1 Sovrapposizione di onde la somma di onde produce vari tipi di fenomeni Battimenti : somma di onde progressive/regressive con pulsazione e lunghezza d’onda.

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1 1 Sovrapposizione di onde la somma di onde produce vari tipi di fenomeni Battimenti : somma di onde progressive/regressive con pulsazione e lunghezza d’onda leggermente diverse tra loro Interferenza : somma di onde progressive/regressive con la stessa pulsazione, con la stessa lunghezza d’onda, ma con una differenza di fase costante nel tempo Onde stazionarie : somma di onde progressive e regressive che si propagano nello stesso mezzo Diffrazione: comportamento delle onde in presenza di fenditure o di ostacoli Onde evanescenti: comportamento delle onde in presenza di riflessione totale su di una discontinuita’ nella propagazione dell’onda dovuta alla interfaccia di separazione tra due mezzi diversi

2 A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli un onda evanescente e’ un’onda stazionaria di “campo vicino” caratterizzata dal fatto che presenta una interfaccia di separazione tra i due mezzi, dove l’onda e’ generata e anche la presenza di onde evanescenti e’ una manifestazione caratteristica dei fenomeni ondulatori e puo’ manifestarsi in qualunque contesto sia possibile descrivere il fenomeno come ondulatorio queste onde si manifestano alla superficie di interfaccia tra due mezzi diversi e sono presenti per lo piu’ ad una distanza dall’interfaccia che non supera un terzo della lunghezza d’onda della radiazione incidente e in particolare anche in meccanica quantistica (effetto tunnel) quindi non solo in ottica, in elettromagnetismo, ma anche in acustica, nel caso di onde su di una corda tesa ampiezza decrescente esponenzialmente con la distanza dalla sorgente, antenna e/o in ottica ed in acustica le onde evanescenti si formano quando un’onda che viaggia in un determinato mezzo superiore all’angolo critico diverso e questo avviene quando l’onda incide sulla superficie di separazione tra i due mezzi con un angolo subisce riflessione totale nel passaggio dal primo mezzo ad un secondo mezzo con indice di rifrazione battimenti, onde stazionarie, interferenza e diffrazione sono tutte caratteristiche dei fenomeni ondulatori

3 se si passa da un mezzo meno denso ad un mezzo piu’ denso se si passa da un mezzo piu’ denso ad un mezzo meno denso angolo limite Riflessione totale

4 A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli la motivazione fisica della presenza delle onde evanescenti e’ che l’ ampiezza dei campi elettromagnetici, o delle onde di pressione nel caso di onde acustiche,devono essere continue all’ interfaccia di separazione tra due mezzi nel caso di riflessione totale non sarebbe rispettata la condizione di continuita’ della perturbazione l’equazione di Shroedinger rappresentante il moto nella direzione perpendicolare alla interfaccia di separazione non puo’ essere discontinua nell’interfaccia stessa e se non fossero presenti onde evanescenti nell’interfaccia di separazione

5 A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli interfaccia onda rifratta onda evanescente la porzione di onda riflessa totalmente non e’ stata qui raffigurata

6 6 Battimenti ponendo: si e’ ottenuta un’onda la cui ampiezza non e’ piu’ costante ma “modulata” e si ha dalla identita’ trigonometrica: riesce esempio: somma di due onde armoniche piane progressive con la stessa ampiezza e con fase iniziale nulla e

7 7 Vai al Physlet Battimenti 2  la modulazione dell’ampiezza si propaga con la velocita’ contemporaneamente, si ha la propagazione di un’onda armonica, detta “portante” che si propaga con velocita’ di fase o, passando agli infinitesimi, Vai al Physlet “ Suono Battimenti”  vai al Physlet Battimenti  f(x,t) = 2cos(  x   t) http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/JavaSounddemos/beats.htm http://surendranath.tripod.com/Applets.html http://www.falstad.com/mathphysics.html

8 8 V g e’ detta velocita’ di gruppo ed e’ la velocita’ con cui si propaga l’ inviluppo delle onde o “pacchetto d’onda” alla somma di un gran numero di onde si da’ il nome di “ pacchetto d’onda” vale la relazione

9 9 sfruttando l’identita’ trigonometrica esempio : onda stazionaria su di una corda tesa la corda sia fissata a due estremi, ad x = 0 e x = L supponendo che : l ’onda che si propaga lungo la corda una volta arrivata all’ estremo x = L si rifletta invertita rispetto all’onda incidente, ma con la stessa ampiezza l’onda incidente e quella riflessa siano onde piane armoniche, dunque che l’onda incidente che giunge in x=0 sia del tipo Asin(  t+kx) e l’onda riflessa in x = 0 sia del tipo -Asin(  t-kx) la perturbazione totale in un punto generico della corda sara’ in generale le onde stazionarie nascono dalla sovrapposizione di onde progressive e regressive aventi uguali pulsazione e lunghezza d’onda Onde armoniche stazionarie

10 10 non si tratta piu’ di un’ onda progressiva ma di un moto armonico semplice l’ampiezza e’ nulla nei punti detti nodi, e’ massima nei punti detti ventri si avra’ un nodo quando in termini di lunghezza d’onda si avra’ un nodo se quindi nei punti dove l’ampiezza del moto e’ si ha ampiezza nulla attenzione : modulato in ampiezza in conclusione: multiple intere di una singola lunghezza d’onda se si impone l’ ulteriore limitazione che si ha che ossia da cui  sono possibili solo alcune lunghezze d’onda ( condizione di quantizzazione ) oltre all’origine anche il punto x = L debba essere un nodo pari a

11 11 da e si ha una analoga relazione di quantizzazione per le frequenze dove si e’ scartata la soluzione banale n = 0 e’ detta “ frequenza fondamentale le frequenze, multiple intere della frequenza fondamentale, sono dette “ armoniche ” su di una corda tesa la velocita’ di propagazione delle onde e’ : quindi : per n = 0 si ha in dettaglio : etc. corrispondente alla situazione della corda tesa e ferma

12 12 se un’onda piana viaggia in una direzione qualsiasi dello spazio la si caratterizza con il vettore e direzione e verso coincidenti con quelli in cui si propaga la perturbazione di propagazioneun vettore che ha modulo pari a 2  / in un generico sistema di coordinate cartesiane si avra’ dunque una qualunque onda piana armonica progressiva avra espressione e quindi valgono le relazioni : Onde piane armoniche in piu’ dimensioni un onda piana che si propaga in una direzione qualunque nello spazio soddisfa alla equazione e

13 13 nota 2: il fronte d’onda puo’ essere sferico solo se il mezzo in cui si propagano le onde e’ omogeneo ed isotropo, ossia se la velocita’ di propagazione e’ la stessa in tutte le direzioni nota 3 : un fronte d’onda sferico non implica che anche l’intensita’ debba avere simmetria sferica l’intensita’ dipende dalla sorgente dell’onda piu’ che dal mezzo in cui l’onda si propaga e’ quindi possibile avere onde sferiche la cui intensita’ sia massima in certe direzioni delle spazio e minima altrove, pur essendo il fronte d’onda una sfera nota 1: non solo le onde piane sono soluzioni di questa equazione, ma anche le onde sferiche e cilindriche

14 14 Onde elastiche in una membrana tesa la tensione elastica su di una membrana tesa e’ la forza per unita’ di lunghezza equivalente alla tensione superficiale in un liquido la perturbazione consiste in un sollevamento rispetto al piano in cui giace la membrana all’equilibrio, di una area dS, ossia di una massa pari a  dS, dove  e’ la densita’ superficiale di massa e si puo’ dimostrare che la perturbazione la situazione e’ analoga a quella della corda tesa T T T T x y z sara’ soluzione dell’equazione

15 15 successivamente le riflessioni continueranno a ripetersi ma sempre con le stesse combinazioni di K x e K y quindi si ha che sulla membrana viaggeranno contemporanemente quattro perturbazioni e Onde stazionarie su membrana l’onda risultante sara’ la somma di queste quattro onde imponiamo ora che gli assi siano punti nodali, ossia che la perturbazione sia nulla ad ogni istante di tempo t sugli assi O la cui forma d’onda sara’ se si tende la membrana su di un telaio rigido di lati L 1 ed L 2 e si genera una perturbazione progressiva sulla membrana partendo dall’origine. l’onda si riflettera’ varie volte e in generale si avranno quattro onde possibili x y L1L1 L2L2 K x K y K x -K y -K x -K y -K x K y

16 16 se si impone che l’onda sia nulla ad ogni istante di tempo t sull’asse delle ordinate ( i cui punti sono definiti dalla x = 0 per ogni y ) raggruppando i termini simili affinche’ cio’ sia vero ad ogni istante di tempo dovra’ essere se si impone che l’onda sia nulla ad ogni istante di tempo t sull’asse delle ascisse si ha che dovra’ essere combinando queste quattro relazioni e ( dove i punti sono caratterizzati dalla y = 0 per ogni x) e la diviene e si procede in modo analogo a prima

17 17 raccogliendoe riarrangiando i termini e successivamente trasformando la differenza dei coseni in prodotto si perviene alla dove il segno negativo e’ irrilevante trattandosi di ampiezze applicando in ciascuna riga separatamente la formula di addizione questa formula e’ sbagliata per via di un cut & paste occorre riscriverla

18 18 imponendo l’ulteriore condizione che in x = L 1 e che in y = L 2 la perturbazione si annulli si hanno le condizioni: ogni vibrazione stazionaria della membrana e’ caratterizzata da due numeri interi n 1 ed n 2 da cui da si ricava la condizione di quantizzazione delle e dalla la condizione di quantizzazione della frequenza in conclusione :  vai al Physlet (2007)  http://www.falstad.com/membrane/j2/index.html

19 19 se un onda piana si propaga all’interno di una cavita’ a forma di parallelepipedo di lati L 1, L 2 ed L 3 rilettendosi perfettamente sulla sua superficie, le onde stazionarie che si potranno generare all’interno della cavita’ saranno caratterizzate da tre numeri interi n 1, n 2 ed n 3 Estensione a tre dimensioni ovvero, prendendo in considerazione le frequenze le condizioni di quantizzazione delle lunghezze d’onda divengono

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