A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 1 Ingredienti per una nuova meccanica, quantistica – ondulatoria  nuove costanti universali: velocità.

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1 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 1 Ingredienti per una nuova meccanica, quantistica – ondulatoria  nuove costanti universali: velocità della luce c e costante di Plank h  quantizzazione; relazione tra energia e frequenza : E = h   relazione tra quantità di moto e lunghezza d’onda : p = h/  dualismo onda – particella  onda di materia associata alla probabilità di presenza di una particella in un punto dello spazio (tempo)  interazione tra stato osservato ed apparato di osservazione  osservabili collegate da un principio di indeterminazione  validità della fisica classica quando v << c e h  0 Meccanica Quantistica A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

2 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 2 Velocità di Gruppo - la velocità di propagazione dipende solo dalle caratteristiche del mezzo: elasticità, densità... (NB.: vero, a rigore, per mezzi non dispersivi ) - il mezzo, però, può reagire con diverse caratteristiche alle diverse frequenze con cui viene sollecitato: mezzo dispersivo. - in tal caso si avranno velocità di fase il che pone il problema se abbia senso chiedersi quale sia la velocità di un “gruppo” o “pacchetto” di onde in un mezzo dispersivo diverse per diverse frequenze, perché la relazione di dispersione-non è lineare A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli la risposta e’ si’, almeno in alcune situazioni

3 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Battimenti ponendo: si e’ ottenuta un’onda la cui ampiezza non e’ piu’ costante ma “modulata in ampiezza” e si ha sfruttando l’ identita’ trigonometrica: riesce esempio: somma di due onde armoniche piane progressive con la stessa ampiezza e con fase iniziale nulla e ovvero A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

4 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini la modulazione dell’ampiezza si propaga con la velocita’ contemporaneamente, si ha la propagazione di un’onda armonica, detta “portante” che si propaga con velocita’ di fase o, passando agli infinitesimi, V g e’ detta velocita’ di gruppo ed e’ la velocita’ con cui si propaga l’ inviluppo delle onde o “pacchetto d’onda” alla somma di un gran numero di onde si da’ il nome di “ pacchetto d’onda” vale la relazione A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

5 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 5 espressione che si riduce alla l’equazione si può interpretare come un’onda sinusoidale progressiva, che si propaga in particolare, se e v 1 = v 2 (  i = v k i,) mezzo non dispersivo invece se v 1  v 2 (  i = v i k i,) mezzo dispersivo v g = velocità della modulazione dell’ampiezza v g = velocita’ di gruppo onde armoniche di diversa ampiezza nel caso in cui le due onde armoniche abbiano uguale ampiezza e la cui ampiezza varia da punto a punto ed istantecon velocità di fase per istante secondo la legge A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

6 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 6 la velocità di gruppo è la velocità del punto in cui tutte le differenze di fase delle singole onde che lo compongono si mantengono nulle. consideriamo ora n onde monocromatiche con pulsazioni equidistanziate tra  1 e  2, fase iniziale nulla e uguale ampiezza, che si propagano nella stessa direzione relativamente ad un punto x 0 fissato, che supponiamo per semplicità coincidente con l'origine, tali onde possono essere rappresentate nel piano complesso da n vettori ruotanti con pulsazioni distanziate  : A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

7 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 7 all‘ istante iniziale gli n vettori saranno tutti sovrapposti e, quindi, l'ampiezza del risultante  sarà la massima possibile. Col passare del tempo i vettori si apriranno a ventaglio così che  ruoterà e diminuirà in lunghezza. si giungerà così all'istante t m,1 nel quale le punte degli n vettori occuperanno ciascuna uno dei vertici di un poligono regolare di n lati, così che l'angolo fra un vettore e il successivo sarà dato da … e sarà  = 0. Esempio: n = 4 A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

8 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 8 e' a questo punto facile rendersi conto che si avrà un risultante nullo in tutti gli istanti di tempo t m,l tali che l =1, 2, 3,…,n-1 la prima volta, dopo l'istante iniziale, che l'ampiezza di  tornerà ad essere massima sarà nell'istante nel quale gli n vettori saranno di nuovo sovrapposti; ciò capiterà quando l'angolo fra due vettori consecutivi sarà 2 , e cioè al tempo t M,1 tale che in funzione del tempo l’andamento di  apparirà circa come nel grafico, dove il parametro  t = t m,1 caratterizza la “larghezza” temporale del pacchetto e t M,1 la distanza temporale tra due pacchetti. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

9 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 9 conclusione dalla precedente analisi: si arriva inoltre alle importanti relazioni di indeterminazione tempo – energia e posizione – impulso. Principio di indeterminazione in modo del tutto analogo si può analizzare l’evoluzione di  nello spazio (in ogni dimensione) in un istante t = t 0 fissato e, con ovvio significato dei simboli, si arriva alla conclusione: Velocità di gruppo A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

10 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 10 Onde di materia proprietà delle Onde di Materia anche la materia è caratterizzata da una funzione d’onda con lunghezza d’onda, frequenza, velocità, ampiezza. la funzione d’onda è chiamata ampiezza di probabilità la funzione d’onda dovrà soddisfare l’equazione di D’Alembert: con soluzione, ad esempio, di onda piana monocromatica: A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

11 A.A. 2008-2009 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini quali relazioni tra le grandezze caratteristiche di onde e particelle? partiamo dall’energia di un fotone, e proviamo a generalizzarla per l’energia di una particella di massa m, tenendo conto della relatività ristretta: identifichiamo v con la velocità di gruppo del pacchetto d’onde associato alla particella: 11 NB.: assumere la costante h dei fotoni è una ipotesi, poi suffragata dagli esperimenti. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

12 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini alcuni modi di esprimere in funzione delle grandezze della particella in moto: due equazioni fondamentali: 12 A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

13 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Riassumendo: Meccanica Quantistica proprietà delle Onde di Materia ha energia concentrata  particella  Un oggetto massivo: è diffratto  onda  Le sue interazioni possono essere caratterizzate da entrambi gli aspetti (diffrazione e impatti localizzati).  L’onda associata ha un significato probabilistico:  La rappresentazione ondulatoria è inconciliabile con la individuazione di una traiettoria.  Stato dinamico di una particella   Stato dinamico di un’onda    Relazioni frequenza – energia, numero d’onda – impulso: 13 A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

14 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 14 Il problema fisico In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario: 1) identificare le grandezze che lo descrivono 2) determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze (ivi compresa la loro evoluzione temporale) L’impostazione “classica”: 1.posizione, momento (quantità di moto), momento angolare (momento della quantità di moto), energia cinetica e potenziale … 2. F = m a, equazioni cardinali, ecc. Approfondimenti da questa slide in poi: Corso di Sistemi Quantistici – Enrico Silva – Università Roma 3 http://webusers.fis.uniroma3.it/~silva/sisquant.html A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

15 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 15 tale funzione d’onda deve render conto dei dati sperimentali, e quindi deve poter: rappresentare enti dotati di lunghezza d’onda e frequenza soddisfare una equazione d’onda rappresentare una (densità di) probabilità rappresentare “particelle” esista una funzione, detta funzione d’onda, che contiene tutta l’informazione sul sistema in esame L’approccio della Meccanica Quantistica secondo le indicazioni degli esperimenti e le interpretazioni date, si postula che: il primo passo è quindi determinare le equazioni cui la funzione d’onda deve sottostare A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

16 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Equazione di Schrödinger, 1925 16 la funzione d’onda dovrà soddisfare l’equazione di D’Alembert: da notare che : 1) la derivata seconda spaziale assicura la simmetria “onda progressiva – onda regressiva” 2) la derivata seconda temporale fa si che non si mescolino parte reale e parte immaginaria, come richiesto se la grandezza fisica è data dalla parte reale di  dato che la grandezza fisica direttamente rappresentata da  è la densità di probabilità, possiamo rinunciare al secondo dei due requisiti consideriamo ancora come funzione di base ortonormale l’onda piana complessa: De Broglie A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

17 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 17 meccanica NON relativistica Equazione di Schrödinger … indipendente dal tempo… dipendente dal tempo notare la corrispondenza notare la linearità: se  1 e  2 sono soluzioni, lo è anche  = a  1 + b  2 A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli da notare come E giochi il ruolo dell’ energia meccanica classica

18 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 18 Interpretazione statistica Nella fisica classica la“misura” ha senso come operazione che rivela (per una certa grandezza), in un certo istante, lo stato preesistente di un sistema. La misura è ripetibile, e subito prima della stessa lo stato del sistema è sostanzialmente uguale. In meccanica quantistica la “misura” descrive uno dei tanti stati possibili. Non si può dire nulla dello stato del sistema nell’istante immediatamente precedente. Domanda : all’istante t si misura la posizione di una particella, che risulta essere x 0. Dove si trovava la particella immediatamente prima? La visione realistica (Einstein): Sicuramente si trova vicinissima a x 0, ma la meccanica quantistica non è in grado di dimostrarlo: esistono “variabili nascoste” nella teoria, che quindi è incompleta. La visione agnostica : Non ha senso chiedersi cosa succede “prima”, visto che non si è in grado di misurarlo. La visione ortodossa (Bohr): La particella non era in alcun punto particolare finché l’operazione di misura l’ha costretta a presentarsi in un punto preciso. ma allora, cos’è una misura e che ruolo hanno l’osservatore e l’apparato? A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

19 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini ma nella fisica quantistica abbiamo a che fare con oggetti microscopici e secondo Heisenberg l'interazione fra strumento di misura ed oggetto non può essere trascurata l'atto di misurazione induce un disturbo nelle proprietà dell'oggetto osservato, disturbo che renderebbe impossibile la determinazione simultanea di proprietà correlate è una particella localizzata, o un' onda distribuita nello spazio ? E’ tuttavia e’ legittimo domandarsi che cosa sia un elettrone prima della misura: secondo il principio di indeterminazione di Heisemberg non possiamo misurare con infinita precisione e simultaneamente alcune proprieta’ correlate di una entita’ quantistica, ad esempio di un elettrone l'interpretazione a disturbo del principio di indeterminazione è epistemica : ha a che fare con le limitazioni cui sono soggette le nostre misurazioni delle proprietà degli oggetti microfisici Epistematico dal greco epistéme (conoscenza), epistematico significa deduttivo: scienza epistematica è quella che procede per deduzioni, in antitesi alla scienza sperimentale o induttiva nella fisica classica questi effetti di disturbo sarebbero trascurabili perché gli oggetti soggetti a misura sono macroscopici, e il disturbo causato dallo strumento di misura può essere trascurato ad esempio, l’impulso trasferito dai fotoni con cui illuminiamo un oggetto macroscopico soggetto a misurazione con una lente d'ingrandimento può essere trascurato e sarebbe proprio questa interazione a rendere impossibile la determinazione simultanea di proprieta’ correlate dal principio di indeterminazione Heisenberg a questo riguardo formulo’ la cosiddetta "interpretazione a disturbo“ : per esempio, l'atto di misurazione della posizione di un elettrone genererebbe un disturbo incontrollabile della sua velocità e quindi della sua quantita’ di moto La natura degli oggetti quantistici A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

20 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini secondo questa interpretazione, sostenuta dai seguaci dell’ interpretazione ortodossa della meccanica quantistica, la cosiddetta Scuola di Copenhagen, le particelle non possono possedere simultaneamente proprietà correlate dal principio di indeterminazione il fatto è che gli elettroni vengono rivelati come particelle all'atto della misurazione sullo schermo, ma non sembra possibile attribuirgli caratteristiche particellari prima della misura non sembra infatti possibile affermare che essi percorrano traiettorie continue nello spazio fra la sorgente e il rivelatore il mondo microfisico sarebbe costituito da micro-oggetti che non possono possedere simultaneamente e in modo perfettamente definito tali proprieta’ a questa interpretazione si contrappone I ‘interpretazione ontologica del principio di indeterminazione In filosofia l'ontologia, branca fondamentale della metafisica, è lo studio dell'essere in quanto tale, nonché delle sue categorie fondamentali. l’ interpretazione epistemica di Heisemberg vieta solamente che sia possibile conoscere simultaneamente le proprietà correlate dal principio di indeterminazione con precisione arbitraria nulla vieta nel contesto di questa interpretazione che questi oggetti possano possedere simultaneamente le proprietà correlate al principio di indeterminazione, per esempio che una particella possegga oggettivamente una posizione ed una velocità ben determinate a un istante dato possiamo prendere come esempio il comportamento degli elettroni nell’esperienza della doppia fenditura: A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

21 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini le esperienze relative ad effetti di interferenza sarebbero in contrasto con l'affermazione che gli elettroni percorrono traiettorie continue nello spazio quindi secondo i fautori dell’interpretazione ontologica l'interpretazione a disturbo del principio di indeterminazione non può essere considerata valida se gli elettroni percorressero delle traiettorie e si avessero due fenditure ciascun elettrone passerebbe o dalla fenditura 1 o dalla fenditura 2 con due fenditure uguali avremmo che il 50% degli elettroni passerebbero dalla fenditura 1 (generando la curva di conteggio 1), il conteggio finale dovrebbe quindi dare la distribuzione 1 + 2 la situazione bizzarra e’ che : non è vero che ciascun elettrone passa dalla fenditura 1 o dalla fenditura 2 (in questo caso avremmo la curva 1 + 2, e non la curva 21); non è vero che ciascun elettrone non passa ne’ dalla fenditura 1 ne’ dalla fenditura 2 (in questo caso tutti gli elettroni sarebbero schermati) non è vero che ciascun elettrone passa sia dalla fenditura 1 sia dalla fenditura 2 (un elettrone è sempre rivelato come una particella concentrata nello spazio e non può trovarsi contemporaneamente in due punti distinti). in conclusione : non è possibile attribuire all‘ elettrone ad ogni istante una posizione e una velocità ben definite e simultanee, non perché nel processo di misura disturbiamo il micro-oggetto, ma perché una tale attribuzione è in contrasto con l'esperienza ? 12 12 NO ! e il 50% passerebbe dalla fenditura 2 (generando la curva di conteggio 2) il che è confutato dall'esperienza A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

22 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini secondo l'interpretazione della scuola di Copenhagen non è possibile attribuire proprietà a una particella prima della misura secondo questa interpretazione la dinamica dell'equazione di Schródinger deve essere sospesa all'atto della misura, atto in cui si ha la cosiddetta "riduzione del vettore di stato", o "collasso del pacchetto d'onde". tecnicamente si usa dire che l'elettrone, prima della misura che avviene sullo schermo, si trova in uno stato di sovrapposizione l'equazione di Schroedinger che regola l'evoluzione nel tempo del vettore di stato non consente, infatti, cambiamenti discontinui nell'evoluzione del vettore secondo il gergo della scuola di Copenhagen, all'atto della misura il vettore di stato subisce un "collasso" ; ossia viene "ridotto" da uno stato di sovrapposizione di stati ad un singolo stato ben definito ad esempio : l'evoluzione temporale dell'elettrone è data dalla  che e’ soluzione dell'equazione di Schroedinger anche questa interpretazione pone pero’ questioni profonde inoltre sappiamo che la  può essere rappresentata come combinazione lineare di onde, ciascuna delle quali rappresenta un possible stato dell'elettrone lo si e’ visto per esempio quando si e’ costruito un pacchetto d'onde. Si era in quel caso prodotto una  ben localizzata nello spazio sommando onde sinusoidali che rappresentavano la particella in uno stato di momento ben definito A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

23 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini il caso dello spin puo’ chiarire meglio il discorso : si può dimostrare che una particella preparata con spin verticale S z = +1 si trova in uno stato di sovrapposizione degli spin orizzontali, in modo tale che si ha il 50% di probabiltà che venga misurato spin S x = +1 e 50% di probabiltà che venga misurato spin S x = -1 si dice che la particella si trova in una sovrapposizione di questi stati puri ma la particella non si trova in nessuno di questi stati la meccanica quantistica ci dice solo qual è la probabilità che la particella si trovi - all'atto della misurazione - in uno stato invece che in un altro. ma se misuriamo il suo spin orizzontale essa si rivelarà con uno spin ben definito (o a destra o a sinistra) la particella non ha spin orizzontale a destra, non ha spin orizzontale a sinistra, non lo ha sia a destra che a sinistra, e non lo ha ne’ a destra ne’ a sinistra l'atto della misurazione fa quindi "precipitare" la particella da uno stato di sovrapposizione di più stati puri in un ben preciso stato puro si dice che l'atto di misurazione fa collassare, o riduce, il pacchetto d’onde da notare come l'atto di misurazione abbia un carattere discontinuo ed irreversibile A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

24 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini in che senso possiamo attribuire a una particella quantistica prima della sua misurazione delle proprietà (per esempio, quella di passare o non passare dalla fenditura 1, o quella di avere, o non avere, spin orientato a destra) ? in altre parole, all'atto della misurazione la dinamica regolata dall'equazione di Schroedinger è interrotta la misura interrompe bruscamente lo sviluppo continuo e deterministico della  sviluppo che è regolato dalla equazione di Schroedinger che cos'è una particella quantistica prima della sua misurazione (ovvero che cosa è uno stato di sovrapposizione)? queste assunzioni costituiscono un problema legato alla misurazione e fanno sorgere spontanee una serie di questioni fondamentali : l'equazione di Schroedinger vale universalmente, o i processi di misura sfuggono alla sua applicazione ? che cosa avviene all'atto della misura ? A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

25 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini non accettava in particolare l’idea che la realta’ fisica microscopica fosse intrinsecamente probabilistica Einstein critico’ decisamente l’interpretazione di Copenhagen propendeva piuttosto per una visione del mondo microfisico regolato dal determinismo dalla continuita’ spazio-temporale, dalla visuabilizzabilita’, dalla separabilita’ e dalla localita’ e soprattutto voleva opporsi ad una concezione fisica secondo la quale non e’ permesso di parlare di proprieta’ possedute dagli oggetti quantistici indipendentemente dalle procedure di misura ( contestualita’ ) infine per Einstein era problematica l’idea della discontinuita’ indotta nella funzione d’onda dall’atto della misurazione infatti nel collasso della funzione d’onda sembrava avvenire una interazione istantanea a distanza, cosa questa negata dalla teoria della relativita’ nel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen allo scopo di dimostrare l’incompletezza della meccanica quantistica evidenziarono una condizione paradossale della interpretazione ortodossa della meccanica quantistica, il cosiddetto paradosso EPR Incompletezza della teoria quantistica significa che vi sono elementi di realta’ che il formalismo della meccanica quantistica non e’ in grado di descrivere questo dette origine alle teorie delle cosiddete “ variabili nascoste “ sviluppate negli anni ’60 da Bohm il paradosso EPR prende le sue mosse partendo da stati quantici “ entangled A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

26 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 26 È stata proposta una interpretazione dell'entanglement conosciuta come teoria delle variabili nascoste ( Bohm et al. ) nella quale gradi di libertà sconosciuti causerebbero le correlazioni, ma è stato mostrato nel 1964 da Bell che è comunque possibile distinguere la teoria quantistica da una teoria di variabili nascoste locale, essendo in quest'ultimo caso le correlazioni presenti più deboli. in termini del tutto generali Bell fu in grado di dimostrare che nessuna teoria fisica a variabili locali nascoste puo’ riprodurre le predizioni della meccnica quantistica l’assunzione che le grandezze fisiche abbiano valori definiti indipendentemente dall’atto dell’osservazione e che gli effetti fisici abbiano una velocita’ di propagazione finita impone restrizioni dette disuguaglianze di Bell su determinati fenomeni che non sono richieste dalla meccanica quantistica ortodossa dal 1972 ad oggi una serie di osservazioni sperimentali dimostra la violazione delle disuguaglianze di Bell in completo accordo con l’interpretazione ortodossa della meccanica quantistica A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

27 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 27 la funzione d’onda evolve secondo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo. l’atto della misura “crea” la particella nella posizione x 0 si dice che la funzione è collassata in x 0 in seguito all’operazione di misura (con i vincoli dati dalla funzione d’onda e dal soddisfacimento dell’equazione di Schrödinger) Il sistema è cambiato in maniera irreversibile: una seconda misura dopo un brevissimo intervallo deve dare un risultato molto vicino al primo. La funzione d’onda è divenuta un pacchetto d’onde molto piccato a x 0 (che naturalmente evolve secondo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo). L’atto della misura cambia radicalmente le condizioni al contorno. conseguenze : dobbiamo assumere che A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

28 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 28 assumendo valida l’ interpretazione statistica di Born diremo che la probabilità di trovare la particella rappresentata da  ( r,t) in un volume dV intorno al punto r, all’istante t, è data da: Onda di probabilità Densità di probabilità Ricordare:  (r,t) è complessa Proprietà di normalizzazione Le uniche funzioni d’onda che hanno un significato fisico sono le funzioni normalizzabili.  (r,t) deve annullarsi all’  più velocemente di 1/  r. NB:  (r,t) = cost;  (r,t) = 1/r, non sono normalizzabili  non sono funzioni d’onda fisiche! A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

29 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 29 Interpretazione statistica conservazione della proprietà di normalizzazione,nel tempo: deve essere = 0 notare che occorre che  (r,t) si annulli abbastanza velocemente all’infinito affinche’ l’integrale converga mae quindi applicando il teorema della divergenza quindi dove e’ l’operatore gradiente e e’ l’operatore divergenza A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

30 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini in una dimensione legge di conservazione della probabilità in analogia con la conservazione della carica elettrica in elettromagnetismo, le equazioni … rappresentano una legge di conservazione della (densità di) probabilità. se si definisce la densità di “ corrente di probabilità” : in conclusione nell’equazione di Shroedinger e’ implicitamente contenuta la legge di conservazione della probabilita’ (equazione di continuita’) associata al moto del sistema quantistico A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

31 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 31 il valore “aspettato” o “di aspettazione” della posizione di una particella nello stato  (x,t) postuliamo che la velocità della particella sia data dalla derivata di : rappresenta il valore medio di numerose misure effettuate su altrettanti sistemi tutti preparati allo stesso modo ossia tutti nello stesso stato  sfruttando l’ equazione di Shroedinger e le relazioni ricavate in precedenza si ottiene: se ne deduce che la funzione d’onda in effetti “contiene” la velocità ma se si effettua una singola misura la funzione d’onda “collassa” su una certa posizione in modo del tutto casuale e non prevedibile ( esattamente come per il lancio di un dado) A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

32 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 32 l’ “impulso” sara’ dato dalla espressione agisce sulla funzione d’onda ed e’ l’operatore che fornisce la quantità di moto dello stato  l’operatore momento nella Meccanica Quantistica le grandezze della dinamica sono rappresentate da operatori. ogni grandezza fisica può essere espressa come combinazione dei due operatori: Posizione Momento A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

33 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 33 La dinamica Grandezza FisicaOperatore Valore aspettato Posizione Momento Energia cinetica Energia totale Hamiltoniana A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

34 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 34 come si ottiene la funzione d’onda di un sistema?  V sia indipendente dal tempo;  si possa scrivere  (x,t) = f(t)  (x)  separazione delle variabili (notare l’uso di  maiuscola e y minuscola) l’evoluzione temporale non dipende da V, se V non dipende da t Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo stati stazionari: hanno energia ben definita supponiamo che: A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli divienesotto queste ipotesi l’equazione

35 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 35 Proprietà delle soluzioni separabili : 1. Densità di probabilità indipendente dal tempo 2.Posizione indipendente dal tempo (  momento = 0) 3.Energia definita la soluzione generale: non ha energia definita univocamente A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

36 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini  le funzioni  che soddisfano l’equazione per un dato operatore si chiamano autofunzioni o autostati di Q  i valori q possono essere discreti o continui, finiti o infiniti: si chiamano autovalori di Q.  l’equazione di Schrödinger è l’equazione agli autovalori dell’operatore Hamiltoniano o dell’energia totale  si conosce un sistema quando si conoscono autofunzioni ed autovalori di un insieme completo di operatori (Þ insieme completo di autofunzioni).  la funzione d’onda più generale del sistema sarà allora una combinazione lineare (sommatoria o integrale, finita o infinita) di tali autofunzioni.  se V è costante, il problema si riduce a trovare un insieme completo di autofunzioni – autovalori per l’E. di S. indipendente dal tempo. 36 Equazioni agli autovalori A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

37 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 37 soluzione generale: dato un certo sistema (ovvero data una hamiltoniana): si trovano gli stati stazionari (autofunzioni dell’energia); si trovano i valori permessi dell’energia (autovalori); si costruisce la soluzione generica come combinazione lineare, ed infine si cercano i valori di c n che soddisfano le condizioni al contorno. tutto ciò comporta risolvere solo l’equazione non dipendente dal tempo: la soluzione generale viene costruita dalle proprietà generali “appendendo” a ciascuna autofunzione dell’energia il termine esponenziale. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

38 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 38 Riepilogo Esiste una funzione, detta funzione d’onda, che contiene tutta l’informazione sul sistema in esame. Soddisfa l’Equazione di Schroedinger La grandezza fisica direttamente rappresentata da  è la densità di probabilità Se V è indipendente dal tempo Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo. Stati stazionari hanno energia ben definita Soluzione generale: Sovrapposizione di autofunzioni dell’energia A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

39 A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 39 Appendice – altre proprietà della funzione d’onda 1.Le  (x) possono essere scelte reali 2.Si hanno soluzioni normalizzabili della equazione di Shroedinger indipendente dal tempo solo se E – V(x) > 0. 3.Se V(x) è “pari” [V(x) = V(-x)], allora le  (x) possono essere scelte pari o dispari. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli