SUMMERMATHCAMP TARVISIO, AGOSTO 2017

Presentazione sul tema: "SUMMERMATHCAMP TARVISIO, AGOSTO 2017"— Transcript della presentazione:

1 SUMMERMATHCAMP TARVISIO, AGOSTO 2017
POLINOMI CICLOTOMICI SUMMERMATHCAMP TARVISIO, AGOSTO 2017

2 1. POLINOMI IRRIDUCIBILI
Cosa sono? Innanzitutto è necessario stabilire in che insieme si lavora, Z, R o C. Definizione: Un polinomio P a coefficienti in un anello K (insieme dotato di 2 operazioni che gode di certe proprietà) si dice irriducibile in K se non è possibile scriverlo come prodotto di due polinomi a coefficienti in K di grado minore del grado di P. Cambiando l’insieme cambia anche lo studio dell’irriducibilità. Quando compariranno le scritte in rosso sarà richiesta una vostra partecipazione……

3 Non è irriducibile in Z e quindi nemmeno in R e C.
ESEMPI Esempio1. Non è irriducibile in Z e quindi nemmeno in R e C. Esempio2. E’ irriducibile in Z mentre in R e in C non lo è. Esempio3. E’ irriducibile in Z e in R mentre in C non lo è. NB: Ogni polinomio di grado n è scomponibile in n polinomi di primo grado in C (teorema fondamentale dell’algebra) Lavoreremo sull’irriducibilità in Z e sui polinomi del tipo: Scomporre equivale a lavorare sulle radici dell’equazione:

4 2. RADICI ENNESIME DELL’UNITÀ
Partiamo da un esempio: x numero complesso: Forma algebrica: Forma trigonometrica: Forma esponenziale: Coordinate cartesiane: Coordinate polari: Dalla forma trigonometrica alla forma algebrica: Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica: Si può quindi dire che ? Utilizzando strumenti di analisi (serie di McLaurin applicate alle funzioni seno, coseno, esponenziale) si può dimostrare che Da cui, ponendo si ottiene la famosa formula: NB: è una funzione periodica di periodo

5 Torniamo al nostro esempio:
Se esprimiamo x e 1 in forma trigonometrica e applichiamo le formule di De Moivre otteniamo: Con Al variare quindi di k avremo le seguenti 4 soluzioni Soluzioni Forma trigonometrica Forma algebrica Forma esponenziale Coordinate cartesiane Coordinate polari

6 Come vengono rappresentate le soluzioni su un piano cartesiano?
Se rappresentiamo le soluzioni in un piano cartesiano, possiamo osservare che tali soluzioni sono i vertici di un quadrato che ha centro nell’origine e un vertice in (1;0) Analogamente le soluzioni dell’equazione saranno i vertici di un pentagono regolare che ha centro nell’origine e un vertice in (1;0). Soluzioni: con

7 ESERCIZIO: Trova le radici ennesime del binomio e fanne il grafico.

8 3. RADICI PRIMITIVE ENNESIME DELL’UNITÀ
Consideriamo il polinomio e la corrispondente equazione ; le soluzioni di tale equazione sono con Si osserva che la soluzione è anche soluzione dell’equazione mentre la soluzione è soluzione della sola equazione iniziale, si dà quindi la seguente definizione: Definizione: Si dicono radici ennesime primitive dell’unità le soluzioni dell’equazione che non siano soluzioni di con (x=1 è primitiva per il polinomio x-1) Analizziamo l’esempio , la soluzione è anche soluzione dell’equazione , infatti se la si eleva alla terza, si ottiene ( appartiene al triangolo equilatero …..)

9 Schema generale delle soluzioni di
Forma esponenziale Osservazioni E’ soluzione anche di… Grafico

10 Quindi nel nostro esempio le radici primitive di sono e .
In generale si dimostra che: Lemma: le radici primitive ennesime dell’unità sono tutte e sole le radici del tipo con Osservazioni analoghe per Dato n, quante sono le radici primitive dell’unità? Osservazione: le radici primitive si dicono anche cicliche di ordine n, infatti le potenze di queste radici generano tutte le radici di Esempio: dato se si costruiscono le potenze di , si ottiene: … Ciò non accade per radici che non siano primitive (per esempio sarà ciclica di ordine 3 in quanto primitiva di )

11 Torniamo al problema che ci siamo posti, ossia la scomposizione di un polinomio del tipo in Z.
Ora se consideriamo il polinomio e immaginiamo di cercare i fattori del tipo con radice primitiva ennesima, a partire da n=1, e molltiplicarli tra loro, cosa troviamo? Facciamolo insieme Per …. Per …. Per , e sono le radici primitive e quindi (potremmo trovare il polinomio anche per divisione…) …. Per …. Per …. Per …. Ecc… Siamo pronti per una nuova definizione:

12 4. POLINOMI CICLOTOMICI Definizione: si dice n-esimo polinomio ciclotomico il prodotto: Con Per ogni n esiste un solo ed è irriducibile in Z. Dato n, che grado avrà il suo corrispondente polinomio ciclotomico? Riprendiamo le osservazioni fatte nella pagina precedente per trovare i primi polinomi ciclotomici e fare alcune osservazioni: Per …. Per …. Per …. Per …. Per …. …. Per ….

13 Si può dedurre anche il seguente….
Teorema: dato , la sua fattorizzazione in polinomi irriducibili in Z sarà data da: con insieme di tutti i divisori positivi di n Quindi: , , utilizzando tale teorema si può formulare una regola induttiva che ci permetta di calcolare i successivi polinomi ciclotomici. Lavorando su un esempio: visto che allora posso quindi ricavarmi conoscendo , e Cerchiamo di dedurre assieme alcune regole importanti per il calcolo dei polinomi ciclotomici: Se p è primo: perché… 2. Se p è primo: perché… quindi… Ruffini…

14 3. Se p è primo: perché… ( … Ruffini… ) 4. Se p è primo si può dimostrare che : Quindi per esempio: 5. Se m è dispari >1 si può dimostrare per induzione che : per esempio: NB: m deve essere >1 infatti se m=1, non è uguale a come ci si aspettirebbe, ma 6. Se l’indice è il prodotto tra due numeri primi si ottiene un risultato interessante anche se un po’ complesso da scrivere. Esempio: Usando la divisione tra polinomi

15 ESERCIZI ESERCIZI: Trova le radici ennesime, le primitive e scomponi in Z il binomio: Fai il grafico. Scomponi in Z: , , , (NB usa le formule….) In generale come faresti a scomporre ?

16 5. RIASSUNTO DELLE REGOLE DEL CALCOLO DI E TABELLA FINALE
Se p è un numero primo: 1. 2. 3. 4. 5. m dispari > 1 6. p e q primi

17 Diamo ora una tabella dei primi 15 polinomi ciclotomici: 1 2 3 4 5 6 7
Grado di 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

18 5. RISPOSTE E PROPOSTE DI ESERCIZI
Dato n, quante sono le radici primitive dell’unità? Sono tante quanti sono i numeri minori di n coprimi con n e quindi sono uguali alla funzione di Eulero in n, cioè: Dato n, che grado avrà il suo corrispondente polinomio ciclotomico? Il polinomio ciclotomico è il prodotto di binomi del tipo con radice primitiva ennesima di , sapendo che le radici primitive sono in numero di anche il grado di sarà NB osserva la terza colonna della tabella precedente. Se p è primo si può dimostrare che : Dimostrazione: sappiamo che ma il denominatore è uguale a quindi e ponendo si trova

19 Come scomponiamo o o più in generale ?
Se lo moltiplichiamo per otteniamo: che sappiamo scomporre… risolviamo uno degli esempi proposti: ESERCIZI: Calcola , , , , Trova le soluzioni intere dell’equazione: NB Ricorda che, per il piccolo teorema di Fermat, se p è primo qualsiasi sia a e quindi Prova ora a lavorare sul primo membro e su tutti i possibili x….

20 FINE