1 Un consiglio comunale vuole posizionare un palo della luce in un parco pubblico di forma triangolare in modo che il parco sia illuminato in modo omogeneo. In quale punto è meglio che posizioni il palo della luce?

2 Impiegare concetti, fatti, procedure e ragionamenti matematici ( employ ) Capacità di un individuo di applicare concetti, fatti,procedure e ragionamenti per risolvere problemi matematici al fine di ottenere conclusioni matematiche.

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4 Interpretare, applicare e valutare risultati matematici ( interpret ) Capacità di un individuo di riflettere su soluzioni, risultati e conclusioni matematiche e interpretarle alla luce del contesto dei problemi di vita reale. Questo comprende anche il saper tradurre le soluzioni o i ragionamenti ritornando al contesto del problema e determinare se i risultati hanno senso in quel determinato contesto. Nell’ambito di una ricerca sull’ambiente, gli studenti hanno raccolto informazioni sui tempi di decomposizione di diversi tipi di rifiuti che la gente butta via: Tipo di rifiuto Tempo di decomposizione Buccia di banana1–3 anni Buccia d’arancia1–3 anni Scatole di cartone0,5 anni Gomma da masticare20–25 anni GiornaliPochi giorni Bicchieri di plasticaOltre 100 anni Uno studente prevede di presentare i risultati con un diagramma a colonne. Scrivi un motivo per cui un diagramma a colonne non è adatto per rappresentare questi dati. RIFIUTI

5 Livello intermedio Livello basso

6 Livello alto

7 Conoscere: conoscere concetti, algoritmi, procedure e farne un uso consapevole. STRUTTURA del Quadro di Riferimento

8 Risolvere problemi: risolvere problemi riferibili sia ad aspetti interni alla matematica sia ad aspetti applicativi STRUTTURA del Quadro di Riferimento

9 Argomentare: Produrre, verificare e giustificare affermazioni, in modo formale o non formale STRUTTURA del Quadro di Riferimento

10 Ambito: Spazio e figure Dimensione: Argomentare Traguardo Indicazioni nazionali Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici

11 IL TEOREMA DI PITAGORA Dal libro di testo ……

12 III secondaria di I grado % 10,2% 72,3% 5,3% Corrette 50,6% - Errate 28% - Parz. Corrette 17,5% …… Alle prove INVALSI

13 III secondaria di I grado ,3% 45,0% 32,9% 12,9%

14 III secondaria di I grado ,6% 13,9% 54,7% 20,3%

15 II secondaria di II grado % CORRETTE 28% ERRATE 43% OMESSE

16 Un esempio di analisi di un item di Matematica in sede di pre-test (III Sec. I grado 2013 – Item D24)

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18 A. □ B. □ C. □ D. □ A18.Osserva la figura F. Quale delle seguenti figure non ha lo stesso perimetro della figura F?

19 32,4% 17,5% 25,4% 15,2% Difficoltà: 1,35 (seconda in ordine di difficoltà)

20 Analisi delle risposte aperte degli studenti

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26 PN 2011 Liv. 8 Omisscorrettaerrata 19,629,051,4 2224,953,1 Lo studente deve misurare, eventualmente tracciandola, l’altezza relativa ad uno dei lati (si noti che in questo caso due delle altezze sono esterne al triangolo), e poi effettuare calcoli con numeri decimali.

27 ESEMPI DALLE CLASSI La risposta è corretta, l’altezza disegnata è quella interna al triangolo

28 ESEMPI DALLE CLASSI Il segmento considerato NON è l’altezza del lato AB

29 ESEMPI DALLE CLASSI Lo studente moltiplica I due lati AB e AC

30 ESEMPI DALLE CLASSI Scatta il meccanismo “triangolo allora Pitagora”

31 ESEMPI DALLE CLASSI Scatta il meccanismo “triangolo alloraPitagora” Su 120 fascicoli analizzati (5 classi) NESSUNO disegna e considera le altezze esterne al triangolo!

32 Omisscorrettaerrata 30,18,061,9 PN 2015 Liv. 8

33 Tutto corretto fino a qua ESEMPI DALLE CLASSI

34 L’immancabile TdP ESEMPI DALLE CLASSI

35 Il calcolo del m.c.m.: sempre per tentativi, nessuno studente che abbia usato la scomposizione in fattori primi Corrette 29,3 Errate 47,4 Omesse 23,2

36 Analisi delle risposte aperte degli studenti 80% risposte errate 14%risposte corrette

37 Alcune risposte degli studenti Giulio ha ragione perché già si capisce dalla parola, ma anche perché l’unità di misura è di 1 cm Giulio ha ragione perché se un lato dell’ottagono è di 1 cm, l’ottagono ha 8 lati, quindi è di 8 cm Giulio ha ragione perché i lati sono 8 e sono tutti uguali Giulio ha ragione perché il lato di ogni quadrato è di 1 cm e dato che le diagonali misurano come il lato il perimetro di 8 cm Giulio ha ragione perché ha 8 lati e ogni lato misura 1 cm (anche i lati che tagliano il quadratino come una diagonale, perché essendo un quadrato misura uguale) Giulio ha ragione perché visto che il quadrato è uguale di diagonale basta vedere i suoi bordi quanti quadretti sono Giulio ha ragione perché anche i pezzetti tagliati a metà sono 1 cm

38 Lo scopo della domanda e la % di risposte corrette 48% risposte errate 43%risposte corrette 14,8% 16,7% 19,6% 44,1%

39 La risposta è corretta: siamo soddisfatti?

40 Prove in continuità Il primaria 2008/09

41 Prove in continuità V primaria 2008/09

42 V primaria 40% corrette 48% errate I secondaria di I grado 9% corrette 67% errate Prove in continuità

43 III secondaria di I grado 30% corrette 27% omesse Prove in continuità

44 V primaria II primaria 78% Corrette Risposta corretta C 63% Corrette

45 - Conoscere e padroneggiare i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...) DEL CAMPIONE errata corretta Non risponde 57,9 35,7 6,1 AMBITO PREVALENTE: Numeri L’alunno deve interpretare correttamente il testo del problema e la consegna e calcolare quindi il doppio di 6.

46 Classe quinta primaria Risposta corretta: D7a: B 43,2% D7b: C 49.5% Il quesito richiede particolare attenzione alla consegna e implica una conoscenza sicura sul valore posizionale dei numeri decimali. AMBITO PREVALENTE: Numeri

47 - Conoscere e utilizzare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico,…) Classe prima secondaria di 1° grado Risposta corretta. D 14,1 % AMBITO PREVALENTE: Spazio e figure COMMENTO Il modo forse più semplice per risolvere questo quesito è scomporre il rettangolo in 4 triangoli

48 Classe terza sec.I grado Risposta corretta: F V V F AMBITO PREVALENTE: Numeri V F Non risponde E2a 24,5 74,0 1,4 E2b 91,3 7,8 0,8 E2c 56,6 42,0 1,1 E2d 15,0 83,6 1,3 COMMENTO Lo studente deve riconoscere le proprietà dell’operazione di radice quadrata. L’item c risulta per gli studenti il più complesso in quanto probabilmente non mettono in relazione l’operazione di radice quadrata con il suo inverso (elevamento al quadrato).

49 Classe seconda primaria Risposta corretta: F V F V V F D2a 52,8 46,8 D2b 78,3 21,4 D2c 4,3 95,2 D2d 68,1 31,9 AMBITO PREVALENTE: Dati e previsioni COMMENTO Per rispondere lo studente deve saper interpretare una rappresentazione grafica di insiemi. In particolare deve riconoscere che l’intersezione tra insiemi rappresenta gli alunni che hanno utilizzato più mezzi di trasporto

50 - Conoscere diverse forme di rappresentazione e passare da una all'altra (verbale, numerica, simbolica, grafica,...); Risposta corretta: B Risposte corrette 47,3% AMBITO PREVALENTE: Relazioni e funzioni COMMENTO Lo studente deve saper passare dal linguaggio verbale al linguaggio simbolico Una attività in classe su questo quesito potrebbe essere quella di tradurre in linguaggio verbale le risposte A, C e D e confrontarle con il testo della domanda.

51 - Risolvere problemi utilizzando strategie in ambiti diversi – numerico, geometrico, algebrico – Risposta corretta: B Risposte corrette:43,5 AMBITO PREVALENTE: Numeri COMMENTO L’alunno deve essere in grado di dare un senso ad un’addizione, abbinandola a una situazione problematica adatta.

52 - riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni,utilizzare strumenti di misura, misurare grandezze, stimare misure di grandezze (individuareunità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto,stimare una misura,…). Classe quinta primaria Risposta corretta: D Risposte corrette:53,4 AMBITO PREVALENTE: Relazioni e funzioni COMMENTO Il quesito richiede conoscenze e linguaggio specifici. Non è usuale la richiesta di individuare la scala utilizzata; in genere si propongono situazioni in cui è richiesto, data la scala, di calcolare le misure reali di un oggetto raffigurato o le misure della rappresentazione, dato l'oggetto

53 - Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare,argomentare, verificare, definire, generalizzare,...); Risposta corretta: B Risposte Corrette 61,5 % AMBITO PREVALENTE: Numeri Classe seconda primaria COMMENTO L’alunno deve individuare la regola che determina una sequenza di numeri, mettendo ogni numero della sequenza in relazione con il successivo.

54 - Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare,argomentare, verificare, definire, generalizzare,...); Classe terza secondaria di primo grado Risposta corretta: D AMBITO PREVALENTE: Relazioni e funzioni Risposta corretta: D Risposte corrette 57,1% COMMENTO:Lo studente deve scegliere una argomentazione corretta fra quattro date. Si tratta di interpretare una scrittura algebrica e di richiamare i concetti di pari/dispari e di successivose a è dispari, a+1, che è il successivo di a deve essere pari, pertanto il triplo di un pari è sempre pari. E’ in gioco l’interpretazione del significato di scritture algebriche.

55 - Utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativodell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere unfenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno in terminiquantitativi con strumenti statistici o funzioni, utilizzare modelli matematici per descrivere interpretare situazioni e fenomeni,...). Classe quinta primaria Risposta corretta: D Risposte corrette 55,2 % AMBITO PREVALENTE: Dati e previsioni COMMENTO Il quesito richiede conoscenza delle misure di tempo e correttezza nel calcolo. Lo studente deve operare con misure di tempo, può fare una sottrazione oppure può impiegare altre strategie, ad esempio aggiungere ore e minuti all’orario di partenza fino a raggiungere l’orario di arrivo.

56 - Riconoscere le forme nello spazio e utilizzarle per la risoluzione di problemigeometrici o di modellizzazione (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuarerelazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali apartire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, …). Classe seconda primaria Risposta corretta: A e D Risposte corrette :54,9 % AMBITO PREVALENTE: Spazio e figure COMMENTO L’alunno deve riconoscere le due parti simmetriche di una figura per poterla ricostruire correttamente

57 - Riconoscere le forme nello spazio e utilizzarle per la risoluzione di problemigeometrici o di modellizzazione (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuarerelazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali apartire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, …). Classe terza secondari di secondo grado Risposta corretta E12a 25 risposte corrette: 60,8% E12b - Nella risposta deve essere esplicitato che il segmento DC è uguale al raggio. Esempi di risposte corrette:  DC è un raggio  CB è uguale al raggio e forma un triangolo equilatero COB e quindi DC è anche lui uguale al raggio Risposte corrette 42,0 % AMBITO PREVALENTE: Spazio e figure COMMENTO Lo studente deve “vedere” il trapezio ABCD unendo fisicamente o virtualmente gli i punti D e C.

58 Riconoscere le forme nello spazio e utilizzarle per la risoluzione di problemi geometrici o di modellizzazione Risposta corretta C 67% risposte sbagliate

59 Conoscere diverse forme di rappresentazione e passare da una all'altra (verbale, numerica, simbolica, grafica,...) 59% corretta C

60 : Conoscere diverse forme di rappresentazione e passare da una all'altra (verbale, numerica, simbolica, grafica,...) /0 % correyte

61 Risposta esatta: B 77,9 corrette

62 58,1 % corretta

63 A 62%

64 Contenuto : Relazioni eFunzioni D 52%

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67 Risultati grafG 82% errata corretta Non risponde D2b 10,0 85,6 4,3 D2c 12,4 83,1 4,4 D2d 19,4 47,8 32,1 D2e 41,0 12,9 45,4 I problemi si evidenziano quando si tratta di passare al registro simbolico (item d.); le risposte corrette quasi si dimezzano: solo il 47.8% degli studenti riesce a formulare le due espressioni algebriche c = g, c = 30g e addirittura il 32.1% degli studenti non risponde