Andando in qua e là : introduzione al concetto di struttura Liceo Scientifico G. Galilei 6 febbraio 2013.

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1 Andando in qua e là : introduzione al concetto di struttura Liceo Scientifico G. Galilei 6 febbraio 2013

2 Giochi di Archimede ---- 2006 PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova il ragno?

3 PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova il ragno? O al quinto minuto: 50 cm a est al sesto minuto: 60 cm a nord...... Est Nord Ovest Sud REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.

4 Tirare a indovinare Forza bruta Metodo matematico MENONE: Differenza fra retta opinione e Scienza Platone PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova il ragno? METODI

5 O REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm. idee? ciclo Alla fine di ogni ciclo di 4 minuti, il ragno ha percorso 20 cm a sud e 20 cm a ovest = 4 movimenti (cioè 4 minuti) Metodo matematico

6 Soluzione 1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est). 2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza. 3) Nellultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est 4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O 5) La distanza di P da O è:

7 A R R I V E D E R C I ALT! Dobbiamo ancora capire bene cosa abbiamo fatto Un ottimo modo per vedere se abbiamo capito è affrontare variazioni sul tema

8 Soluzione 1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est). 2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza. 3) Nellultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est 4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O 5) La distanza di P da O è:

9 DIMOSTRAZIONE In ogni ciclo il ragno fa x cm verso Est, x + 10 cm verso Nord, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud. x cm verso Est = - x cm verso Ovest x + 10 cm verso Nord = - x - 10 cm verso Sud In ogni ciclo il ragno fa - x cm verso Ovest, - x - 10 cm verso Sud, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud. quindi il ragno fa - x + x + 20 = 20 cm verso Ovest e - x – 10 + x + 30 = 20 cm verso Sud. Soluzione 1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est). 2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza. ?

10 O Nord A1 A4 A5 A2 A3 A6 A1 = (10, 0) O = (0, 0) A2 = (10, 20) A3 = (- 20, 20) A4 = (- 20, - 20) A5 = (30, - 20) A6 = (30, 40) x = y = 0 10 10 -20 -20 30 30 0 0 20 20 -20 -20 40 Quali numeri secondo logica aggiungeresti? -40 40 -40 dimostrazione

11 y =0 0 20 20 -20 -20 40 40 -40 x = 0 10 10 -20 -20 30 30-40 x = 0 10 -20 30-40 10 -30 50 -70 y =0 20 -20 40 -40 20 -40 60 -80 REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm. REGOLA al passo N il ragno fa: se N è pari, n = 2m + 2 se N è dispari, n = 2m + 1 verso Est (20m+10) verso Nord (20m+20)

12 REGOLA al passo N il ragno fa: se N è pari, n=2m + 2 se N è dispari, n=2m + 1 verso Est (20m+10) verso Nord (20m+20) formula aperta descrizione analitica descrizione locale ciò che otteniamo dagli esperimenti nello spazio e nel tempo vento pressione temperatura variazione del vento variazione di pressione variazione di temperatura... previsione esempioesempio meteo

13 Come ottenere una visione globale? lungo x 10 0 -30 0 50 0 -70 0 90... dopo N passi? 10 - 30 + 50 - 70 + 90... (10 - 30) +(50 - 70) +(90... (- 20) + (- 20) +... serie numerica si scrive m = 2 a + b b = 0, 1 se b = 0 (cioè m è pari), la somma è -20 a se b = 1 (cioè m è dispari), la somma è -20 a + 20 m = 20 a + 10 in un colpo solo, la somma è (-1) b+1 20 a + 10 b... m si ottiene da N scrivendo N = 2m – r r = 0,1

14 REGOLA dopo N minuti il ragno è: x = (-1) b+1 (20 u) + 10 b N = 4 u + w w = -1, 0, 1, 2 b = INT(w+1)/2 formula chiusa descrizione algebrica descrizione globale y = (-1) b+1 (40 u) + 20 b N = 4 u + w w = 0, 1, 2, 3 b = |INT(w-1)/2| ?????

15 REGOLA al passo N il ragno fa: se N è pari, n=2m + 2 se N è dispari, n=2m + 1 verso Est (10m+10) verso Nord (20m+20) descrizione analitica descrizione algebrica REGOLA dopo N minuti il ragno è: x = (-1) b+1 (20 u) + 10 b N = 4 u + w w = -1, 0, 1, 2 b = INT(w+1)/2 y = (-1) b+1 (20 u) + 20 b N = 4 u + w w = 0, 1, 2, 3 b = |INT(w-1)/2| DUALITA

16 descrizione analitica descrizione algebrica DUALITA descrizione locale ciò che otteniamo dagli esperimenti nello spazio e nel tempo più facile da ricavare descrizione globale ciò che otteniamo dalla elaborazione nello spazio e nel tempo più facile da usare

17 REGOLA dopo N minuti il ragno è: x = (-1) b+1 (20 u) + 10 b N = 4 u + w w = -1, 0, 1, 2 b = INT(w+1)/2 y = (-1) b+1 (20 u) + 20 b N = 4 u + w w = 0, 1, 2, 3 b = |INT(w-1)/2| PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova il ragno? ogni minuto la distanza percorsa aumenta di 10 cm. prima variazione sul tema e se invece aumentasse di 20 cm? o di 5 cm? o di 4,8123 cm? o di π cm? o (in generale) di k cm? 2k k

18 PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via. e se invece ogni minuto la distanza percorsa raddoppiasse? seconda variazione sul tema movimenti lungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0... ( tralasciando gli zeri ) serie di potenze a segni alterni - 3- 48 - 768 - 3 x 1- 3 x 16 - 3 x 16 2... ciclo ma questa come si somma?

19 a = 1somma di m volte 1m a = 2 1 + 3 + 9 + 27 +.... + 3 m 2 m+1 - 1 sistema binario 1 1 1.... 1 1 1+ 1 1 0 0.... 0 0 0 02 m+1 a = 3 1 + 2 + 4 + 8 +.... + 2 m sistema ternario 1 1 1.... 1 1 1 + + 1 1 0 0.... 0 0 0 03 m+1 3 m+1 - 1 2

20 1 + 16 + 256 +.... + 16 m = a = 16 sistema esadecimale 0123456789ABCDEF 1 1 1.... 1 1 1 E E E.... E E E+ + 1 1 0 0.... 0 0 0 0 16 m+1 a m+1 - 1 a-1 = 16 m+1 - 1 15 PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via. movimenti lungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0... dopo m cicli = - 16 m+1 - 1 15 ecc.

21 PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via. e se invece ogni minuto la distanza percorsa dimezzasse? terza variazione sul tema O

22 PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via. movimenti lungo x = 1 0 -1/4 0 1/16 0 -1/64 0 1/256 0 -1/1024 0... 3/43/64 3/1024 ciclo = 16 m+1 - 1 15 x (3/4) a = 1/16 a m+1 - 1 a-1 (3/4) = 16 m dopo m cicli movimenti lungo y = 16 m+1 - 1 15 x (3/8) 16 m dopo m cicli = ecc. dopo 2013 minuti?

23 PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via. 16 m+1 - 1 15 x (3/4) ( = 16 m posizione del ragno dopo m cicli 16 m+1 - 1 15 x (3/8) 16 m, dopo 4m minuti. ) O e dopo infiniti minuti? 16 m+1 - 1 15 x (3/4) ( 16 m 16 m+1 - 1 15 x (3/8) 16 m, ) = 4 5 (, 2 5 ) 4/5 2/5 punto limite

24 16 m+1 - 1 15 x (3/4) ( 16 m 16 m+1 - 1 15 x (3/8) 16 m, ) e dopo infiniti minuti? un momento!! m è il numero dei cicli, non dei minuti movimenti lungo x = 1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 +... = (1 + 0 -1/4 + 0) + (1/16 + 0 -1/64 + 0) + (1/256 + 0 -1/1024 + 0) +... se ho un numero finito di addendi, ok (proprietà associativa) ma se il numero di addendi è infinito? 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1... (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)... = 0 + 0 + 0 + 0... 0 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) +... = 1 + 0 + 0 + 0... 1 la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.

25 (cioè il passaggio dai singoli passi ai cicli) 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1... qui fallisce 1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 +... qui non fallisce ARCHIMEDE raggiunse grandi traguardi perché aveva la capacità innata di utilizzare correttamente i procedimenti di somma di infinite quantità, ciascuna infinitesima. I filosofi medioevali non avevano tecniche per comprendere i procedimenti di somme infinite e mancando loro la sensibilità di Archimede, non potevano utilizzarle, pena la comparsa di paradossi (come 1 = 0). Solo con NEWTON e LEIBNIZ furono poste le basi moderne per il calcolo infinitesimo

26 F = m a d 2 s/dt 2 descrizione analitica descrizione globale

27 quarta variazione sul tema PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via. ??? PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno? O

28 O variazioni ogni punto è definito da 3 coordinate. (1, 0, 0) (1, 2, 3) (1, 2, 0) (-3, 2, 3)(-3, -3, 3) (0, 0, 0)(-3, -3, -3) e così via il ciclo è composto da 6 passi. soluz = (1006, 1007, 1008) (1, 2, 3)

29 O in dimensione 4 ogni punto è definito da 4 coordinate. il ciclo è composto da 8 passi. e perché non salire ancora di dimensione? (0, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 0) (1, 2, 0, 0) (1, 2, 3, 0) (1, 2, 3, 4) (-4, 2, 3, 4) (-4, -4, 3, 4) (-4, -4, -4, 4) (-4, -4, -4, -4)... ma lesercizio può essere risolto! solo calcoli. no disegno

30 ogni punto è definito da 4 coordinate. e perché non salire ancora di dimensione? (0, 0, 0, 0) dimensione = numero di coordinate Arthur Clarke 2001: Odissea nello spazio... Come era ovvio, come era necessario il rapporto dei lati del monolito, la sequenza 1 : 4 : 9! E quale ingenuità avere immaginato che la sequenza terminasse a quel punto, con appena 3 dimensioni!...

31 ma torniamo un attimo sul pianeta Terra... Cosa succede se facciamo muovere il ragno sulla superficie (curva) terrestre? aereo

32 PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 1000 km verso est, poi 2000 km verso nord, poi 3000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud. E così via. Dopo 2013 passi, a che distanza dal punto O si trova laereo? PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 4000 km verso est, poi 4000 km verso nord, poi 4000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud. A che distanza dal punto O si trova ora laereo? sul piano è chiaro: al punto di partenza ma sulla superficie sferica NO Geometria non-Euclidea

33 Un esploratore cammina 1 km verso sud, 1 km verso est, 1 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza. Vede un orso e lo cattura. Di che colore è lorso? W W PROBLEMA DEGLI ORSI : polo nord

34 punto di partenza? angolo w AB = R sen(w) 2πR sen(w) = 1 w = arcsen(1/(2πR)) arco d d = wR = R arcsen(1/(2πR))) punto di partenza 1 + R arcsen(1/(2πR)) = circa 1,16 Km dal polo A B polo sud P P PA = 1 km A = ? A il giro del mondo partendo da A è lungo un 1 km quanto dista A dal polo?

35 PROBLEMA DELLAEREO: Un aereo viaggia 1000 km verso est, 1000 km verso sud, 1000 km verso ovest, 1000 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza. Da dove è partito? punto di partenza? ESERCIZIO!

36 Cosa sono Nord Sud Est Ovest? ??? nord ovest

37 Il pianeta Ciambella nord ovest Liceo Scientifico Statale "Galileo Galilei" di Siena

38 "poesia della Matematica" ITALO CALVINO nato a Cuba 1923 morto a Siena 1985 Le città invisibili (1972) MARCO Di una città non godi le sette, o le settantasette meraviglie, ma la risposta che dà ad una tua domanda KAN O le domande che ti pone, costringendoti a rispondere. Come Tebe, per bocca della Sfinge.

39 Il CONCETTO di STRUTTURA O un ciclo è una struttura In tutti i problemi precedenti, il punto chiave consisteva nel riconoscere correttamente una struttura come ad esempio un ciclo

40 Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE saper riconoscere correttamente le strutture utili a risolvere un problema è compito fondamentale nella Matematica nella Fisica, nellIngegneria, nellInformatica, nellEconomia.... retta opinione vediamo alcuni esempi in cui la nostra percezione di struttura si comporta in modo distorto.

41 Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE PROBLEMA : Per raggiungere la sua mela, un lombrico deve salire 6 scalini. Ogni giorno sale 2 scalini, mentre ogni notte ne scende 1. Dopo quante giornate il lombrico raggiungerà la sua mela? 2 -1 2 -1 2 -1 2.... 1 1 1.... 6 giorni 2 1 3 2 4 3 5 4 6 giorno1 giorno2giorno3 giorno4giorno5

42 Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE 242+= + = += += 224 frutti +=

43 242+= + = 4 oggetti + = 2+=2 6 paia di calzini calzini ???4 12 paio di calzini calzini = mi raccomando 2 + 2 = 4

44 Grazie per lattenzione ciao

45 Le città invisibili (1972)... Il Kan cercava di immedesimarsi nel gioco, ma ora era il perchè del gioco a sfuggirgli. Quale era la posta? Allo scacco matto, sotto il piede del re sbalzato dal vincitore, non rimaneva che una casella vuota, un tassello di legno piallato: il nulla... Allora Marco parlò – La tua scacchiera, Sire, è intarsio di due legni: ebano e acero. Il tassello sul quale si fissa il tuo sguardo illuminato fu tagliato su uno strato del tronco che crebbe in un anno di siccità: vedi infatti come sono strette le fibre? Ecco un poro più grosso, indice di una malattia della pianta, che forse portò al suo abbattimento... – e continuava. Il Kan era stupito. La quantità di cose che si potevano leggere su un pezzetto di legno piallato lo sommergeva. E già Marco era venuto a parlare dei boschi di ebano, di zattere sui fiumi, e di approdi, e di donne alle finestre...