POLIEDRI Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali Formula di Eulero (1707 – 1783) V + F.

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1 POLIEDRI Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali Formula di Eulero (1707 – 1783) V + F – S = 2 (V: num. dei vertici, F: n. delle facce, S: n. degli spigoli) Un poliedro si dice regolare se tutti i poligoni sono regolari e tutti gli angoloidi sono uguali Che cos’è la matematica pg355 pol. semplice = non ha “buchi” La formula di Eulero è valida per poliedri “semplici” , cioè poliedri la cui superficie può essere trasformata per deformazione continua nella superficie di una sfera

2 n•F =2•S (ogni spigolo appartiene a due facce)
Servendosi della formula di Eulero, si trova che non esistono più di cinque poliedri regolari Infatti Supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna delle quali sia un poligono regolare di n (n ≥ 3) lati e che a ciascun vertice si incontrino r (r ≥ 3) spigoli n•F =2•S (ogni spigolo appartiene a due facce) e inoltre r•V = 2•S (ogni spigolo contiene due vertici) da cui •S 2•S _ S (*) 1/n + 1/r = 1/2 + 1/S ma n ed r non possono essere entrambi maggiori di 3 altrimenti la formula (*) non è valida per ogni valore positivo di S allora se r = 3, i valori che può assumere n sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, cubo, dodecaedro) se n = 3, i valori che può assumere r sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, ottaedro, icosaedro) Che cos’è la Mate pg.360 = + r n

3 “Non entri nessuno che sia ignorante di geometria”
I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici ) tetraedro esaedro o cubo ottaedro dodecaedro icosaedro Platone ateniese B,C. Sulla porta d’ingresso della scuola di Platone era scritto “Non entri nessuno che sia ignorante di geometria”

4 L’angoloide in V diminuisce
L’angoloide in V aumenta V L’angoloide in V “si schiaccia” sul piano α β γ La somma degli angoli che delimitano un angoloide deve essere minore di 360°

5 Tre triangoli equilateri concorrono in un vertice
3• 60° = 180° Tre quadrati concorrono in un vertice 3• 90° = 270° Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4• 60° = 240°

6 Tre pentagoni regolari concorrono in un vertice
3• 108° = 240° Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4• 60° = 240°

7 Poligoni: somma degli angoli esterni di un poligono
Facciamo una semplice osservazione: se cammino attorno ad un edificio di forma poligonale, mi ritrovo alla fine al punto di partenza

8 Un modo dinamico per vedere la somma degli angoli interni di un triangolo

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10 Tassellatura di Penrose
Da il turista matematico