LE CONICHE.

Presentazione sul tema: "LE CONICHE."— Transcript della presentazione:

1 LE CONICHE

2 Le sezioni coniche Nello spazio c’è una retta r che interseca in V un’altra retta a, si chiama SUPERFICIE CONICA A DUE FALDE, la superfice generata in una rotazione completa di r attorno alla retta a. a r

3 La parte di piano racchiusa dalla superficie è detta CONO A DUE FALDE.
La retta ‘r’ è detta generatrice, la retta ‘a’ è l’asse di rotazione e V è il vertice. L’angolo che si forma tra r ed a è detta SEMIAPERTURA.

4 Che si intende per sezione conica?
La PARABOLA, la CIRCONFERENZA, l’ ELLISSE e l’IPERBOLE sono anche dette SEZIONI CONICHE. Che si intende per sezione conica? Sezione conica significa far passare un piano attraverso una superficie conica a due falde.

5 Le sezioni coniche Al variare dell’inclinazione del piano possiamo ottenere Un’ ellisse se α>θ Una circonferenza se α= п/2 Un’ iperbole se α<θ Una parabola se α=θ

6 E se al posto di un cono a due falde avessimo un cilindro ?
In effetti noi possiamo considerare un cilindro un cono con il vertice all’infinito, quindi se lo intersechiamo con un piano possiamo ottenere una conica ….

7 L’ equazione generale di una conica
Ogni conica come abbiamo già studiato ha una propria equazione che la distingue dalle altre , ma c’è un’equazione che le racchiude tutte ? Si l’equazione generale delle coniche è la seguente 𝐴 𝑥 2 +𝐵𝑥𝑦+𝐶 𝑦 2 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0

8 MA DA QUESTA EQUAZIONE COME DISTINGUIAMO DI QUALE CONICA SI TRATTA ?
In realtà la soluzione è molto semplice, iniziamo con il prendere in riferimento il parametro B ovvero il coefficiente del termine misto. B≠0 Se B≠0 il termine misto esiste pertanto gli assi di simmetria della conica non sono paralleli agli assi cartesiani. Quindi si tratterà o dell’iperbole equilatera o dell’iperbole rappresentata da una funzione omografica B=0 Se B=0 andiamo a studiare gli altri coefficienti per capire di che conica si tratta.

9 Passiamo ora allo studio del prodotto tra i coefficienti dei termini di secondo grado
Se il prodotto è uguale a 0 allora la conica sarà una parabola Se il prodotto è diverso da 0 ma i coefficienti sono uguali avremo una circonferenza Se il prodotto è diverso da 0 e i coefficienti non sono tra loro uguali otterremo o un’ellisse o un’iperbole con gli assi di simmetria paralleli o coincidenti agli assi cartesiani .

10 IPERBOLE O ELLISSE ? Le ultime due coniche ci restano da definire sono appunto l’ellisse e l’iperbole per trovarle applichiamo il metodo del completamento del quadrato di binomio fino ad ottenere questa formula A 𝑥 2 +𝐶 𝑦 2 =s Se A, C ed s sono tra loro concordi si tratta di un’ellisse Se A, C sono tra loro discordi ed s>0 si ha un’iperbole.

11 Coniche come luogo geometrico
Si dice conica il luogo dei punti P di un piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza di P da un punto detto FUOCO e una retta detta DIRETTRICE 𝑃𝐹 𝑃𝐻 =𝑒 Per e si intende l’eccentricità della conica. Si dimostra che: Se e=0 la conica è una circonferenza Se 0<e<1 la conica è un’ ellisse Se e=1 la conica è una parabola Se e >1 la conica è un’iperbole