La scelta del Portafoglio ottimale e Il Capital Asset Pricing Model

La scelta del Portafoglio ottimale e Il Capital Asset Pricing Model
Capitolo 11 La scelta del Portafoglio ottimale e Il Capital Asset Pricing Model © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Contenuti del capitolo
11.1 Il rendimento atteso di un portafoglio 11.2 La volatilità di un portafoglio composto da due azioni 11.3 La volatilità di un portafoglio composto da molte azioni 11.4 Rischio e rendimento: la scelta di un portafoglio efficiente 11.5 Prendere e dare denaro a prestito al tasso risk–free 11.6 Portafoglio efficiente e rendimenti richiesti © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Contenuti del capitolo (continua)
11.7 Il Capital Asset Pricing Model 11.8 La determinazione del premio per il rischio Appendice © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Obiettivi di apprendimento
Dato un portafoglio di azioni, comprese le partecipazioni in ogni titolo e il rendimento atteso di ogni titolo, calcolare quanto segue: peso di portafoglio di ciascun titolo (equazione 11.1) rendimento atteso del portafoglio (equazione 11.3) covarianza di ogni coppia di titoli in portafoglio (equazione 11.5) coefficiente di correlazione di ogni coppia di titoli in portafoglio (equazione 11.6) varianza del portafoglio (equazione 11.8) deviazione standard del portafoglio Calcolare la varianza di un portafoglio uniformemente pesato, usando l’Eq Descrivere il contributo di ciascun titolo al portafoglio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Obiettivi di apprendimento (continua)
Usare la definizione di portafoglio efficiente del capitolo 10 per descrivere la frontiera efficiente. Spiegare come un singolo investitore sceglierà dall’insieme di portafogli efficienti. Descrivere cosa si intende per vendita allo scoperto, ed illustrare come la vendita allo scoperto estenda l'insieme di portafogli possibili. Spiegare l'effetto della combinazione di un titolo privo di rischio con un portafoglio di attività rischiose, e calcolare il rendimento atteso e la volatilità di tale combinazione. Illustrare il motivo per cui la combinazione di rischio- rendimento di un investimento privo di rischio e un portafoglio rischioso è rappresentata da una linea retta. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Definire l'indice di Sharpe, e spiegare come possa aiutare ad identificare il portafoglio con il massimo rendimento atteso possibile per ogni livello di volatilità, e come queste informazioni possano essere utilizzate per identificare la tangenza (efficienza) del portafoglio. Calcolare il beta di un investimento con il portafoglio. Utilizzare il beta di un titolo, il rendimento atteso di un portafoglio, e il tasso privo di rischio per capire se acquistare azioni di tale titolo migliorerà la performance del portafoglio. Spiegare perché il rendimento atteso deve essere uguale al rendimento richiesto. Utilizzare il tasso privo di rischio, il rendimento atteso del portafoglio efficiente(tangente), e il beta di un titolo con il portafoglio efficiente per calcolare il premio per il rischio di un investimento. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Elencare le tre ipotesi principali alla base del Capital Asset Pricing Model. Spiegare perché il CAPM implica che il portafoglio di mercato di tutti i titoli rischiosi coincida con il portafoglio di mercato. Confrontare la Capital Market Line con la Security Market Line. Definire il beta di un titolo e di portafoglio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.1 Il rendimento atteso di un portafoglio
Pesi del portafoglio Le quote dell’investimento totale corrispondenti a ogni singolo investimento compreso nel portafoglio. La somma dei pesi del portafoglio deve essere pari a 1 o al 100%. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.1 Il rendimento atteso di un portafoglio (continua)
Il rendimento del portafoglio, RP , è la media ponderata dei rendimenti dei singoli investimenti del portafoglio, dove i pesi corrispondono alle quote di ciascun investimento nel portafoglio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio 11.1 del libro (continua)
© 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.1 Il rendimento atteso di un portafoglio (continua)
Il rendimento atteso del portafoglio è la media dei rendimenti attesi degli investimenti che lo compongono, ponderata ai relativi pesi nel portafoglio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Esempio alternativo 11.2 Problema
Supponete che il vostro portafoglio sia costituito da $ di azioni Intel e $ di azioni ATP Oil and Gas. Il rendimento atteso è il 18% per Intel e il 25% per ATP Oil and Gas. Qual è il rendimento atteso del portafoglio? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 15

Esempio alternativo 11.2 (continua)
Soluzione Portafoglio complessivo = $ = $60.000 Pesi del portafoglio Intel: $ ÷ $ = 0,4167 ATP: $ ÷ $ = 0,5833 Rendimento atteso E[R] = (0,4167)(0,18) + (0,5833)(0,25) E[R] = 0, , = 0, = 22,1% © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 16

11.2 La volatilità di un portafoglio composto da due azioni
Combinare i rischi © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.2 La volatilità di un portafoglio composto da due azioni (continua)
Combinare i rischi Le tre azioni della precedente tabella hanno la stessa volatilità e lo stesso rendimento medio, ma la struttura dei loro rendimenti differisce. Per esempio, quando le azioni delle compagnie aeree mostrano buone performance, le azioni delle compagnie petrolifere presentano risultati scadenti, e quando le compagnie aeree non hanno un buon andamento, le azioni petrolifere si dimostrano redditizie. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Combinare i rischi Consideriamo il portafoglio formato dalle azioni West Air e Tex Oil con lo stesso peso. Il rendimento medio del portafoglio è uguale al rendimento medio delle due azioni. Tuttavia, la volatilità del 5,1% per il portafoglio è molto inferiore alla volatilità delle due singole azioni. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Combinare i rischi Combinando le azioni in un portafoglio, si riduce il rischio grazie alla diversificazione. L’entità del rischio eliminato in un portafoglio dipende dal grado in cui le azioni fronteggiano i rischi comuni e dal modo in cui i loro prezzi si muovono insieme. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Determinazione di covarianza e correlazione
Al fine di determinare il rischio di un portafoglio, occorre conoscere la misura in cui i rendimenti delle azioni si muovono insieme. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Determinazione di covarianza e correlazione (continua)
Il prodotto atteso degli scarti di due rendimenti dalle loro medie. Covarianza tra i rendimenti Ri e Rj Stima della covarianza da dati storici Se la covarianza è positiva, i due rendimenti tendono a muoversi insieme. Se la covarianza è negativa, i due rendimenti tendono a muoversi in direzioni opposte. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Determinazione di covarianza e correlazione (continua)
Una misura del rischio comune condiviso da azioni che non dipende dalla loro volatilità La correlazione tra due azioni sarà sempre compresa tra –1 e +1. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Calcolo della varianza e della volatilità del portafoglio
Per un portafoglio di due azioni: Varianza di un portafoglio di due azioni © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Continuiamo con l’Esempio alternativo 11.2: Supponete che la deviazione standard annua del rendimento sia il 43% per Intel e il 68% per ATP Oil and Gas. Se la correlazione tra Intel e ATP è 0,49, qual è la deviazione standard del portafoglio? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 38

11.3 La volatilità di un portafoglio composto da molte azioni
La varianza di un portafoglio equivale alla covarianza media ponderata di ogni azione con il portafoglio: che si riduce a: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

La diversificazione in un portafoglio uniformemente pesato
Un portafoglio in cui viene investito lo stesso importo per ogni azione Varianza di un portafoglio uniformemente pesato di n azioni © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Figura 11.2 Volatilità di un portafoglio uniformemente pesato.

Diversificazione di portafogli generici
Per un portafoglio con pesi a scelta, la deviazione standard si calcola come segue: Volatilità di un portafoglio con pesi a scelta A meno che tutte le azioni mostrino una perfetta correlazione positiva di +1 l’una con l’altra, il rischio del portafoglio sarà più basso rispetto alla media ponderata delle volatilità delle singole azioni: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.4 Rischio e rendimento: la scelta di un portafoglio efficiente
Portafoglio efficiente con due azioni Individuazione di portafogli non efficienti Nel caso di un portafoglio non efficiente è possibile trovare un altro portafoglio migliore sia in termini di ritorno atteso che di volatilità. Individuazione di portafogli efficienti Ricordiamo dal Capitolo 10 che in un portafoglio efficiente non vi è modo di ridurre la volatilità del portafoglio senza ridurre il suo rendimento atteso. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.4 Rischio e rendimento: la scelta di un portafoglio efficiente (continua)
Portafoglio efficiente con due azioni Consideriamo un portafoglio di Intel e Coca-Cola © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Figura 11.3 Volatilità e rendimento atteso di portafogli di titoli Intel e Coca-Cola.

11.4 Rischio e rendimento: la scelta di un portafoglio efficiente (continua)
Portafoglio efficiente con due azioni Supponiamo di investire il 100% in azioni Coca-Cola. Come è mostrato nella diapositiva precedente, altri portafogli – come quello con il 20% di azioni Intel e l’80% di azioni Coca-Cola – pongono l’investitore in una posizione migliore sotto due punti di vista: presentano un più alto rendimento atteso e hanno una volatilità più bassa. Di conseguenza, investire solamente in azioni Coca-Cola non è una buona scelta. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

L’effetto della correlazione
La correlazione non ha alcun effetto sul rendimento atteso di un portafoglio. Tuttavia, la volatilità del portafoglio varierà a seconda della correlazione. Minore è la correlazione, minore sarà la volatilità che potremo ottenere. Al diminuire della correlazione, la volatilità del portafoglio diminuisce. La curva che rappresenta i portafogli si piega maggiormente a sinistra, come è mostrato nella diapositiva seguente. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Vendite allo scoperto Posizione lunga Posizione corta
Un investimento positivo in un titolo Posizione corta Un investimento negativo in un titolo In una vendita allo scoperto si vende un’azione che non si possiede, comprandola poi nel futuro. La vendita allo scoperto è una strategia vantaggiosa se ci si aspetta che il prezzo dell’azione diminuisca in futuro. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Figura 11.5 Portafogli di Intel e Coca-Cola con possibilità di vendite allo scoperto.

Portafogli efficienti con molte azioni
Supponiamo di aggiungere Bore Industries al portafoglio di due azioni: Nonostante Bore abbia un rendimento inferiore e la stessa volatilità di Coca-Cola, potrebbe comunque essere vantaggioso aggiungere Bore al portafoglio per le opportunità di diversificazione che ciò fornisce. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Rischio e rendimento a confronto: portafogli con molte azioni
I portafogli efficienti – quelli che offrono il più alto rendimento atteso per un dato livello di volatilità – sono quelli sul bordo nordovest della regione ombreggiata nella Figura 11.7, che chiamiamo la frontiera efficiente delle tre azioni. In questo caso, nessuna delle azioni si trova sulla frontiera efficiente, perciò non sarebbe una scelta efficiente quella di investire tutto il denaro a disposizione su un singolo titolo. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Figura 11.8 Frontiera efficiente con tre e dieci titoli.

11.5 Prendere e dare denaro a prestito al tasso risk-free
Il rischio può anche essere ridotto investendo una parte del nostro denaro in un investimento privo di rischio, come i Buoni del Tesoro. Tuttavia, certamente questo ridurrà il rendimento atteso. Al contrario, un investitore aggressivo che cercasse rendimenti attesi più elevati possibile potrebbe decidere di prendere a prestito denaro da investire sempre nel mercato dei capitali. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Investire in titoli privi di rischio
Consideriamo un certo portafoglio rischioso e guardiamo l’effetto sul rischio e sul rendimento che si ottiene destinando una parte di una somma nel portafoglio e lasciando la rimanente parte in Buoni del Tesoro privi di rischio. Il rendimento atteso è: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Investire in titoli privi di rischio (continua)
La deviazione standard del portafoglio è: Nota: la deviazione standard è soltanto una parte della volatilità del portafoglio rischioso, che dipende dall’ammontare in esso investito. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Acquistare azioni indebitandosi
Acquistare azioni a credito Prendere a prestito denaro da investire in azioni. Un portafoglio composto da una posizione corta su un investimento privo di rischio è detto anche levered. Investire a credito è una strategia rischiosa. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Come individuare il portafoglio tangente
Per ottenere il rendimento atteso più alto possibile per un qualunque livello di volatilità occorre trovare un portafoglio che generi la retta più inclinata possibile, quando è combinato con l’investimento privo di rischio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Come individuare il portafoglio tangente (continua)
Indice di Sharpe Misura il rapporto premio–volatilità fornito da un portafoglio Il portafoglio con l’indice di Sharpe più alto è quello per il quale la semiretta che parte dall’investimento privo di rischio è tangente alla frontiera efficiente degli investimenti rischiosi. Il portafoglio che genera questa tangente è noto come portafoglio tangente. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Figura 11.10 Il portafoglio tangente o efficiente

Le combinazioni dell’attività priva di rischio e del portafoglio tangente forniscono il miglior trade-off rischio–rendimento disponibile per un investitore. Questo significa che il portafoglio tangente è efficiente e che tutti i portafogli efficienti sono combinazioni dell’investimento privo di rischio e del portafoglio tangente. Ogni investitore dovrà investire nel portafoglio tangente indipendentemente dalla sua propensione al rischio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Le preferenze dell’investitore determineranno solo quanto investire nel portafoglio tangente rispetto all’investimento privo di rischio. Gli investitori più prudenti investiranno somme minori, scegliendo un portafoglio sulla retta vicino all’attività priva di rischio. Gli investitori più aggressivi investiranno di più nel portafoglio tangente Entrambi gli investitori sceglieranno di detenere lo stesso portafoglio di attività rischiose, il portafoglio tangente, che è il portafoglio efficiente. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.6 Portafoglio efficiente e rendimenti richiesti
Come migliorare un portafoglio: beta e rendimento richiesto Consideriamo un portafoglio di titoli rischiosi, P. Per determinare se P possiede l’indice di Sharpe più alto possibile, consideriamo se possiamo aumentare l’indice aggiungendo l’investimento i al portafoglio. Il contributo dell’investimento i alla volatilità del portafoglio dipende dal rischio che i ha in comune con il portafoglio stesso, che è misurato dalla volatilità di i moltiplicata per la sua correlazione con P. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.6 Portafoglio efficiente e rendimenti richiesti (continua)
Come migliorare un portafoglio: beta e rendimento richiesto Se aumentassimo l’investimento in i prendendo denaro a prestito, otterremmo il rendimento atteso di i meno il rendimento privo di rischio. Quindi, aggiungendo i al portafoglio P si aumenta l’indice di Sharpe se: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Come migliorare un portafoglio: beta e rendimento richiesto L’aumento dell’investimento in i farà aumentare l’indice di Sharpe del portafoglio P se il suo rendimento atteso E[Ri] eccede il rendimento richiesto ri , che è dato da: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Come migliorare un portafoglio: beta e rendimento richiesto Rendimento richiesto di i Il rendimento atteso necessario per compensare il contributo al rischio del portafoglio dell’investimento i. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Possedete un portafoglio composto da 25 titoli. Prevedete di ottenere un rendimento del 12% e una volatilità del 15%. Un collega vi suggerisce di aggiungere al portafoglio il titolo Gold. Gold ha un rendimento atteso dell’8%, una volatilità del 25% e una correlazione di 0,05 con il vostro portafoglio. Se il tasso di interesse privo di rischio è il 2%, questa aggiunta migliorerebbe l’indice di Sharpe del portafoglio? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 86

Soluzione Il beta di Gold con il vostro portafoglio è: Il rendimento richiesto che rende Gold un investimento appetibile per il vostro portafoglio è: Poichè il rendimento atteso dell’8% è superiore al rendimento richiesto di 2,5%, investire un certo ammontare nel titolo Gold aumenta l’indice di Sharpe del portafoglio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 87

Rendimento atteso e portafoglio efficiente
Rendimento atteso di un titolo Un portafoglio è efficiente se e solo se il rendimento atteso per ogni titolo equivale al suo rendimento richiesto. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

11.7 Il Capital Asset Pricing Model
Il Capital Asset Pricing Model permette di individuare il portafoglio efficiente di attività rischiose senza dover conoscere il rendimento atteso di ogni titolo. Il CAPM utilizza le scelte ottimali effettuate dagli investitori per individuare il portafoglio efficiente come il portafoglio di mercato, cioè il portafoglio di tutte le azioni e titoli presenti sul mercato. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Le ipotesi del CAPM Tre ipotesi principali Ipotesi 1
Gli investitori possono acquistare e vendere tutti i titoli al prezzo di mercato (senza sostenere costi di transazione o pagare imposte) e possono prendere o dare a prestito denaro al tasso di interesse privo di rischio. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Gli investitori detengono solamente portafogli efficienti di titoli scambiati – portafogli che danno il maggiore rendimento atteso per un determinato livello di volatilità. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Gli investitori hanno aspettative omogenee su volatilità, correlazioni e rendimenti attesi dei titoli. Aspettative omogenee: tutti gli investitori effettuano le stesse stime sui futuri investimenti e i futuri rendimenti. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Offerta, domanda ed efficienza del portafoglio di mercato
Date aspettative omogenee, allora tutti gli investitori domanderanno lo stesso portafoglio efficiente di titoli rischiosi. Il portafoglio combinato di titoli rischiosi di tutti gli investitori deve essere uguale al portafoglio efficiente. Se tutti gli investitori domandano il portafoglio efficiente, e l’offerta di titoli è il portafoglio di mercato, allora i due portafogli devono coincidere. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Investimento ottimale: la Capital Market Line
Quando valgono le ipotesi del CAPM, il portafoglio ottimale è una combinazione del titolo privo di rischio e del portafoglio di mercato. Quando la tangente passa per il portafoglio di mercato, e detta capital market line (CML) o linea del mercato dei capitali. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Investimento ottimale: la Capital Market Line (continua)
Il rendimento atteso e la volatilità di un portafoglio sulla capital market line è: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Figura 11.11 La Capital Market Line

11.8 La determinazione del premio per il rischio
Rischio di mercato e beta Dato un portafoglio di mercato efficiente, il rendimento atteso di un investimento è: Il beta è definito come: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Supponete che il tasso privo di rischio sia il 5% e il portafoglio di mercato abbia un rendimento atteso del 12% e una volatilità del 44%. Le azioni ATP Oil and GAS hanno una volatilità pari al 68% e una correlazione col mercato pari a 0,91. Qual e il beta di ATP relativo al mercato? Con le ipotesi del CAPM, qual e il rendimento atteso? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 105

La Security Market Line
Esiste una relazione lineare tra il beta dell’azione e il suo rendimento atteso (Figura 11.12). La security market line (SML) è la retta che passa attraverso l’investimento privo di rischio e il portafoglio di mercato. Secondo le ipotesi del CAPM, è la retta sulla quale tutti i singoli titoli dovrebbero stare quando sono rappresentati in termini di rendimento atteso e beta. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 109

Figura 11.12 La Capital Market Line e la Security Market Line

Figura 11.12 La Capital Market Line e la Security Market Line, parte (a)

Figura 11.12 La Capital Market Line e la Security Market Line, parte (b)

La Security Market Line (continua)
Il beta di un portafoglio Il beta di un portafoglio è la media ponderata dei beta dei titoli che lo compongono. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 113

Supponete che le azioni di 3M Company (MMM) abbiano un beta di 0,69, mentre il beta delle azioni Hewlett-Packard Co. (HPQ) sia 1,77. Assumete che il tasso di interesse privo di rischio sia il 5% e il rendimento atteso del portafoglio di mercato sia il 12%. Qual è il rendimento atteso di un portafoglio che composto al 40% dalle azioni 3M e al 60% dalle azioni Hewlett-Packard, secondo la teoria del CAPM? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 116

Riepilogo del Capital Asset Pricing Model
Il portafoglio di mercato è il portafoglio efficiente. Il premio per il rischio di qualsiasi investimento è proporzionale al suo beta con il mercato. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 118

Caso di studio: discussione su argomenti chiave
Provate a trovare un titolo che sia negativamente correlato con i vostri dodici titoli. Come cambierebbe la vostra analisi se includeste questo titolo nel vostro portafoglio? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Domande di verifica Come si calcola il rendimento di un portafoglio?
Concettualmente, in cosa differiscono la covarianza e la correlazione? Come può l’aumento del numero di azioni in un portafoglio influenzarne la sua volatilità? Cos’è la frontiera efficiente? Cos’è l’indice di Sharpe e cosa misura? Come può il beta influenzare il costo del capitale di un investimento? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Domande di verifica (continua)
Il portafoglio di mercato è efficiente? Giustificate la risposta. Cosa hanno in comune la Capital Market Line e la Security Market Line? In cosa differiscono? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino

Appendice La frontiera efficiente con tassi di deposito e di prestito diversi Se i tassi per depositi e prestiti sono diversi, quindi, gli investitori che presentano diverse preferenze sceglieranno diversi portafogli di titoli rischiosi. Con tassi di deposito e di prestito diversi, la prima conclusione del CAPM – che il portafoglio di mercato è l’unico portafoglio efficiente di investimenti rischiosi – non e più valida. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 123

Appendice (continua) La Security Market Line con diversi tassi di interesse Dato che la nostra determinazione della security market line dipende solamente dal fatto che il portafoglio di mercato sia tangente per un qualche tasso di interesse, la SML e ancora valida nella seguente forma: La SML resta valida con un tasso r*, che è tra rS e rB, al posto di rf, come illustrato in Figura 11A.1. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 125

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