(3), quindi stati di tripletto perché rappresentazione fondamentale ha dim.3. Ne prendiamo 2 di stati così. Le combinazioni possibili sono elencate in tabella: 6 stati simmetrici e 3 antisimmetrici. Notazione spettroscopica di gruppo indicata. Gli stati A sono un antitripletto perché plottati su spazio (I3,Y) formano stessa struttura di (ubar, dbar, sbar), rovesciata rispetto a quella di (u,d,s). Simbolo. I3 ds us 14-Ott-13

3 oggetti : |χ1> , |χ2> , |χ3> |χ1>|χ2>|χ3> scambio 1  2 spettro uuu Δ++ uud, udu, duu 1/√3 (uud+udu+duu) 1/√6 [ (ud+du)u-2uud ] 1/√2 (ud-du)u Δ+(S) p(M) udd, dud, ddu 1/√3 (udd+dud+ddu) -1/√6 [ (ud+du)d-2ddu ] 1/√2 (ud-du)d Δ0(S) n(M) ddd Δ- uus, usu, suu 1/√3 (uus+usu+suu) 1/√6 [ (us+su)u-2uus ] 1/√2 (us-su)u Σ*+(S) Σ+(M) uds 1/√6 (uds+usd+dus +sud+dsu+sdu) 1/2√3 [s(du+ud) + usd+dsu-2(du+ud)s ] 1/2 [ (usd+dsu) - s(ud+du) ] 1/√6 [ s(du-ud) + usd–dsu + (du-ud)s ] Σ*0(S) Σ0(M) Λ1405(A) Λ0(M) 1/2 [ (dsu-usd) + s(ud-du) ] 1/2√3 [s(du-ud) + usd-dsu-2(du-ud)s ] dds, dsd, sdd 1/√3 (dds+dsd+sdd) 1/√6 [ (ds+sd)d-2dds ] 1/√2 (ds-sd)d Σ*-(S) Σ-(M) ssu, sus, uss 1/√3 (ssu+sus+uss) -1/√6 [ (us+su)s-2ssu ] 1/√2 (us-su)s Ξ*0(S) Ξ0(M) ssd, sds, dss 1/√3 (ssd+sds+dss) -1/√6 [ (ds+sd)s-2ssd ] 1/√2 (ds-sd)s Ξ*-(S) Ξ-(M) sss Ω-(S) S MS MA A Osservazioni: avere dim.3, quindi 3 stati diversi u≠d≠s genera stato A, che era assente in dim.2 di SU(2) simmetria dello stato permette di associare 11 stato con particella nello spettro, rompendo degenerazione in tab. di lez. 2 - slide 10 simbolo identificazione barioni={qqq} con sapore di q governato da SU(3)f permette di riprodurre multipletti osservati varie simmetrie nello spettro: partendo da p, u->d porta a n, d->s porta a Σ+, u->s porta a Ξ-; analogamente da n, d->s porta a Ξ0, u->s porta a Σ-; etc.. in Σ0 la coppia (u,d) ha I=1, essendo in stato simmetrico, mentre in Λ0 ha I=0 perché in stato antisimmetrico. 14-Ott-13