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1 Avviare la presentazione col tasto “Invio”
Lezione VII Avviare la presentazione col tasto “Invio”

2 Quantità di moto

3 Introdurremo questo nuovo argomento definendo il centro di massa di un corpo.
Fino adesso abbiamo studiato il moto dei corpi adottando in molti casi la definizione di punto materiale, o particella, cioè un corpo di massa m ma dimensioni infinitesime. In effetti nel caso del moto traslatorio di un corpo di dimensioni finite, ciascun punto del corpo in questione effettua, istante per istante, lo stesso spostamento di ogni altro punto. Quindi il moto di una singola particella rappresenta bene il moto dell’intero corpo. E in effetti, anche se il corpo è soggetto a delle vibrazioni o ruota su se stesso, possiamo comunque rappresentare il suo moto traslatorio col moto di un suo particolare punto detto centro di massa del corpo in questione.

4 Similmente, se abbiamo un sistema di particelle, possiamo descrivere il moto traslatorio
dell’intero sistema col moto del centro di massa del sistema. Cominciamo quindi col definire il centro di massa. Cominciamo col caso semplice di un sistema costituito da due sole particelle di massa m1 e m2 distanti rispettivamente x1 e x2 da una certa origine 0 in un sistema unidimensionale descritto dall’asse x . Battezziamo la coordinata del centro di massa Il centro di massa (C.M.) è il punto localizzato ad una distanza xCM dall’origine 0, dove xCM vale: xCM = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)

5 Questo punto ha la proprietà che il prodotto della massa totale del sistema per la
distanza di questo punto dall’origine è uguale alla somma dei prodotti della massa di ciascuna particella per la sua distanza dall’origine. (m1 + m2) xCM = m1x1 + m2x2 m2 m1 x x1 x2 In sostanza, xCM può essere considerato come la media pesata di x1 e x2 In questa media pesata delle distanze, il fattore peso per ogni particella è la frazione della massa totale del sistema posseduta da quella particella.

6 In sostanza, per rifarci all’esperienza quotidiana, il C. M
In sostanza, per rifarci all’esperienza quotidiana, il C.M. di un sistema altro non è che il suo baricentro: sappiamo dell’esperienza quotidiana che se vogliamo tenere in equilibrio un corpo in cui la distribuzione delle masse non è uniforme non dobbiamo posizionarlo nella sua «metà» ma nel suo baricentro.

7 xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi M xCM = ∑ mi xi
Analogamente, se abbiamo un sistema di N particelle disposte lungo una retta (per esempio l’asse delle x) il centro di massa del sistema, riferito ad una certa origine, è localizzato nel punto di coordinata: xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi Dove x1 x2 …………….. xN rappresenta la coordinata di ognuna delle N particelle Poiché ∑ mi è la massa totale del sistema M potremo scrivere: M xCM = ∑ mi xi

8 xCM = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3)
Supponiamo adesso di avere 3 particelle, non disposte lungo una retta, ma contenute in un piano x-y come per esempio in figura. y m3 y3 m1 y1 m2 y2 x1 x2 x3 x Il centro di massa di questo sistema di 3 particelle è individuato dal punto le cui coordinate, misurate rispetto all’origine 0, sono date da: xCM = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3) yCM = (m1y1 + m2y2 + m3y3) / (m1 + m2 + m3)

9 y x xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi
Analogamente, per un gran numero di particelle contenuto nel piano x-y: y x Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate: xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi

10 y x z xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi
E per un gran numero di particelle distribuite in un volume x-y-z: y x z Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate: xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi zCM = ( ∑ mi zi ) / ∑ mi

11 e dalla posizione relativa di esse
Ci si può facilmente rendere conto che la posizione del centro di massa rispetto alle posizioni delle particelle, è indipendente dal sistema di coordinate usato: Il centro di massa di un sistema di particelle dipende solo dalle masse delle particelle e dalla posizione relativa di esse

12 xCM = ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi yCM = ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi
Un corpo di dimensioni finite, quello che normalmente in Fisica è denominato «corpo rigido» può essere pensato come un sistema di particelle «molto fitto». Anche per un corpo rigido pertanto possiamo definire il centro di massa. Il numero di particelle (per esempio di atomi!!!) di norma è così elevato , e la distanza fra particelle così piccola, che risulta più conveniente trattare il corpo come una distribuzione continua di massa. Per comprendere il processo al limite che applicheremo in questo caso e che ci porterà verso l’utilizzo di un integrale, immaginiamo in prima istanza di dividere il corpo in questione in tanti cubetti elementari, ognuno di massa Δmi, localizzati approssimativamente nei punti di coordinate xi yi zi . Le coordinate del centro di massa saranno date approssimativamente da: xCM = ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi yCM = ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi zCM = ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi

13 Ora, supponiamo di dividere il corpo in esame in cubetti sempre più piccoli, facendo
tendere quindi Δm 0 e il numero di cubetti N  ∞ (infinito). Dividiamo in sostanza il corpo in questione in un numero infinito di volumetti di massa infinitesima. Le coordinate del centro di massa potranno essere definite in modo esatto come segue: xCM = lim ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi = x dm / dm = (1/M ) x dm yCM = lim ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi = y dm / dm = (1/M ) y dm zCM = lim ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi = z dm / dm = (1/M ) z dm ∫ ∫ ∫ Δmi  0 ∫ ∫ ∫ Δmi  0 ∫ ∫ ∫ Δmi  0

14 E facile rendersi conto che le tre coordinate xCM yCM zCM sono le coordinate di un vettore posizione definito in uno spazio x-y-z. Questo definisce in un’unica equazione vettoriale il centro di massa di un corpo: sCM = s dm / dm

15 Considerazioni di simmetria
Spesso tratteremo corpi omogenei (densità costante in funzione della posizione (x,y,z) che possiedono un punto, una linea o un piano di simmetria. In questo caso il centro di massa cadrà in quel punto, o lungo quella linea, o su quel piano. Per esempio, una sfera omogenea possiede un punto di simmetria: il suo centro, e infatti è lì che è localizzato il suo centro di massa.

16 Il moto del centro di massa
A prima vista potrebbe sembrare superfluo affrontare la questione del moto del centro di massa. Per esempio nel caso del moto di un corpo rigido, è abbastanza intuitivo rendersi conto che il moto del centro di massa altro non è che il moto traslatorio dello stesso corpo. Tuttavia, nel caso in cui il sistema in esame non è un corpo rigido, ma è per esempio un insieme di particelle, la cosa va trattata con maggiore attenzione.

17 M dxCM / dt = m1 dx1 / dt + m2 dx2 / dt + ……….+ mN dxN / dt
Consideriamo quindi un sistema di particelle, distribuito per semplicità lungo l’asse x: x Risulta che: M xCM = m1x1 + m2x2 + ……….+ mNxN Derivando questa equazione rispetto al tempo si ottiene: M dxCM / dt = m1 dx1 / dt + m2 dx2 / dt + ……….+ mN dxN / dt M vCMx = m1 v1x + m2 v2x + …………… mN vNx in cui individuiamo la velocità del centro di massa e le velocità delle singole particelle lungo l’asse x. Derivando ancora rispetto al tempo, scriveremo che: M a CMx = m1 a1x + m2 a2x + …………… mN aNx

18 M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx
Risulta in sostanza: M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx Analoghe equazioni per gli assi y e z potranno essere determinate per il caso di un sistema di particelle distribuite in un volume. Le tre equazioni scalari M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx M a CMy = F1y + F2y + ………. FNy M a CMz = F1z + F2z + ………. FNz Possono essere riunite in un’unica equazione vettoriale: M a CM = F F2 + ………. FN

19 Questa formula (che ci riconduce alla II Legge di Newton):
M a CM = F F2 + ………. FN stabilisce in sostanza che: il prodotto della massa complessiva del gruppo di particelle per l’accelerazione del centro di massa è uguale alla somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul sistema di particelle Poiché eventuali forze interne saranno a due a due equali e contrarie (III Legge di Newton) considereremo solo le forze esterne Cioè il moto del centro di massa sarebbe quello che risulterebbe se tutta la massa fosse concentrata in quel punto e se su questo punto agisse una forza pari alla risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema: Fest = M aCM

20 Questa conclusione vale per qualsiasi configurazione del corpo o del sistema di
particelle, sia che si tratti di un corpo rigido in cui tutte le particelle occupano posizioni fisse, sia per un agglomerato di particelle in cui le posizioni relative possono cambiare (moto interno). Qualunque sia il sistema, e comunque possano muoversi le sue parti, il centro di massa si muove sempre obbedendo alla relazione: Fest = M aCM

21 Quantità di moto di una particella
La quantità di moto di una particella di massa m e velocità v è un vettore denominato p definito dalla relazione: p = mv Può essere utile ricordare che Newton nei suoi famosi Principia, enunciò la II Legge proprio in base alla quantità di moto, affermando cioè che: la rapidità di variazione nel tempo della quantità di moto di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze agenti su di esso ed è diretta parallelamente a tale forza. Che implica la seguente formulazione matematica: F = dp/dt Poiché p = mv, se la massa è costante, questa formula si riduce a F = m dv/dt  F = ma Che è la formulazione della II Legge di Newton che già conosciamo.

22 F = dp/dt = d(mv)dt F = v dm/dt + ma d(mv)dt = v dm/dt + m dv/dt Nota:
Ma scritta come F = dp/dt la II Legge ha indubbiamente delle conseguenze: F = dp/dt = d(mv)dt In generale, in accordo con le regole del calcolo differenziale scriveremo: d(mv)dt = v dm/dt + m dv/dt E cioè: F = v dm/dt + ma Il che soltanto se m=costante si riduce alla formulazione F = ma Nota: Finché applichiamo la II Legge ad un sistema con un numero fisso di particelle (tipicamente un corpo rigido), poiché in fisica classica la massa di una particella (punto materiale) è costante, la formulazione in questione F = dp/dt si riduce alla formulazione più semplice F = ma

23 Tuttavia, se consideriamo un sistema in cui per qualche ragione la massa viene espulsa
(per esempio un razzo con il suo carico di carburante: il razzo brucia il suo carburante e lo espelle sotto forma di gas), in questo caso è più appropriato adottare la formulazione più generale della II Legge di Newton Quindi anche in fisica classica, in molti casi appare più corretto applicare la II Legge nella su formulazione più generale: F = dp/dt

24 p = m0v / (1−v2/c2)1/2 m = m0 / (1−v2/c2)1/2 p = mv
Nella Teoria della Relatività di Einstein la legge nella forma F = ma non è valida, ma vale ancora nella forma più generale F = dp/dt purché la quantità di moto non sia scritta nella forma p = m0v ma piuttosto nella forma: p = m0v / (1−v2/c2)1/2 adottando quindi una nuova definizione di massa m = m0 / (1−v2/c2)1/2 In questa formulazione della massa, m0 è la cosiddetta massa a riposo . Con questa formulazione della massa, la quantità di moto in relatività può essere quindi di nuovo scritta: p = mv

25 Quantità di moto di un sistema di particelle
Supponiamo di avere un sistema di N particelle di massa m1 m2 ……mN cosicché la massa totale del sistema risulti: M = m1 + m2 ……+ mN Le particelle possono interagire fra di loro e su ognuna di esse possono agire forze esterne. Ciascuna particella avrà una sua velocità vi e quindi una sua quantità di moto pi. = mivi Il sistema nel suo insieme ha quindi una quantità di moto totale P data da: P = p1 + p2 ……+ pN Derivando questa equazione rispetto al tempo si ha: d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt

26 d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt
Data la: d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt abbiamo visto che d p1/dt è la forza F1 che si esercita sulla particella 1, così via. Di conseguenza, la precedente equazione può essere scritta come: d P/dt = F F …………….. FN Il secondo membro di questa equazione è la somma vettoriale di tutte le forze agenti sulle particelle. Queste forze saranno in generale sia forze esterne cioè forze esercitate da agenti esterni al sistema, sia forze interne cioè le forze che le particelle esercitano una sull’altra (e che si annullano a coppie).

27 F1 m1 m3 F3 F2 m2 F ext = F1 + F2 + F3 F2 F3 F1 F ext
Possiamo immaginare questo insieme di forze come una cosa del genere: Dove: Forze interne (eguali e contrarie a coppie) Forze esterne F1 m1 m3 F3 F2 m2 In base alla III Legge di Newton sappiamo che le forze interne daranno un contributo nullo alla risultante del forze, in quanto eguali a contrarie (a coppie), quindi la risultante delle forze nel caso illustrato sarà semplicemente dovuto a: F ext = F1 + F2 + F3 F2 F3 Questa è la risultante delle forze che applicata al centro di massa del sistema tiene conto del moto del sistema nel suo insieme CM F1 F ext

28 d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN d P/dt = F ext d P/dt = d(MvCM ) / dt
Pertanto, l’equazione scritta in precedenza: d P/dt = F F …………….. FN diventa: d P/dt = F ext D’altra parte, avevamo già visto che: F ext = d(MvCM ) / dt Da cui: d P/dt = d(MvCM ) / dt Cioè: La quantità di moto totale di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa complessiva del sistema per la velocità del centro di massa.

29 Lezione VII –seconda parte
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30 Conservazione della quantità di moto
Supponiamo che la risultante F ext delle forze esterne agenti sul sistema sia nulla In questo caso, in base a quanto abbiamo scritto in precedenza: dP/dt = F ext risulterà: d P/dt = 0 ovvero P = costante Cioè: Quando la risultante delle forze agenti su un sistema è nulla, il vettore quantità di moto del sistema rimane costante. Questo è il Principio di conservazione della quantità di moto che possiamo anche enunciare affermando che La quantità di moto di un sistema isolato si conserva

31 Quindi la quantità di moto di un sistema può essere variata solo da forze esterne
agenti sul sistema. Le forze interne, essendo uguali e contrarie a coppie, producono variazioni «locali» della quantità di moto che si annullano a vicenda.

32 p1 + p2 ……+ pN = P p1 + p2 ……+ pN = costante
Per un sistema di particelle p1 + p2 ……+ pN = P quindi quando P = costante (cioè il sistema di particelle è isolato) si ha: p1 + p2 ……+ pN = costante Questo implica che le quantità di moto delle singole particelle possono cambiare, ma la quantità di moto dell’intero sistema rimane costante.

33 L’equazione che rappresenta il principio della conservazione della quantità di moto che
abbiamo appena scritto: p1 + p2 ……+ pN = costante è una equazione vettoriale, che pertanto ci fornisce tre equazioni scalari, una per ogni coordinata. Quindi: La conservazione della quantità di moto ci fornisce tre condizioni per il moto di un sistema. La conservazione dell’energia, che è uno scalare, ci fornisce invece una sola condizione.

34 Vediamo cosa ha a che fare tutto questo con l’intuizione che avevamo avuto
sin dall’inizio riguardo alla conservazione della quantità di moto. Rivediamo quegli esperimenti simulati sugli urti fra le biglie, esperimenti che formalizzeremo meglio nel corso della prossima lezione che sarà proprio dedicata agli urti

35 Avevamo considerato il seguente esperimento
Una biglia si trova lungo il percorso di un’altra biglia Con l’urto, la biglia bersaglio schizza via con una velocità v2 > v1

36 Con l’urto, la biglia bersaglio acquista una velocita v2 < v1
Viceversa: Con l’urto, la biglia bersaglio acquista una velocita v2 < v1

37 Alla fine, quando la sola biglia m2 è in moto avremo:
Alla luce di quello che abbiamo imparato oggi, possiamo affermare che la quantità di moto del sistema costituito dalle due biglie si conserva. Questo in quanto si tratta indubbiamente di un sistema isolato. Quindi potremo scrivere: m1 v1 + m2 v2 = P0 = costante All’inizio, quando la sola biglia m1 è in moto avremo: P0 = m1 v1 Alla fine, quando la sola biglia m2 è in moto avremo: P0 = m2 v2 = m1 v1  m2 v2 = m1 v1  v2 = v1 m1 / m2 Cioè: la velocità acquisita dalla biglia bersaglio è proporzionale alla massa della biglia incidente e alla sua velocità, ed è inversamente proporzionale alla sua massa

38 E infatti facendo esperimenti con biglie incidenti sempre più pesanti,
Avevamo osservato esattamente questo fenomeno !

39 Esperimenti eseguiti sempre sulla stessa biglia «bersaglio», utilizzando di volta in volta
biglie incidenti sempre più pesanti, che si muovo però alla stessa velocità

40 E infatti oggi abbiamo derivato rigorosamente che
In sostanza, su base empirica, avevamo intuito che a parità di velocità della biglia incidente, la velocità che acquista la biglia bersaglio aumenta in funzione dalla MASSA della biglia incidente v2 = f (m1) E infatti oggi abbiamo derivato rigorosamente che v2 = v1 m1 / m2

41 Pur non avendo ancora definito la «velocità» in termini operativi, ma basandoci sulla nostra
esperienza quotidiana, avevamo supposto di sapere fare queste misure. Immaginando di misurare le varie velocità v acquisite dalla stessa biglia bersaglio ad ogni urto, e riportando i valori di v in un grafico in funzione della massa m della biglia incidente: v v = k m v3 v2 v1 m m m3

42 v bersaglio = k mincidente
Quindi: a parità di velocità della biglia incidente, la velocità v acquisita dalla biglia bersaglio risultava proporzionale alla massa della biglia incidente v bersaglio = k mincidente Facendo ulteriori esperimenti con biglie bersaglio di massa m differenti, e con biglie incidenti con velocità vi differenti, e riportando su grafico i dati, si verifica infatti che: k = v/m e cioè: v = (vi/m) m incid mv = mi vi Avevamo anche preannunciato che trascurare la «velocità residua» della biglia incidente dopo l’urto, non sempre è corretto. Vedremo meglio il perché nella prossima lezione

43 P0 = m2 v2 = m1 v1 PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM
Alla luce di quanto abbiamo imparato sul centro di massa, è interessante descrivere il moto del centro di massa dell’esperimento fatto: Infatti, abbiamo visto che: Il centro di massa di un sistema di particelle si muove come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in quel punto. Abbiamo appena visto che in questo sistema, all’inizio la quantità di moto è tutta nella biglia 1 e alla fine è tutta nella biglia 2, per cui : P0 = m2 v2 = m1 v1 Per il centro ci massa, in accordo con quanto abbiamo imparato scriveremo: PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM

44 PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM P0 = m2 v2 = m1 v1 m1 v1 = ( m1 +m2 )vCM
Abbiamo quindi: PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM P0 = m2 v2 = m1 v1 m1 v1 = ( m1 +m2 )vCM m2 v2 = ( m1 +m2 )vCM vCM = m1 v1 / ( m1 +m2 ) = m2 v2 / ( m1 +m2 )

45 RIASSUMIAMO COSA ABBIAMO IMPARATO SULLE LEGGI DI CONSERVAZIONE
La quantità di moto è un vettore. La legge della conservazione della quantità di moto ci fornisce quindi tre equazioni scalari: una per ciascuna coordinata L’energia invece è uno scalare: La legge di conservazione dell’energia ci fornisce soltanto una equazione scalare.

46 Esempio -1 Individuare il centro di massa di un sistema di tre particelle di massa m1 = 1kg, m2 = 2 kg, e m3 = 3kg, poste ai vertici di un triangolo equilatero con lato = 1m y m3 m2 m1 x

47 x1 = 0 y1 = 0 xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) = x2 = 1 y2 = 0
Avendo posizionato il triangolo sul piano x-y come in figura, risulta: x1 = y1 = 0 x2 = y2 = 0 x3 = ½ y3 = ½ √3 xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) = = 1 x x x ½ / (1+2+3) =3,5 / 6 yCM = ( ∑mi yi ) / ( ∑mi ) = = 1 x x x ½ √3/ (1+2+3) = 2,6 / 6 y m3 m2 m1

48 Esempio 2 Sulle tre particelle localizzate come in figura agiscono le tre forze indicate y 16 nt m2 4 kg 6 nt m1 8 kg CM x m3 4 kg 14 nt Quesito: Trovare l’accelerazione del centro di massa del sistema

49 xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) = (8 x 4 + 4 x (-2) + 4 x 1) / 16 = 28/16
yCM= ( ∑mi yi ) / ( ∑mi ) = (8 x x x (-3)) / 16 = 4 / 16 yCM = 1/4 m

50 La risultante delle forze ha pertanto modulo:
Determiniamo adesso la risultante delle forze agenti sul sistema: Fx = – 6 nt nt = 8nt Fy = 16nt = 16 nt La risultante delle forze ha pertanto modulo: F = (Fx2 + Fy2) ½ = ( ) ½ = 18 nt E forma con l’asse x un angolo θ dato da θ = arctan (16nt/8 nt) = arctan (2) = 63°

51 L’accelerazione del centro di massa sarà quindi
a = F / Mtot = 18 nt / 16 kg = 1,1 m/s2 e formerà con l’asse x lo stesso angolo di 63 gradi

52 Esempio -3 Consideriamo due blocchi A e B, di massa mA e mB, uniti da una molla a riposo, su un piano orizzontale privo di attrito. Allontaniamo i blocchi, tendendo la molla e quindi lasciamoli liberi. Descrivere il moto che ne segue.

53 Ma quali considerazioni fisiche possiamo fare ?
OK, qualitativamente sappiamo già che tipo di moto ci aspettiamo: Ma quali considerazioni fisiche possiamo fare ?

54 Il sistema è isolato Non agiscono forze esterne su di esso Le uniche forze presenti sono quelle interne generate dalla molla che si annullano a vicenda Applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva Quando abbondoniamo i due blocchi, risulta P = 0 Quindi deve essere P=0 in ogni istante successivo Questo certamente è possibile anche se i due blocchi si muovono: la quantità di moto è una grandezza vettoriale. Quindi se in un dato istante uno dei due blocchi avrà una quantità di moto positiva, l’altro l’avrà negativa. P = 0 = mAvA + mBvB  mBvB = − mAvA  vA = −(mB / mA) vB

55 KA = ½ mAvA2 che possiamo scrivere come: (mAvA)2 / 2mA
Quindi: le velocità sono sempre di segno opposto e con il rapporto fra i moduli inverso al rapporto fra le masse L’energia cinetica di A vale: KA = ½ mAvA2 che possiamo scrivere come: (mAvA)2 / 2mA Analogamente: KB = ½ mBvB2 che possiamo scrivere come: (mBvB)2 / 2mB Da cui, poiché : (mAvA)2 = (mBvB)2 risulta: KA / KB = mB / mA Cioè le energie cinetiche sono inversamente proporzionali alle rispettive masse Poiché l’energia meccanica si conserva, i blocchi continueranno a oscillare scambiando continuamente energia cinetica e energia potenziale.

56 Esempio -4 Consideriamo il caso di una palla lanciata in aria e poi afferrata al rientro a terra. A scopo esemplificativo, assumeremo che l’agente che lancia la palla, essendo ancorato a terra faccia parte della terra. Considereremo anche trascurabile l’attrito dell’aria. Il sistema in esame in sostanza è il sistema terra- palla. Le forze in gioco fra i due elementi del sistema, e cioè la terra e la palla, sono solo forze interne. Definiremo un sistema di riferimento in cui la terra è inizialmente ferma, e rispetto al quale, al momento del lancio, subirà un contraccolpo.

57 pT-P = 0 = pT + pP 0 = mT vT + mP vP mT vT = − mP vP
Inizialmente, la quantità di moto del sistema terra-palla pT-P è nulla, e poiché non vi sono forze esterne che agiscono sul sistema, resterà sempre nulla. Quindi in qualsiasi istante successivo: pT-P = 0 = pT + pP 0 = mT vT + mP vP mT vT = − mP vP Quindi, quando la palla si allontana la terra retrocede e quando la palla si riavvicina, la terra va in contro alla palla. Il rapporto dei moduli delle velocità è inverso rispetto al rapporto fra le masse, il che ci dimostra che trascurare l’effetto del moto della Terra è lecito, essendo questo rapporto pari a circa 10−24 !

58 Esempio -5 Il caso della cinghia convettrice, in cui del materiale viene continuamente versato su una cinghia scorrevole come in figura TROVARE LA FORZA NECESSARIA PER FARE SCORRERE LA CINGHIA A VELOCITA’ COSTANTE

59 F = d/dt [ (m+M) v ] = (m+M) dv/dt + v d/dt (m+M)
Indichiamo con m la massa del materiale sulla cinghia e M la massa della cinghia. La quantità di moto del sistema (cinghia + materiale sulla cinghia) sarà: P = (m + M) v e la forza che cerchiamo è F = dP/dt Cioè: F = d/dt [ (m+M) v ] = (m+M) dv/dt + v d/dt (m+M) = (m+M) dv/dt + v dm/dt + v dM/dt Poiché M e v sono costanti l’equazione si riduce a: F = v dm/dt

60 Lezione VII terza parte
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61 Urti fra particelle

62 Impulso e quantità di moto
Quando due particelle si urtano, agisce su di esse una forza molto grande per un intervallo di tempo molto breve: durante il tempo in cui esse sono a contatto, esercitano l’una sull’altra una forza molto intensa. Il fenomeno è simile al caso di una mazza che colpisce una palla. Durante il brevissimo intervallo di tempo in cui la mazza è a contatto con la palla, su di questa si esercita una forza molto grande. La forza in gioco varia nel tempo in un modo abbastanza complicato che non è facilmente quantificabile. Queste forze si chiamano impulsive.

63 t1 e finisce all’istante t2.
Il generale possiamo supporre che l’andamento in funzione del tempo di una forza impulsiva del genere sia approssimabile come in figura, e che la forza abbia una direzione costante. F(t) In questo caso, la collisione inizia all’istante t1 e finisce all’istante t2. La forza è nulla prima e dopo. Dall’equazione che abbiamo scritto a proposito della forza e della variazione di quantità di moto (la II Legge di Newton nella sua formulazione generale), si ha: F = dp/dt t1 t2 t Δt

64 ∫ dp = F(t) dt F(t) Δp = F(t) dt t2 Δp t1 t1 t2 t Δt
Possiamo quindi scrivere che la variazione infinitesima di quantità di moto dp dovuta ad una forza F che agisce per un tempo infinitesimo dt è data da: dp = F(t) dt F(t) Possiamo quindi ricavare la variazione di quantità di moto di un corpo durante un urto integrando questa equazione su tutto l’intervallo di tempo in cui dura l’urto, ricavando in sostanza l’area in figura. Δp = F(t) dt t2 ∫ Δp t1 t1 t2 t Δt

65 L’integrale di una forza F sull’intervallo di tempo in cui agisce, viene definito impulso ed
è una grandezza vettoriale. Di norma indicheremo il vettore impulso con J J = F (t) dt  = Δp Pertanto, la variazione di quantità di moto a cui è soggetto un corpo su cui agisce una forza impulsiva (direzione costante durante il tempo di applicazione) è uguale all’impulso. t2 ∫ t1

66 ∫ ∫ ΔL = F(x) dx = ΔE = −ΔU  Lavoro – energia x2
Ricordando quello che abbiamo discusso a proposito del teorema lavoro-energia, risulta quindi che: ΔL = F(x) dx = ΔE = −ΔU  Lavoro – energia Δp = F (t) dt  Impulso – Quantità di moto x2 ∫ x1 t2 ∫ t1

67 Fenomeni d’urto Consideriamo l’urto fra due particelle di massa m1 e m2, come illustrato in figura: m1 m2 F1 F2 Durante il brevissimo intervallo di tempo Δt in cui le due masse sono a contatto, esse esercitano una sull’altra una grande forza. Ad ogni istante, la massa m1 esercita una forza F2 sulla massa m2 e la massa m2 esercita una forza F1 sulla massa m1 In base alla III Legge di Newton, queste due forze sono, istante per istante, eguali e contrarie e agiscono per lo stesso intervallo di tempo Δt = t2 –t1

68 La variazione di quantità di moto della particella 1 sarà pertanto:
Δp1 = F1 dt = <F1> Δt dove <F1> è il valor medio di durante l’intervallo Δt t2 ∫ t1 E analogamente, la variazione di quantità di moto della particella 2 sarà: Δp2 = F2 dt = <F2> Δt dove <F2> è il valor medio di durante l’intervallo Δt t2 ∫ t1 Sappiamo che ad ogni istante risulta F1 = −F2 quindi <F1> = − <F2>  Δp1 = − Δp2

69 P = p1 + p2 Δp1 + Δp2 = 0  Δ(p1 + p2) = 0  ΔP = 0
La quantità di moto totale del sistema d’altra parte è data dalla: P = p1 + p2 E poiché come abbiamo visto Δp1 = − Δp2 che implica Δp Δp2 = 0  Δ(p1 + p2) = 0  ΔP = 0 Questo riflette il fatto che la quantità di moto del sistema (che considerato come un sistema isolato in quanto le uniche forze che abbiamo preso in esame sono le forze interne) non cambia durante l’urto

70 Urti in una dimensione Sebbene non sempre sono note le forze che agiscono durante un urto, nel caso unidimensionale l’applicazione delle leggi di conservazione della quantità di moto e di conservazione dell’energia di norma consente di prevedere l’esito dell’urto, cioè la determinazione del moto dei corpi dopo l’urto, se è noto il moto dei corpi prima dell’urto. In generale, parlare di urti, non vorrà dire limitarsi al caso in cui due corpi entrano fisicamente in contatto. Si può parlare di urti anche in quei casi in cui i corpi in questione esercitano delle forze l’uno sull’altro, in grado di modificarne il moto.

71 v iniziale 10 km/s v finale 22 km/s
Un esempio famoso di questo genere di «urti» è la fionda gravitazionale: Un satellite artificiale in rotta di avvicinamento verso un pianeta di grande massa, a causa dell’interazione gravitazionale con esso, viene fiondato via a velocità superiore a quella che aveva in avvicinamento al pianeta. Il caso del Pioneer 10 v iniziale 10 km/s Direzione del moto di Giove v finale km/s

72 Dunque il pianeta “afferra” la sonda e la rilancia fornendogli energia: per analogia
proprio col fenomeno della fionda, questo meccanismo viene detto fionda gravitazionale Nell’accelerare la sonda il pianeta fornisce parte della sua energia, rallentando il proprio moto. Tuttavia, a causa dell’enorme disparità tra la massa della sonda e quella del pianeta, quest’ultimo rallenta in maniera impercettibile e possiamo dire che continua a muoversi come se niente fosse successo.

73 Gli urti di norma sono classificati a seconda che si conservi o non si conservi l’energia
cinetica. Quando l’energia cinetica si conserva, l’urto è definito urto elastico Altrimenti, se l’energia cinetica non si conserva, l’urto è definito urto anelastico

74 Qualitativamente: Urto elastico: oltre alla Quantità di moto, si conserva l’energia cinetica ΔK =  ½ m1 v12 = ½ m2 v22 Urto anelastico: La Quantità di moto si conserva, ma l’energia cinetica NO −ΔK  per esempio per dissipazione in energia termica

75 Un altro esempio di urto anelastico può anche essere il caso in cui i due corpi
restano attaccati. In questo caso è definito urto completamente anelastico Il termine completamente anelastico non vuol dire che tutta l’energia cinetica viene dissipata, ma ne viene dissipata piuttosto la massima consentita dalla conservazione della quantità di moto

76 Quindi, occorre considerare con particolare attenzione quei casi in cui sembra che ogni velocità
si sia completamente annullata (violando apparentemente la conservazione della quantità di moto). Per esempio, come commentereste l’esempio di seguito ? Qui sembrerebbe che tutta l’energia cinetica si sia dissipata nel riscaldamento della biglia, dato che tutte le velocità si sarebbero annullate e che di conseguenza la legge di conservazione della quantità di moto non sia stata rispettata. In realtà non è vero: la biglia ha trasmesso quantità di moto alla massa del muro (ancorato a terra), solo che dato il rapporto fra e masse questa velocità è piccolissima.

77 TRATTIAMO ADESSO IL CASO PIU’ GENERALE
Cominciamo adesso col discutere più a fondo gli urti elastici unidimensionali (di cui abbiamo già visto sin dalla prima lezione qualche caso particolare) TRATTIAMO ADESSO IL CASO PIU’ GENERALE Cioè trattiamo il caso in cui tutte e due le biglie hanno una certa velocità inziale La velocità iniziale delle due biglie potrà essere nello stesso verso come nell’esempio illustrato, così da dare luogo all’urto come in «un inseguimento», o potrà essere di verso opposto, così da dare luogo ad un urto frontale.

78 m1 m2 velocità = u1 velocita = u2 velocità = v1 velocità = v2
Prima dell’urto (velocità u) velocità = u1 velocita = u2 Dopo l’urto (velocità v) velocità = v1 velocità = v2

79 m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 ½ m1u12 + ½ m2u22 = ½ m1v12 + ½ m2v22
In base alle Leggi di Conservazione che abbiamo studiato potremo scrivere: Prima dell’urto Dopo l’urto Conservazione della Quantità di Moto m1u1 + m2u = m1v1 + m2v2 Conservazione della Energia Cinetica (Urto elastico) ½ m1u12 + ½ m2u22 = ½ m1v12 + ½ m2v22

80 m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 ½ m1u12 + ½ m2u22 = ½ m1v12 + ½ m2v22
L’equazione per la quantità di moto: m1u1 + m2u = m1v1 + m2v2 si può scrivere: m1 (u1 − v1) = m2 (v2 −u2 ) e quella per l’energia cinetica: ½ m1u12 + ½ m2u22 = ½ m1v12 + ½ m2v22 m1(u12 − v12) = m2(v −u22 )

81 (u12 − v12) / (u1 − v1) = (v22 −u22 ) / (v2 −u2 )
Dividendo l’equazione m1(u12 − v12) = m2(v −u22 ) per l’equazione m1 (u1 − v1) = m2 (v2 −u2 ) si ha (u12 − v12) / (u1 − v1) = (v −u22 ) / (v2 −u2 ) cioè: (u1 − v1) x (u1 + v1) / (u1 − v1) = (v2 −u2 ) x (v2 + u2 ) / (v2 −u2 ) u1 + v1 = v2 + u2 Cioè la somma delle velocità della massa m1 prima e dopo l’urto è uguale alla somma delle velocità prima e dopo l’urto della massa m2

82 u1 + v1 = v2 + u2 u1 − u2 = v2 − v1 Questa equazione:
può anche essere scritta: u1 − u2 = v2 − v1 Cioè le differenze di velocità di ognuna delle due biglie prima e dopo l’urto sono eguali e contrarie.

83 Per determinare le velocità v1 e v2 delle due biglie dopo l’urto, note le velocità prima
dell’urto u1 e u2, possiamo usare una delle due equazioni precedenti. Per esempio, utilizzando la: u1 + v1 = v2 + u2 scriveremo: v2 = u1 + v1 − u2 Introducendo questa equazione nella precedente: m1 (u1 − v1) = m2 (v2 −u2 ) si ricava: m1 (u1 − v1) = m2 (u1 + v1 −2u2 )  m1u1− m1v1 = m2 u1 + m2 v1 − 2 m2u2

84 m1u1− m1v1 = m2 u1 + m2 v1 − 2 m2u2 m1u1 + 2 m2u2 − m2 u1 = m2 v1 +m1v1 m1u1 + m2 (2u2 − u1) = v1 (m2 +m1) v1 = [ m1u1 + m2 (2u2 − u1) ] / (m2 +m1) v1 = m1u1/ (m2 +m1) m2 2u2 / (m2 +m1) − u1/ (m2 +m1) v1 = u1 [m1/ (m2 +m1) − 1/ (m2 +m1) ] + m2 2u2 / (m2 +m1)

85 v1 = u1 (m1 − m2) / (m1 +m2) + u2 2 m2 / (m1 +m2)
Da cui si ricava: v = u1 (m1 − m2) / (m1 +m2) + u2 2 m2 / (m1 +m2) E analogamente per v2 si ricava: v2 = u1 2 m1 / (m1 +m2) + u2 (m2 − m1) / (m1 +m2) Un caso particolare: m1 = m2 Risulta: v = u2  velocità finale particella 1 = velocità iniziale particella 2 v2 = u  velocità finale particella 2 = velocità iniziale particella 1 Cioè se m1 = m2 le due particelle si scambiano le velocità

86 v1 = 0  la prima particella si ferma
Un altro caso interessante è quello in cui la particella m2 è inizialmente ferma, cioè u2 = 0 In questo caso risulta: v1 = u1 (m1 − m2) / (m1 +m2) v2 = u1 2 m1 / (m1 +m2) Se allo stesso tempo m1 = m2 si ottiene v1 =  la prima particella si ferma v2 = u  la seconda particella scatta via con la sua velocità Se invece m2 >> m1 (particella ferma MOLTO più massiva di quella incidente) si ha: v1 ≈ −u1  la prima particella, quella incidente, rimbalza circa con la stessa velocità (caso della palla che cade per terra) v2 ≈ 0  la seconda particella, quella ferma e molto massiva, non si muove (caso della terra colpita dalla palla)

87 v1 ≈ u1  la velocità della particella pesante rimane invariata
Se infine si ha m2 << m1 (particella ferma MOLTO più leggera di quella incidente) si ha: v1 ≈ u  la velocità della particella pesante rimane invariata v2 ≈ 2u  la velocità con cui schizza via la particella leggera che era ferma è il doppio della velocità della biglia pesante incidente. Alla luce di queste formule che derivano dalla applicazione congiunta della Conservazione della Quantità di Moto e della Conservazione dell’Energia Cinetica, ci rendiamo conto che gli esperimenti pensati durante le prime lezioni non tenevano in conto la «velocità residua» della biglia incidente, che seppure in molti casi può essere minima, esiste comunque a meno che le due biglie non abbiano la stessa massa.

88 m1 ≥ m2 Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:
si ferma solo se ha rigorosamente la stessa massa della biglia bersaglio prosegue alla sua stessa velocità solo se è MOLTO più massiva della biglia bersaglio se ha una massa intermedia manterrà una certa velocità inferiore a quella iniziale Negli esperimenti simulati che abbiamo visto durante le prime lezioni infatti, NON ci eravamo preoccupati della velocità residua della biglia incidente

89 m1 ≤ m2 Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:
si ferma solo se ha la stessa massa della biglia bersaglio Rimbalza indietro con la sua stessa velocità cambiata di segno solo se è MOLTO più leggera della biglia bersaglio se ha una massa intermedia avrà un lieve rimbalzo ma non sarà del tutto ferma Negli esperimenti simulati che abbiamo visto durante le prime lezioni infatti, NON ci eravamo preoccupati della velocità residua della biglia incidente

90 Riassumendo: Nel caso di biglie di massa differente, il caso in cui una biglia incidente su una biglia ferma si ferma anch’essa, cedendo tutta la sua quantità di moto alla biglia ferma, non violerebbe la Legge di Conservazione della Quantità di Moto. Cioè: gli esperimenti che avevamo immaginato in cui la biglia incidente si ferma sempre anche se le due masse sono differenti, NON violano la conservazione della quantità di moto, ma semplicemente non è così che le cose vanno in natura: l’applicazione congiunta della Conservazione della Quantità di Moto e della Conservazione dell’Energia Cinetica vieta che la biglia incidente si fermi a meno che le due masse non siano equali.