Geometria descrittiva dinamica

Presentazione sul tema: "Geometria descrittiva dinamica"— Transcript della presentazione:

1 Geometria descrittiva dinamica
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE OPERAZIONI GEOMETRICHE INTERSEZIONE DI TRE PIANI ALCUNI CASI PARTICOLARI Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 1993/94 da Iezzi Iolanda della classe 3°B dell’Istituto Statale d’Arte ‘’G. Mazara’’ di Sulmona per la materia :“Discipline geometriche” Insegnante: Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Arch. Elio Fragassi

2 Geometria descrittiva dinamica
La videolezione sviluppa alcuni esempi di casi particolari (per tipologia e/o collocazione) di ricerca e verifica del punto d’intersezione di tre piani Esempio 5:Intersezione tra un piano generico nel IV diedro con tracce coincidenti, un piano generico nel II diedro ed un piano generico parallelo lt nel IV diedro Assegnati i seguenti piani (Es. 05) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: (Ð p1+; Ðp2-) con tracce allineate e coincidenti b (Ð p1-; Ðp2+) g (Ðp1+; Ðp2-; //lt) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Per ricercare detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico ottenendo il risultato della figura dell’ Es.05-a

3 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari(2)
Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1r r’ (t2a Çt2g) T2r r” Passo 2: intersezione tra a e b (t1g Çt1b) T1s s’ (t2g Çt2b) T2s s” Dalle intersezioni delle rispettive proiezioni delle due rette si ricavano le proiezioni del punto che, in questo caso, risulta essere un punto P collocato nello spazio del primo diedro avendo i valori di aggetto e quota positivi. Passo 3: intersezione tra r ed s (r’ Ç s’) P’ (r Ç s) P (P’=x; P”=y) (r” Ç s”) P”

4 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (3)
Verifica Con la figura dell’es.05-b si dimostra che si ottiene lo stesso risultato (il medesimo punto P(P’=x; P”=y) nello stesso diedro) individuando la retta orizzontale r(T¥1r;T2r; r’; r’’) come risultato dell’intersezione dei due piani b e a. Si ricorda che il parallelismo esistente tra la t1a e la t1b determina T¥1r, quindi la retta r (//p1+; Ðp2+).

5 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (4)
Esempio 6: Intersezione tra piano generico con le tracce allineate nel I diedro e due piani generici paralleli alla lt nel II e IV diedro Assegnati i seguenti piani (Es. 06) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a(Ð p1+; Ðp2+) con tracce allineate b (Ð p1-; Ðp2+;//lt) g (Ðp1+; Ðp2-;//lt) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Per ricercare detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico ottenendo il risultato della figura dell’ Es.06-a

6 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari(5)
Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1r r’ (t2a Çt2g) T2r r” Passo 2: intersezione tra a e b (t1a Çt1b) T1s s’ (t2a Çt2b) T2s s” Passo 3: intersezione tra r ed s Dalle intersezioni delle rispettive proiezioni delle due rette si ricavano le proiezioni del punto che, in questo caso, risulta essere un punto P collocato nello spazio del quarto diedro avendo il valore della quota negativo. (r’ Ç s’) P’ (r Ç s) P (P’=-x; P”=-y) (r” Ç s”) P”

7 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (6)
Verifica (1) Poiché i piani b e g hanno le tracce parallele tra loro e alla linea di terra, non si riesce ad ottenere le due specifiche tracce della retta d’intersezione in quanto sono punti impropri come riscontrabile dall’Es.06-b. (Si ricorda, a tal proposito, che al concetto di parallelismo deve essere sempre associato il concetto di elemento-punto o retta- improprio e, viceversa al concetto di elemento improprio deve sempre essere associato il concetto di parallelismo) Pertanto, intersecando b e g solo con il piano a si ottengono le rette r ed s che intersecandosi individuano il punto P(P’=-x; P’’=-y) collocato nello spazio del terzo diedro. Per questo punto, quindi deve passare la retta x, di intersezione tra b e g, che avendo le tracce improprie si dispone parallela alle tracce dei piani b e g e alla linea di terra.

8 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (7)
Verifica (2) Per verificare quanto detto sopra e, quindi, che il punto P(P’=-x; P’’=-y) sia l’unico punto dell’intersezione dei tre piani a, b, g, procediamo nel modo seguente come mostrato con l’Es.06-c Definito un piano a1 parallelo al piano a assegnato, intersechiamo questo nuovo piano con i piani b e g assegnati determinando le due rette a e b. Sviluppando, poi, l’intersezione tra queste due rette si determina un punto Q(Q’=-x; Q’’=-y) nel terzo diedro Il punto Q, così determinato, ha i valori di aggetto e quota uguali a quelli di P in precedenza individuato. Collegando i punti P e Q, aventi stessa quota e stesso aggetto, si ottiene un segmento che, esteso all’infinito, determina la retta x(x’; x’’) coincidente con quella già individuata per P e parallela sia alle tracce dei piani b e g sia alla linea di terra. Si dimostra in questo modo che la retta x, passante per P e per Q, è la terza retta di verifica per cui il punto P è effettivamente il punto d’intersezione tra i tre piani a, b, g con le caratteristiche geometrico-descrittive esposte all’inizio dell’esercizio.

9 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (8)
Esempio 7: Intersezione tra piano incidente la linea di terra e due piani generici nel ID Assegnati i seguenti piani (Es. 07) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a (Ð p1+; Ðp2+ incidente lt) b (Ð p1+; Ðp2+;) g (Ðp1+; Ðp2+;) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Per ricercare detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico ottenendo il risultato della figura dell’ Es.07-a

10 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari(9)
Passo 1: intersezione tra b e g (t1b Çt1g) T1r r’ (t2b Çt2g) T2r r” Passo 2: intersezione tra a e b (t1a Çt1b) T1sºT2s Punto unito alla lt (t2a Çt2b) T2sºT1s Il carattere geometrico-descrittivo del piano a conduce alla indeterminatezza della retta s(s’; s’’) in quanto le due tracce della retta sono tra loro coincidenti (T1sºT2s) e unite alla linea di terra. Da ciò ne deriva l’impossibilità di stabilire sia la posizione che la direzione della retta tanto che nell’Es.07-a mancano le due proiezioni s’ ed s’’ La medesima situazione grafica si riscontra sviluppando l’intersezione tra i piani a e g per cui trovate (T1aºT2a) restano indeterminati sia la posizione che la direzione della retta a(a’; a’’) (t1a Çt1g) T1aºT2a  Punto unito alla lt (t2a Çt2g) T2aºT1a

11 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (10) Passo 3: Intersezione tra due rette risultanti Il piano a, quindi, presentando le tracce coincidenti sia tra loro sia con la linea di terra, conduce all’impossibilità grafica di determinare sia l’orientamento delle proiezioni della retta s=(a Ç b) sia l’orientamento delle proiezioni della retta a=(a Ç g) in quanto le tracce delle rette, risultanti dalle intersezioni, sono coincidenti tra loro e si collocano tutte sulla linea di terra quale luogo dei punti uniti. Essendo impossibile determinare la posizione spaziale di nessuna di queste due rette, e quindi l’intersezione con la retta r, la ricerca del punto P, come intersezione dei tre piani distinti, rimane, mediante questa procedura, graficamente irrisolta. Passo 4: Risoluzione del problema Per risolvere il problema grafico si rende necessaria, quindi, un’operazione di ribaltamento, (come nella figura dell’ Es.07-b), della retta r su un piano laterale che ci permette, anche, di definire il valore di obliquità del piano a mediante la definizione della terza traccia t3a.

12 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (11) Proiettando T2r sul piano laterale si ottiene T3r, e ribaltando, nel contempo, (T1r) sul medesimo piano laterale si determina la proiezione r’’’ che interseca la traccia t3a nel punto P’’’ Mediante un’operazione inversa di proiezione si ottiene P’’ su r’’ mentre, con una procedura inversa di ribaltamento, si ottiene P’ su r’ Poiché le proiezioni P’ e P” appartengono alla stessa retta di richiamo si conviene nella correttezza delle operazioni sviluppate che hanno definito aggetto e quota del punto P(P’=x; P”=y) collocandolo nello spazio del primo diedro Le due proiezioni s’ ed s” passanti per P’ e P” e incidenti sulla linea di terra nel punto T1sºT2s definiscono la geometria della retta s=(aÇb). (Es. 07-b) La retta s, infatti, ha le caratteristiche geometriche sia di genericità, dei due piani, sia quelle di incidenza sulla linea di terra. Allo stesso modo, (Es. 07-c) conducendo una retta passante per le tracce coincidenti T1aºT2a e per le proiezioni P’ e P”, si definiscono sia la posizione che la direzione della retta a=(aÇg). Anche questa risulta avere le caratteristiche geometriche sia di genericità sia di incidenza sulla linea di terra.

13 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari (12) Esempio 8: Intersezione tra a generico parallelo lt nel IID, b di profilo nel ID e g generico parallelo lt nel ID Assegnati i seguenti piani (Es. 08) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a (Ð p1-; Ðp2+; // lt) b (^ p1+; ^p2+;) g (Ðp1+; Ðp2+; // lt) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Per ricercare detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico ottenendo il risultato della figura dell’ Es.08-a

14 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari(13)
Passo 1: intersezione tra a e b (t1a Çt1b) T1r r’ (t2a Çt2b) T2r r” Passo 2: intersezione tra b e g (t1b Çt1g) T1s s’ (t2b Çt2g) T2s s” Date le caratteristiche geometriche del piano b, le due rette r (r’; r”) ed s (s’; s”) si configurano come due rette di profilo appartenenti al medesimo piano b, quindi coincidenti sia nel profilo reale che nelle proiezioni, e sono così caratterizzate: r (Ðp1-; Ðp2+; ^lt)Îb s (Ðp1+; Ðp2+; ^lt)Îb Date queste caratteristiche geometrico-descrittive il problema resta irrisolto in quanto è impossibile determinare il punto d’intersezione delle due rette r ed s.

15 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari(14)
Passo 3: Rimozione dell’indeterminatezza Per superare l’indeterminatezza grafica generatasi operiamo il ribaltamento (Es.08-b) del piano b in modo da individuare sia la posizione geometrica delle due rette nello spazio sia il relativo punto d’intersezione. Il ribaltamento del piano b su p2 mentre mantiene fissa la posizione delle due tracce seconde T2r e T2s ci conduce ad individuare le due posizioni ribaltate delle prime tracce (T1r),(T1s) sulla linea di terra Determinate queste due prime tracce è possibile definire le posizioni delle rette r ed s, complanari al piano b, collegando le seconde tracce fisse con le prime tracce ribaltate. Le rette r ed s così individuate sono le rette reali, nelle corrispondenti posizioni spaziali, appartenenti al piano di profilo b

16 Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari(15)
Passo 4: Intersezione tra le due rette r ed s Esplicitate le posizioni di queste due rette complanari di b, (vedi Es.08-b) si può individuare il loro punto d’intersezione nel punto reale P così caratterizzato: [PÎ(s; r)]Î b. Definito il punto P=(r Ç s) si ottengono, con i processi inversi di proiezione e ribaltamento, le sue proiezioni P’ e P”, che collocano il punto reale d’intersezione nello spazio del primo diedro, così caratterizzato P(P’=x; P”=y) dove x ed y rappresentano i valori numerici di aggetto e quota Fissato ciò è necessario verificare che il punto sia valido anche per l’intersezione tra a e g Poiché i piani a e g hanno le medesime caratteristiche geometrico-descrittive con le tracce parallele, significa che la retta x d’intersezione è una retta che ha le tracce improprie e le proiezioni parallele alle tracce medesime quindi avremo i seguenti elementi rappresentativi (t1aÇt1g) T¥1x a Ç g (t2aÇt2g) T¥2x Date queste caratteristiche descrittive, della retta x si conosce la direzione ma non la posizione. Per superare questo problema e verificare, contemporaneamente, le caratteristiche del punto P si agisce nel modo seguente

17 appartenenti al piano b1
Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi su casi particolari(15) Passo 5: Verifica Sapendo che la retta x = (a Ç g) deve essere parallela alle tracce dei piani e passare per il punto P già determinato, definiamo un piano ausiliario b1 con le stesse caratteristiche di b (Es. 08-c) Usando e sviluppando la procedura precedente intersechiamo questo piano ausiliario con a e g ottenendo gli elementi descrittivi delle seguenti due rette di profilo a(T1a; T2a; a’; a”) appartenenti al piano b1 b(T1b; T2b; b’; b”) Eseguendo il ribaltamento di b1 su p2 si determinano le posizioni reali delle due rette a e b che risultano essere parallele alle rette r ed s del piano b. Le rette a e b essendo complanari sul piano ausiliario b1 s’intersecano individuando il punto reale [QÎ(a; b)]Îb1 che ha i valori di aggetto e quota uguali ai valori del punto (P Î b) Collegando i punti P e Q si ottiene un segmento parallelo alle tracce dei piani a e g Estendendo questo segmento all’infinito si ottiene la retta x(T¥1x; T¥2x; x’; x”) che rappresenta sia la posizione spaziale sia l’andamento della retta d’intersezione tra i piani a e g. Si verifica, con questa procedura, che il punto P (P’; P”) è il punto in sui si intersecano i tre piani assegnati a, b e g in quanto P Î (r; s; x) dove r=(a Ç b), s=(b Ç g), x=(a Ç g)

18 Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può
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