LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA

LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA
La misura in geometria 1° incontro: 28 febbraio 2017 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Grandezza nel linguaggio comune
Sagome di foglie di varia grandezza Bambole in fila in ordine di grandezza La grandezza di un uomo Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Frasi celebri…sulla misura
Ci sono soltanto due possibili conclusioni: se il risultato conferma le ipotesi, allora hai appena fatto una misura; se il risultato è contrario alle ipotesi, allora hai fatto una scoperta. Enrico Fermi (fonte sconosciuta) I centimetri si possono sempre addizionare? Non si può saltare un baratro di mezzo metro con due salti da venticinque centimetri. Proverbio americano Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

A DOMANDA … RISPONDI Che cosa intendi per grandezze matematiche?
Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze? Che cosa intendi per grandezze omogenee? Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze omogenee? Che cosa significa misurare una grandezza? Sapreste rispondere senza dubbi a queste domande? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Le grandezze: il punto di vista della matematica
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) In matematica la teoria delle grandezze ha un’impostazione assiomatica, nella quale il concetto di grandezza è assunto come concetto primitivo, privo di definizione esplicita, caratterizzato da alcuni assiomi. Sia G un insieme i cui elementi sono detti grandezze omogenee. Si assumono come ipotesi a fondamento della teoria i seguenti assiomi: A1) In G è definita una relazione, detta uguaglianza e indicata con il simbolo =, che ha le proprietà - riflessiva: ogni elemento a di G è uguale a se stesso a = a - simmetrica: se a è uguale a b, allora b è uguale ad a a = b  b = a - transitiva: se a è uguale a b e b è uguale a c, allora a è uguale a c a = b e b = c  a = c Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) L’uguaglianza a cui si fa riferimento assume un significato diverso in base alla particolare classe di grandezza esaminata e il suo sussistere può essere verificato con tecniche specifiche. Per esempio, se G è l’insieme delle lunghezze, per stabilire se due lunghezze sono uguali si opera il trasporto rigido: la lunghezza a di un segmento è uguale alla lunghezza b di un altro segmento se i due segmenti sono sovrapponibili mediante un movimento rigido. Se si tratta del peso, per stabilire l’eventuale uguaglianza si ricorre al posizionamento dei due corpi di cui si confronta il peso ciascuno su un piatto di una bilancia. Per constatare se due corpi hanno la stessa temperatura si può osservare se due colonnine di mercurio raggiungono la medesima altezza in un tubicino capillare (termoscopio), quando esse sono poste a contatto con ciascuno dei due corpi. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Peso e/o massa? Sono sinonimi? ..….Hanno la stessa unità di misura? ..... NO NO PESO MASSA Un tempo la massa si definiva come la quantità di materia che costituisce un corpo. Più rigorosa è la definizione che ne dà la fisica: la massa di un corpo è la misura della sua inerzia, cioè della resistenza che il corpo oppone a tutte le variazioni del suo stato di quiete o di moto. La massa di un corpo è una costante del corpo stesso. Non varia al variare della posizione del corpo nello spazio; non varia al variare della temperatura del corpo. L’unità di misura della massa è il chilogrammo. In fisica la forza-peso (o più semplicemente peso) è la forza che un campo gravitazionale (ad esempio quello terrestre) esercita su un corpo avente massa. La forza-peso descrive quindi l'interazione gravitazionale che agisce tra due oggetti qualsiasi dotati di massa. La forza peso è stata definita da Isaac Newton nel 1687. Come ogni altra forza, la forza peso si misura in newton (N) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) A2) In G è definita un’operazione, detta addizione ed indicata con +, che associa ad ogni coppia ordinata di elementi a, b di G un terzo elemento c , chiamato somma ed indicato con il simbolo c = a + b Questa operazione deve avere le medesime proprietà dell’addizione tra numeri naturali: - proprietà commutativa: a + b = b + a - proprietà associativa: a + (b + c) = (a + b) + c - esistenza dell’elemento neutro, detto grandezza nulla e indicato con 0: 0 + a = a + 0 = a Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Anche l’addizione assume un significato specifico in relazione all’insieme di grandezze considerato. Nel caso della lunghezza, se a è la lunghezza di un segmento AB e b è la lunghezza del segmento BC, adiacente ad AB, allora c somma di a con b è la lunghezza del segmento AC. Nel caso della temperatura non ha, invece, senso l'operazione di addizione: se si mescola dell’acqua a 10°C con dell’acqua a 15°C, si ha acqua la cui temperatura non è la somma delle temperature, anzi ha un valore compreso tra 10°C e 15°C. Ne segue che la temperatura non può essere considerata una grandezza, secondo questa impostazione assiomatica. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) L’addizione introdotta per via assiomatica permette di definire nell’insieme G una relazione: una grandezza a è non minore di una grandezza b, in simboli a ≥ b se esiste in G una grandezza c tale che sia a = b + c Dalla definizione si dimostra facilmente che la relazione è - riflessiva: ogni grandezza è non minore di se stessa a ≥ a - antisimmetrica: se a è non minore di b e b è non minore di a, allora a è uguale a b a ≥ b e b ≥ a  a = b - transitiva: se a è non minore di b e b è non minore di c, allora a è non minore di c a ≥ b e b ≥ c  a ≥ c . La relazione è, dunque, una relazione d’ordine largo; Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Si dimostra, inoltre, che la grandezza nulla, elemento neutro della addizione, è unica. Ne consegue che è anche possibile definire la sottrazione tra grandezze: se la grandezza a è non minore della grandezza b (a ≥ b) si chiama differenza di a con b la grandezza c indicata con c = a  b tale che a = b + c. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Sempre a partire dall’addizione è possibile definire il multiplo di un dato elemento dell'insieme G secondo un numero naturale n; considerata una grandezza a e un numero naturale n, il multiplo di a secondo n viene indicato con na In generale, se n  2 la grandezza multiplo di a secondo n è la somma di a con se stessa n volte na = a + a a . n volte Si dimostra che qualunque siano la grandezza a e il numero naturale n, il multiplo di a secondo n è non minore di a na  a. Questa proprietà non è valida se si considera l’ampiezza degli angoli, per cui l’ampiezza di un angolo non può essere denominata grandezza nel senso del termine dato da questa impostazione assiomatica (si veda Nel mondo della geometria volume 2 da pag. 103 a pag.113). Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Un assioma importante è quello che garantisce la possibilità di “suddividere” in un numero qualsiasi di parti uguali una grandezza: A 4) Data una grandezza a  0 e un numero naturale n  0, esiste una ed una sola grandezza b tale che a sia multipla di b secondo n, ossia a = nb. La grandezza b dell’assioma viene detta sottomultiplo di a secondo n e viene indicata anche con b = a = . L’assioma afferma l’esistenza di sottomultipli di una grandezza piccoli a piacere. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) GRANDEZZE COMMENSURABILI GRANDEZZE INCOMMNESURABILI Consideriamo un insieme G di grandezze; diciamo che due grandezze a e b sono fra loro commensurabili quando hanno un sottomultiplo comune, cioè quando esiste una grandezza c tale che a = nc e b = mc - incommensurabili se non hanno un sottomultiplo comune. La scoperta delle grandezze incommensurabili viene attribuita storicamente alla scuola Pitagorica: con il teorema di Pitagora si dimostra, infatti, che la lunghezza del lato di un quadrato e la lunghezza della relativa diagonale non hanno un sottomultiplo comune. Un altro esempio di coppia di grandezze incommensurabili è data dalla lunghezza della circonferenza e di quella del relativo diametro. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

GRANDEZZE COMMENSURABILI
Consideriamo due coppie di segmenti. La prima composta dai segmenti AB e BD tali che AB=3BD A B C D La seconda composta da C’D’ e E’F’ tali che C’D’ =3A’B’ e E’F’ = 4A’B’ C’ D’ E’ F’ A’ B’ Nei due casi esiste un terzo segmento che è contenuto un numero intero di volte in ognuna delle coppie. Nel primo caso questo segmento è AB che è contenuto 3 volte in CD e una volta in AB; nel secondo caso il segmento A’B’ è contenuto 3 volte in C’D’ e 4 volte in E’F’. I segmenti AB e CD e così pure C’D’ e E’F’ ammettono un sottomultiplo comune. Diremo che le coppie AB e CD e C’D’ e E’F’ sono commensurabili. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Grandezze incommensurabili
Due grandezze si dicono incommensurabili se non ammettono una sottomultipla comune. Il rapporto tra due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale (numero decimale illimitato non periodico) I NUMERI RAZIONALI ED I NUMERI IRRAZIONALI SI DICONO NUMERI REALI. Dicesi misura di una grandezza A rispetto ad un’altra U omogenea con A, il numero reale a che esprime il rapporta A/U =a Quindi A= aU; se U è l’unità di misura (per es. 1m) allora A=am Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017
Sono grandezze incommensurabili la diagonale di un quadrato ed un suo lato Così pure Il lato e l’altezza di un triangolo equilatero Il lato e l’apotema dell’esagono regolare La circonferenza ed il suo raggio ESERCIZIO: Verifica che il rapporto fra l’altezza e il lato di un triangolo equilatero è il numero irrazionale Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ACH si ha: Ma A H B CH2 = AC2 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Grandezze e misura: quadro teorico
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) La misura è intrinsecamente connessa con la vita quotidiana si quantifica il tempo e il suo scorrere il peso, la quantità di spazio… il valore delle cose l’affinità tra le persone, … il quoziente di intelligenza Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) “Quando voi potete misurare ed esprimere in numeri ciò di cui state parlando, solo allora sapete effettivamente qualcosa; ma quando non vi è possibile esprimere numericamente l’oggetto della vostra indagine, insoddisfacente ne è la vostra conoscenza e scarso il vostro progresso dal punto di vista scientifico”. Lord Kelvin (Sir William Thomson, 1824 – 1907) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Sempre più la misura la fa da padrona in molti campi, anche non appartenenti alle scienze sperimentali. Ma “frequenza d’uso” non è sinonimo di facilità Infatti è necessario definire il significato del termine misura circoscrivere l’ambito di stretta pertinenza della misura OSSIA individuare ciò che può essere misurato. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Cunietti (1990/1991: 45) rileva che “la misura riguarda sì la realtà fisica, concreta, ma contemporaneamente il modello mentale che questa realtà vuole rappresentare […] Perciò la misura partecipa di vari ambiti: quello concreto della realtà, quello astratto e mentale […] dell’interpretazione della conoscenza di questa realtà, quello nuovamente concreto, ma di derivazione totalmente umana, della tecnica”. La definizione di misura comporta, quindi, la precisazione del punto di vista da cui viene formulata. Quello che si può affermare in generale è che la misura quantifica, attraverso convenzioni fissate dall’uomo, qualità degli enti e degli oggetti denominate grandezze, “non ne scopre nulla di intrinseco […] ma inventa un numero che quella grandezza descrive entro certi limiti e sotto certe condizioni” Il concetto di misura rimanda, quindi, al concetto di grandezza. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Indagine sulle conoscenze pregresse
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) da pag. 55 a pag. con bambini di 7-8 anni prima di avviare il percorso sulla premisura Le esperienze sulla misura sono frequenti nella quotidianità degli alunni, così come l’uso di parole relative a grandezze e unità di misura. Per la progettazione di un itinerario didattico che assuma le conoscenze pregresse come oggetto di approfondimento, revisione, formalizzazione, precisazione, si ritiene quanto mai opportuno effettuare un’indagine su tali conoscenze. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Che cos’è, secondo voi, la misura?
È una cosa che serve per misurare le case, le strade, la pressione delle gomme, la pressione della nonna. Si misura il pane con la bilancia. 1.a) Che cosa si misura del pane? Quanto è pesante. Si misura la febbre. Anche l’aria se è calda o fredda. Si misura il tempo: i minuti, i secondi, le ore. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Il mio papà ha misurato il tavolo per comprarne uno più grande. 1.b) Come ha fatto il papà? Ha preso il metro e ha cominciato dove comincia il tavolo ed è andato fino alla fine, ha detto alla mamma 120, ne vuole comprare uno più grande. 1.c) A che cosa serve la misura che ha preso? La dice al venditore, lui gliene dà uno più lungo. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

La mia mamma mi misura quanto sono lunga per comperarmi una tuta. Anche la bilancia della dottoressa misura quanto sei alto e anche quanto pesi. A casa mia si misurano i mobili per vedere se ci stanno nella casa nuova. C’è anche la misura dei vestiti e delle scarpe per sapere quale comprare giusta per la tua misura. Io ho la media. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Avete detto molte cose che si possono misurare: la lunghezza di una persona per fare un vestito, la febbre, il caldo e il freddo, queste cose si misurano tutte adoperando lo stesso strumento? Non si può misurare tutto allo stesso modo; bisogna usare cose diverse che vanno bene. 2.a) Come si fa a sapere se vanno bene? Si sa: per la febbre c’è il termometro, per i vestiti c’è il metro, per il pane c’è la bilancia. Quando giochi a bocce misuri per vedere chi è più vicino e chi è più lontano dal boccino. C’è un’asta apposta con su i numeri: chi fa il numero più piccolo è il più vicino. Io quando gioco misuro con i piedi e conto i passi: se uno è tre e l’altro è quattro, ha vinto il tre perché è più vicino. Il metro si usa per misurare quanto è lungo qualcosa. Si può misurare con le mani, con un bastoncino, con la matita. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Perché si adoperano cose diverse?
Si adoperano cose diverse perché i viventi si pesano sulla bilancia, come dalla dottoressa, per il tavolo che non è vivente si adopera il metro. Non è vero, perché mia mamma misura quanto sono cresciuto e adopera il metro. Prima fa un segno sulla mattonella dove arrivo e poi misura. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Perché si misura? Perché il tavolo è largo tre metri e se non lo misuri non sai la vera misura. Se non misuri il latte dei bambini gliene dai troppo e stanno male. Per sapere quanto è la lunghezza o il peso di una cosa. La misura ti fa sapere qualche cosa di più di una cosa che prima non sapevi. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Sottolinea le proprietà che possono essere misurate, cioè che sono grandezze (da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi La bellezza di un tramonto. La lunghezza di una strada. La facilità di un esercizio di matematica. L’estensione di un campo da rugby. La bontà di un dolce. Lo spessore di un foglio di quaderno. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false (da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi V F Tutte le grandezze possono essere misurate. L’aroma di un fungo è una grandezza L’altezza di un grattacielo e la lunghezza di un piede sono grandezze omogenee. 10 minuti di cammino e un anno-luce sono grandezze omogenee. Il tempo dedicato allo studio e l’età di una persona sono grandezze eterogenee. Per misurare una grandezza si deve fissare un’unità di misura omogenea con la grandezza data. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) AREA LUNGHEZZA ESEMPI DI GRANDEZZE INTERVALLI DI TEMPO VOLUME MASSA Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Riflettiamo… Misurare è un problema perché … è certo che si commettono errori diverso è misurare nelle scienze sperimentali dal misurare in matematica Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

È impossibile determinare la misura “vera” di una grandezza
ogni misura è affetta da errore Teoria degli errori Errori casuali causati da molteplici fattori (vibrazioni,…) non eliminabili sia in eccesso sia in difetto Errori sistematici difetti negli strumenti eliminabili o in eccesso o in difetto Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Qualche esempio: Se si usa una bilancia con la sensibilità al grammo, è necessario esprimere le misure di massa fino alla cifra dei grammi: 3,46 hg ,235 kg ,0 dag La scrittura 7,0 dag letta in matematica ha uno 0 “inutile”: 7,0 dag = 7 dag nelle scienze sperimentali contiene indicazione della sensibilità dello strumento l’equivalenza 15 kg = g è corretta dal punto di vista matematico scorretta dal punto di vista sperimentale: 15,000 kg = g l’equivalenza 600 g = 0,6 kg è corretta dal punto di vista matematico e da quello sperimentale Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

ENTE (GEOMETRICO) GRANDEZZA (qualità estensiva) MISURA
Tre sono i “livelli” attraverso relazione di equivalenza fissata unità di misura ENTE (GEOMETRICO) GRANDEZZA (qualità estensiva) MISURA segmento (linea limitata) numero lunghezza congruenza poligono (figura piana limitata) numero area equiestensione angolo ampiezza numero congruenza figura solida volume numero equiestensione Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

È giusto o sbagliato dire … Il lato di un quadrato misura 5 cm ? L’area di un triangolo misura 38 m2 ? Il perimetro di un rettangolo è lungo 20 cm ? L’angolo retto misura 90° ? Il volume di un cubo è 64 cm3 ? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

un simbolo per indicare l’ente geometrico
I tre diversi “livelli” andrebbero distinti non solo verbalmente, ma anche simbolicamente: un simbolo per indicare l’ente geometrico un altro simbolo per indicare la grandezza associata all’ente un altro simbolo per indicare la misura della grandezza rispetto ad una certa unità fissata Segmento: AB Lunghezza del segmento: [AB] = 12 cm Un segmento AB è lungo 12 cm Misura, in centimetri, della lunghezza del segmento: [AB]cm = 12 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Il soggetto è un ente geometrico Sbagliato! Il verbo fa riferimento a un numero Il lato di un quadrato misura 5 cm È una lunghezza, quindi una grandezza Formulazioni corrette: Il lato di un quadrato è lungo 5 cm La lunghezza del lato di un quadrato è 5 cm La misura, in centimetri, della lunghezza del lato di un quadrato è 5 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Il soggetto è una grandezza Sbagliato! Il verbo fa riferimento a un numero L’area di un triangolo misura 38 m2 È un’area, quindi una grandezza Formulazioni corrette: L’area di un triangolo è 38 m2 Un triangolo ha area 38 m2 La misura, in metri quadrati, dell’area di un triangolo è 38 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Il soggetto è una grandezza Sbagliato! Il predicato esprime una proprietà del soggetto Il perimetro di un rettangolo è lungo 20 cm È una lunghezza, quindi una grandezza Formulazioni corrette: Il perimetro di un rettangolo è 20 cm Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

È un’ampiezza, quindi una grandezza Il soggetto è un ente geometrico Sbagliato! L’angolo retto misura 90° Il verbo fa riferimento a un numero Formulazioni corrette: L’angolo retto è ampio 90° L’ampiezza dell’angolo retto è 90° La misura, in gradi, dell’angolo retto è 90 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

È una grandezza Giusto! Il volume di un cubo è 64 cm3 È una grandezza (la stessa) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA

Presentazioni simili

Presentazione sul tema: "LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA"— Transcript della presentazione:

Presentazioni simili

Sul progetto

Feed-back

Entrare

Autorizzarsi attraverso i social network:

LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA

Presentazioni simili

Presentazione sul tema: "LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA"— Transcript della presentazione:

Presentazioni simili

Sul progetto

Feed-back