Equazioni differenziali: matematica & realtà

Presentazione sul tema: "Equazioni differenziali: matematica & realtà"— Transcript della presentazione:

1 Equazioni differenziali: matematica & realtà
Ruben Sabbadini, Liceo Farnesina - Roma Equazioni differenziali: matematica & realtà Convegno Matematica & Realtà (Hotel Esplanade - Viareggio) 9-11 Ottobre 2015

2 indicazioni nazionali per la matematica
La novità delle recenti indicazioni nazionali per la matematica sono le equazioni differenziali

3 è una grande opportunità
non è una cattiva cosa è una grande opportunità (non è vero che sono difficili)

4 sono un’importante finestra sulla realtà
non solo per la fisica ma per molte altre materie

5 è anche possibile vederne le soluzioni
senza risolverle! (ve ne darò un saggio)

6 è la soluzione di un’equazione differenziale
Ricordate la Meccanica quantistica è la soluzione di un’equazione differenziale l’equazione di Schroedinger

7 non vi preoccupate sarà un giochetto
anche per gli studenti è più divertente che difficile!

8 Crescita di una popolazione
(di batteri)

9 all’inizio ho N0 batteri Riuscite a convincervi che la crescita
è proporzionale a N0 ? più sono, più si riproducono

10 batteri in funzione di t, la crescita è:
Come si scrive? se N(t) è il numero di batteri in funzione di t, la crescita è:

11 che N(t) è proporzionale alla crescita?
Come si scrive che N(t) è proporzionale alla crescita?

12 N(t) può essere: un polinomio? No! un logaritmo? No!
un seno o coseno? No ….

13 C’è un’unica possibilità:
N(t) = N0 e a t: Ecco a cosa servono gli esponenziali! (ecco cos’è ex!)

14 proprio quello che ci serve!
L’unica funzione … … simile alla sua derivata! proprio quello che ci serve!

15 per cui (sostituendo in ):
da N(t) = N0 e a t abbiamo: per cui (sostituendo in ): N0 ea t = k N0 a ea t ovvero 1 = k a (polinomio caratteristico)

16 (polinomio caratteristico)
Quindi questa si riduce a: 1 = k a (polinomio caratteristico) a N(t) si sostituisce 1 e a alla sua derivata

17 1 = k a (se volete essere colti è la Trasformata di Laplace)
(polinomio caratteristico) (se volete essere colti è la Trasformata di Laplace)

18 (polinomio caratteristico)
Agli studenti serve questa regola: 1 = k a (polinomio caratteristico) da sostituire in N(t) = N0 e at

19 (Cabri ci permette di “vedere” tutto questo!)
Quindi: N(t) = N0 e t/k: (Cabri ci permette di “vedere” tutto questo!)

20

21 a coifficienti variabili:
Vediamo un’equazione a coifficienti variabili: (neanche a variabili separabili!)

22 Crescita di un conto in banca

23 e un tasso di interesse i
Abbiamo un capitale iniziale C0 e un tasso di interesse i al primo anno: C = C0(1+i) all’n-simo anno: C = C0(1+i)n

24 Se ricevessimo un interesse mensile pari a i/12
al primo anno C = C0(1+i/12)12 con un interesse giornaliero C = C0(1+i/365)365

25 ad una frazione k-esima
Se lo frazionassimo al minuto, al secondo, ad una frazione k-esima di anno al primo anno C = C0(1+i/k)k

26 mandando k all’infinito al primo anno C =lim C0(1+i/k)k=
= C0 eit (t in anni) Si arriva allo stesso risultato da dC/dt=iC

27 (polinomio caratteristico)
infatti: a = i 1 (polinomio caratteristico) da sostituire in C(t) = C0 eat = C0 eit

28 Circuito RC + - Due generatori V-vC = vR = Ri

29 Circuito RC V-vC = vR = Ri ma: vC = q/C (legge quindi: V - q/C = Ri
del condensatore) quindi: V - q/C = Ri

30 polinomio caratteristico!
Circuito RC in V - q/C = Ri ci sono 2 variabili (q e i) Allora deriviamo: La stessa equazione di prima! con questo polinomio caratteristico!

31 Circuito RC

32 differenziale del II ordine:
Vediamo un’Equazione differenziale del II ordine: (tipicamente la legge di Newton che governa tutta la meccanica)

33 Conviene fare semplici manipolazioni matematiche:
è la velocità v! (sono abbastanza standard ma … non si insegnano!) deriviamo rispetto a x invece che t!)

34 (la legge di conservazione dell’ energia!)
Quindi da: otteniamo facilmente (integrando): (la legge di conservazione dell’ energia!)

35 gravi errori della didattica)
Ma a noi serve così: (questo è, ovviamente, il lavoro) (mai vista? lo so! gravi errori della didattica)

36 l’abbiamo trasformata in un’ equazione del I ordine!
Cosa abbiamo fatto? l’abbiamo trasformata in un’ equazione del I ordine! (come quella dell’RC)

37 Equazione Differenziale
Legge della Forza Legge del Moto Campo di Forze Vettore Velocità

38 il – indica una Forza di richiamo
Questo descrive … il – indica una Forza di richiamo …un moto armonico

39 Usiamo ora il metodo del
polinomio caratteristico a 2 = - k/m 1

40 a 2 = - k/m Ovvero: Cosa insegniamo agli studenti? IMPOSSIBILE!
oppure NON È REALE!

41 Sbagliamo! a 2 = - k/m La matematica della realtà
è più ricca della matematica che insegniamo!

42 Un esponenziale complesso …
… è una funzione reale! Sì!

43 (non lo dite a nessuno) …
Tra l’altro (non lo dite a nessuno) … … questi … … funzionano con esponenziali complessi (e anche zero a denominatore!)

44 E sono reali … … come reali le funzioni che ne descrivono il comportamento

45 Circuito RCL + - - + V - vC - vL = vR = Ri Tre generatori

46 Circuito RCL V-vC -vL = vR = Ri ma: vC = q/C e vL = L di/dt allora:
V- q/C - L di/dt = Ri

47 Circuito RCL V- q/C - L di/dt = Ri Allora deriviamo:

48 Circuito RCL a cui corrisponde il polinomio caratteristico!
-1/C - L a2 = k a (polinomio caratteristico)

49 (polinomio caratteristico)
Circuito RCL L a2 - R a +1/C =0 (polinomio caratteristico) da cui:

50 Circuito RCL Come abbiamo visto con F=ma non è molto interessante
il caso z=R2C2-LC>0 non è molto interessante (è un circuito RC!)

51 Circuito RCL …interessante è il caso
z=R2C2-LC<0 soluzioni oscillanti (è una Radio!) Ancora radicando negativo!

52 Circuito RCL

53 La meccanica quantistica è soluzione dell’equazione di
Schroedinger

54 è un’equazione del II ordine
Anche l’equazione di Schroedinger è un’equazione del II ordine

55 Schroedinger m. armonico
Come quella del moto armonico Schroedinger m. armonico

56 Le soluzioni le sappiamo sono esponenziali complessi
v(t)= v0 eiwt sia per Schroedinger che per il moto armonico

57 v(t)= v0 eiwt = = v0 (cos wt + i sen wt)= ma, come sappiamo,
che vuol dire? perché i numeri complessi?

58 dualismo onda-corpuscolo
I fisici parlano di dualismo onda-corpuscolo v(t)= v0 eiwt = = v0 (cos wt + i sen wt)= corpuscolo onda

59 v(t)= v0 eiwt = = v0 (cos wt + i sen wt) dualismo onda-corpuscolo
La stessa matematica! si può “vedere” l’onda o il corpuscolo a seconda del caso o dell’esperimento

60 La differenza (scientifica e didattica) della meccanica quantistica
è che interessa poco la soluzione dell’equazione di Schroedinger sono esponenziali complessi (sen o cos) o reali (senh o cosh)

61 interessa poco la soluzione
interessano le condizioni al contorno (come nei problemi classici delle onde)

62 (come nei problemi classici delle onde)
le onde stazionarie

63 ma quale/i soluzione/i? soluzioni che sono in numero discreto
non ci interessa la soluzione (già la sappiamo) ma quale/i soluzione/i? soluzioni che sono in numero discreto (ecco perché quantistica!)

64 Buca di Potenziale

65 Buca di potenziale teorica
(infinita)

66 Buca di potenziale reale
(finita)

67 tra Cielo e Terra, Orazio,
“Ci son tante più cose tra Cielo e Terra, Orazio, di quanto ne prescriva la tua filosofia” (Schakespeare Amleto)

68 Fine Ruben Sabbadini: