I MONOMI: cosa sono? Supponiamo di avere 2 mele ; cosa significa? che abbiamo un numero (2) seguito dalla proprietà di essere mele; ecco questo e' un monomio,

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1 I MONOMI: cosa sono? Supponiamo di avere 2 mele ; cosa significa? che abbiamo un numero (2) seguito dalla proprietà di essere mele; ecco questo e' un monomio, cioè intuitivamente un monomio e' un numero seguito da una “proprietà”. In greco MONOS significa uno solo cioè noi consideriamo più cose come un tutto unico: 2a²b nb: il linguaggio utilizzato non è rigoroso ovvero non si tratta di una definizione in linguaggio matematico, ma rappresenta un possibile approccio da utilizzare con gli alunni per introdurre l’argomento dei monomi utilizzando il linguaggio naturale, per poi trattare l’argomento con il rigoroso ed inequivocabile linguaggio matematico.

2 I MONOMI: definizione “si dice monomio ogni espressione algebrica, numerica o letterale, che non contiene le operazioni di addizione e sottrazione” (Mariscotti, 1980; 2006). “si dice monomio ogni espressione letterale che non contiene addizioni algebriche” (Lepora, 1996). “Un insieme di numeri e lettere in cui non compaiono operazioni di addizione e sottrazione ma solamente di moltiplicazione e divisione” (http://www.ripmat.it/mate/a/ab/ab0.html).

3 Nel monomio si distinguono 3 parti: -3a 2 b 3 il segno - il numero 3 le lettere a 2 b 3 Intuitivamente possiamo dire che: sui segni si devono usare le regole studiate nei numeri interi relativi; sui numeri si devono usare le regole dei numeri razionali; sulle lettere si devono usare le regole delle potenze; Esempi di monomi: -3a e' un monomio 7ab e' un monomio ¾a³bc² e' un monomio ¼ - a non e' un monomio

4 Il fattore numerico si dice coefficiente del monomio e il prodotto dei fattori letterali si dice parte letterale del monomio. ESEMPIO: 3a 2 bc coefficiente 3 parte letterale a 2 bc “Un monomio si dice intero se in esso non compaiono lettere (con esponente intero positivo) come divisori; in caso contrario si chiama frazionario o fratto.” ESEMPIO MONOMI INTERI: 3a 2 bc 4/5 x 3 yz 2 -xy 2 z 3 ESEMPIO MONOMI FRAZIONARI: -3ab -2 = -3a/b 2

5 Se in un monomio figurano più fattori numerici o più volte la stessa lettera, la scrittura si semplifica. ESEMPIO: -5a 3 bc · (-2a 2 b 3 c 2 d 2 ) = -5 · (-2) a 3 a 2 bb 3 cc 2 d 2 = 10a 5 b 4 c 3 d 2 “Un monomio si dice ridotto a forma normale se contiene un solo fattore numerico, scritto al primo posto, e potenze letterali di basi tutte diverse tra loro” (Mariscotti, 2006). “Si dice monomio nullo un monomio che ha per coefficiente zero: 0ab, 0x 3 y 2 z, 0b” (Mariscotti, 1980). “Si dice monomio unità un monomio costituito dalla sola unità (positiva). Sono monomi unità: a 0 b 0 c 0, (-1) 2 a 0 b 0 c 0.” (Mariscotti, 1980).

6 Grado di un monomio “Si dice grado di un monomio rispetto a una lettera l’esponente con cui la lettera compare nel monomio”. “Si dice grado complessivo del monomio, la somma degli esponenti delle sue lettere” (Mariscotti, 2006). Ad esempio: 2abc ha grado3 mentre 2a³b²c ha grado 6 in totale perchè a³=aaa e' formato da tre lettere b²=bb e' formato da due lettere mentre c e' una lettera sola Quindi il monomio ha grado 3 rispetto alla lettera a grado 2 rispetto alla lettera b grado 1 rispetto alla lettera c in totale rispetto a tutte le lettere ha grado 6 Proviamo a scrivere 2 case e poi scriviamo 2 casse sono due cose diverse, perchè? evidentemente perchè i numeri due si riferiscono ad oggetti diversi, ma perchè sono diversi? perchè nel primo oggetto c'e' una lettera s in meno e nel secondo c'e' una lettera s in piu' quindi e' importante contare quante lettere fanno parte del monomio perchè quantità diverse di lettere rappresentano cose diverse cioe' ab² e' diverso da a²b.

7 Monomi simili “Due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale, cioè se essa è formata dalle stesse lettere rispettivamente con gli stessi esponenti.” (Mariscotti, 1980; 2006). “Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale”. (Lepora, 1996). “Due monomi si dicono opposti se sono simili e hanno per coefficienti due numeri opposti.” (Mariscotti, 1980, 2006; Lepora, 1996). “Due monomi si dicono uguali se sono simili e hanno un coefficiente uguale.” (Mariscotti, 1980; 2006)

8 Monomi simili ESEMPI MONOMI SIMILI: 2a³b²c -2/5a³b²c 3/4a³b²c ESEMPI MONOMI OPPOSTI: 2a³b²c e -2a³b²c -2/5a³b²c e 2/5a³b²c 3/4a³b²c e -3/4a³b²c ESEMPI MONOMI UGUALI: 2a³b²c e 2a³b²c 2/5a³b²c e 2/5a³b²c 3/4a³b²c e 3/4a³b²c OSSERVAZIONI I testi per il III anno della scuola secondaria di primo grado, sia i più superati che i più recenti consultati, non inseriscono durante questa prima parte dell ’ argomento molti esercizi di verifica, anche se, a parere della scrivente, questi sono necessari affinché l ’ alunno non abbia in seguito problemi affrontando esercizi su espressioni letterali sempre più complesse.

9 Esercizio 1 – verifica d ’ apprendimento e dell ’ uso del linguaggio obiettivi: raggiungere un buon livello dell ’ uso del linguaggio, saper distinguere le parti che compongono un monomio e un monomio opposto da uno uguale. difficoltà incontrate: entrare nell ’ ottica di ragionare non solo con i numeri ma anche con le lettere e rispettare allo stesso modo le regole che valgono per i numeri relativi (Z) e per le potenze.

10 Addizione tra due monomi Per capire le regole che guidano la somma fra monomi si pensi al seguente esempio: 2 mele + 3 banchi = (2 mele + 3 banchi) 2 mele + 3 mele = 5 mele si possono sommare fra loro degli oggetti solamente se sono dello stesso tipo, cioè se dopo il numero hai le stesse lettere. “ La somma di due o più monomi simili è il monomio simile a quelli dati, avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti” (Mariscotti, 1980, 2006). Lepora (1996) aggiunge alla definizione di cui sopra: “La somma algebrica di monomi non simili può solo essere indicata, scrivendo i monomi uno di seguito all’altro, ciascuno con il proprio segno”. ESEMPIO: 5X 2 + 6X 2 – 9X 2 = (5 + 6 – 9)X 2 = 2X 2 1/3ax 2 + 3x + 12ax – 2ax 2 + 5 = (1/3 – 2) ax 2 + 3x + 12ax +5 = 1 – 6/3 ax 2 + 3x + 12ax + 5 La somma di due monomi opposti è uguale a zero: -2/5a³b²c + 2/5a³b²c = 0

11 Sottrazione tra due monomi QUINDI D'ORA IN AVANTI QUANDO PARLEREMO DI SOMMA SI INTENDERA' LA SOMMA ALGEBRICA, Applicheremo cioè le regole valide per la sottrazione dei numeri relativi. Anche le denominazioni di minuendo, sottraendo e differenza restano immutate. PER LA DIFFERENZA LE REGOLE SONO LE STESSE CHE PER LA SOMMA INFATTI BASTERA' SOTTRARRE INVECE DI SOMMARE, QUINDI 5a³b²-2a³b²=3a³b² mentre 5a³b²-2a²b² resta così perchè i monomi non hanno la stessa parte letterale (le lettere sono le stesse ma non sono uguali le potenze)

12 Moltiplicazione di monomi Per indicare la moltiplicazione di due monomi, ad esempio: -3ab e -5bc Possiamo ricorrere a una delle seguenti scritture: (-3ab) · (-5bc); (-3ab) (-5bc); -3ab · (-5bc); -3ab · (-5bc) Dati i due monomi: 3a 3 b 2 e 2a 2 bc Il prodotto (+ 3a 3 b 2 ) · ( - 2a 2 bc) gode delle proprietà: Dissociativa = 3 · a 3 · b 2 ·(-2) · a 2 · b · c Commutativa = 3 · (-2) · a 3 · a 2 · b 2 · b · c Associativa = [3 · (-2) ] · (a 3 · a 2 ) · (b 2 · b) · c = -6 a 5 b 3 c “Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi dati e la cui parte letterale è formata da tutte le lettere che figurano nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta con esponente uguale alla somma degli esponenti che essa ha nei monomi” ESEMPIO: -3ab · (-6ax 2 ) = 18 a 2 bx 2 9a3 · 3a 2 b · (1/5 ax 2 ) = -27/5 a 6 bx 2 Il prodotto di monomi ha per grado la somma dei gradi dei singoli monomi fattori.

13 Elevamento a potenza di un monomio La potenza di un monomio è il prodotto di più fattori uguali a quel monomio. Ad esempio: (-2a 4 b 3 c 2 ) 3 = (-2a 4 b 3 c 2 ) · (-2a 4 b 3 c 2 ) · (-2a 4 b 3 c 2 ) = - 8 a 12 b 9 c 6 (abc) m = a m · b m · c m (a b ) c = a b·c “La potenza di un monomio si ottiene elevando a potenza sia il coefficiente sia ciascuna lettera della parte letterale” (Lepora, 1996).

14 Quoziente fra due monomi Consideriamo una divisione fra due monomi interi: 15a 5 b 3 x : 3a 3 by Il quoziente si può scrivere sotto forma di frazione che ha per numeratore il monomio dividendo e per denominatore il monomio divisore: 15a 5 b 3 x 3a 3 by Questo monomio potrà essere semplificato utilizzando le proprietà delle potenze che hanno la stessa base, ottenendo: 5a 2 b 2 y y Dall’esempio possiamo passare alla seguente regola: “Dati due monomi interi, il secondo dei quali sia diverso da zero, si dice che il primo è divisibile per il secondo se esiste un terzo monomio intero che, moltiplicato per il secondo, dà per prodotto il primo.” (Mariscotti, 1980, 2006). Nel dividendo devono figurare tutte le lettere del monomio divisore e le lettere del dividendo devono avere esponente maggiore o uguale a quello che hanno nel divisore. a m :a n = a m-n “ Il quoziente di due monomi interi si ottiene scrivendo la frazione che ha per numeratore il monomio dividendo e per denominatore il monomio divisore, ed eventualmente semplificandola”

15 Esercizi proposti Esercizi guidati; Esercizi guidati Esercizi di autovalutazione; Esercizi di autovalutazione Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento. Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento Gli esercizi sono suddivisi per verificare conoscenze, capacità e competenze in: Verifica delle conoscenze, con cui si valuta l’acquisizione degli argomenti trattati; Padronanza dei contenuti che permette di verificare la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite; Prova delle competenze che evidenzia il conseguimento di autonomia operativa e di rielaborazione individuale.

16 Esercizi guidati Obiettivi: aiutano l’allievo a conseguire capacità operative e di rielaborazione nell’ambito del nuovo argomento e permettono di verificare le conoscenze acquisite.

17 Esercizi di autovalutazione Obiettivi: verificare in itinere il grado di preparazio ne a cui è pervenuto poiché si concludon o con una indicazion e sul livello raggiunto.

18 Esercizi di recupero – verifica d ’ apprendimento Obiettivi: riprendere gli argomenti proposti nell’autovalutazione e sono uno strumento di rinforzo e di approfondimento poiché è la prima fase di applicazione personale degli alunni; sono quindi propedeutici agli esercizi successivi.