Un numero è primo se: è intero e maggiore di 1 è divisibile solo per se stesso e per 1 È un numero primo Infatti: 3 è intero; 3 > 1 3 è divisibile solo.

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2 Un numero è primo se: è intero e maggiore di 1 è divisibile solo per se stesso e per 1 È un numero primo Infatti: 3 è intero; 3 > 1 3 è divisibile solo per 3 e per 1

3 Un numero è composto se: è intero e maggiore di 1 oltre che per se stesso e per 1, è divisibile per altri numeri È un numero composto Infatti: 4 è intero; 4 > 1; 4 è divisibile, oltre che per 4 e per 1, anche per 2.

4 Tutti i numeri composti si possono scomporre in fattori primi. Per scomporre un numero dobbiamo: dividere il numero considerato per il suo più piccolo divisore primo; dividere il quoziente ottenuto per il suo più piccolo divisore primo; e così via finché si ha come quoziente 1. I divisori ottenuti sono fattori primi del numero considerato.

5 Numero dato → 1202 ←2 ← 1° divisore 1° quoziente → 602 ←2 ← 2° divisore 2° quoziente → 302 ←2 ← 3° divisore 3° quoziente → 153 ←3 ← 4° divisore 4° quoziente → 55 ←5 ← 5° divisore 1 Pertanto: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 Quando uno o più fattori si ripetono più volte li scriveremo sotto forma di potenza. Quindi: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2 3 ∙ 3 ∙ 5

6 Quando due o più numeri hanno divisori comuni, il più grande fra questi è detto massimo comun divisore (M.C.D.). Esempio: 8 è divisibile per 1 2 4 8 20 è divisibile per 1 2 4 5 10 20 M.C.D. (8; 20) = 4

7 Due o più numeri si dicono primi fra loro se hanno per divisore comune solo l’unità. 8 e 15 sono primi fra loro. Infatti: 8 è divisibile per 1 2 4 8 15 è divisibile per 1 3 5 15 M.C.D. (8; 15) = 1

8 Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri naturali bisogna: scomporre i numeri in fattori primi; moltiplicare fra loro i fattori primi comuni, presi ciascuno una sola volta con l’esponente più basso. 182 93 33 1 242 122 62 33 1 18 = 2 ∙ 3 2 24 = 2 3 ∙ 3 M.C.D. (18; 24) = 2 ∙ 3 = 6

9 Il minimo comune multiplo (m.c.m) è il più piccolo tra i multipli comuni di due o più numeri naturali. 8 {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 … } 20 {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140…} m.c.m. (8; 20) = 40

10 Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri naturali bisogna: scomporre i numeri in fattori primi; moltiplicare tra loro i fattori primi comuni e non comuni, presi ciascuno un sola volta con l’esponente più alto. 182 93 33 1 18 = 2 ∙ 3 2 28 = 2 2 ∙ 7 m.c.m. (18; 28) = 2 2 ∙ 3 2 ∙ 7 = 252 282 142 77 1

11 M.C.D. e m.c.m. nella risoluzione di problemi… Gli ingranaggi di una macchina I tre ingranaggi A, B, C della figura hanno rispettivamente 30, 10, 50 denti ciascuno. Di quanti giri deve girare ciascuna ruota perché la struttura ritorni esattamente nella configurazione di partenza?

12 Risolviamo… Affinché la struttura ritorni nella configurazione di partenza ogni ruota dovrà essere girata di un numero di denti pari al minimo comune multiplo del numero di denti delle tre ruote. Per calcolare il m.c.m. di 30, 10, 50 dobbiamo prima scomporre i numeri: 302 153 55 1 102 55 1 502 255 55 1 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 10 = 2 ∙ 5 50 = 2 ∙ 5 2 m.c.m. (30; 10; 50) = 2∙3∙5 2 = 150

13 Le ruote avranno girato per 150 denti quindi avranno percorso: ruota A 150 : 30 = 5 giri ruota B 150 : 10 = 15 giri ruota C 150 : 50 = 3 giri