Richiami …. Richiami di argomenti da considerare gia’ noti:

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1 Richiami …. Richiami di argomenti da considerare gia’ noti:
Interazioni Campi Interazioni tra adroni a basse energie. Sezione d’urto per interazione forte. Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

2 Le interazioni sono caratterizzate da: natura della interazione
forza della interazione tipo (massa) della “particella” scambiata durante l’interazione distanza (range) d’azione dell’interazione Per caratterizzare le intensità delle forze si rapportano tutte alla intensità della interazione forte (a grandi distanze), in tal modo si definiscono delle costanti di accoppiamento adimensionali -inter. forte -inter. elettromagnetica =1/137 -inter. debole •10-5 -inter. gravitazionale •10-39 Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

3 Diagrammi di Feynman tempo spazio
annichilazione elettr. e- e+ - + diffusione elastica di e- su e+ Processi elementari quali l’urto fra due particelle (o un decadimento) sono comunemente rappresentati da “diagrammi di Feynman” (introdotti per rappresentare graficamente termini del calcolo degli elementi di matrice di transizione Mfi in processi QED). Sono usati anche in Cromodinamica Quantistica (QCD), comodi per illustrare i processi tempo funzioni d’onda dei fermioni negli stati iniziali e finali fotoni bosoni vettori pesanti gluoni Ad ogni vertice corrisponde nell’elemento della matrice di transizione un termine che racchiude la dinamica e l’intensità dell’interazione. L’elemento di matrice è il risultato della sovrapposizione delle ampiezze per tutti I diagrammi che portano allo stesso stato finale Mfi~ Mfi~ Mfi~ Mfi~g2=w Mfi~s decadimento  interazione forte fra quarks annichilazione debole e- e+ - + spazio Le particelle di scambio contribuiscono a Mfi con un termine detto propagatore=1/(Q2+ M2 c2) dove Q2 è il quadrato del quadri-impulso trasferito Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

4 assorbimento di un fotone
emissione di un fotone assorbimento di un fotone particella antiparticella tempo Nei vertici dei diagrammi si conservano i vari numeri quantici (ad es. la carica), però non risultano essere conservati energia ed impulso. Tali processi vengono definiti “virtuali”. I processi virtuali non possono esistere nello spazio-tempo reale. Possono essere considerati solo per un tempo brevissimo compatibilmente con il principio di indeterminazione. annichilazione creazione di coppie I processi reali però possono essere rappresentati come risultato globale di due processi “virtuali”. Anche se i singoli processi virtuali non conservano energia ed impulso con l’insieme di due processi “virtuali” tale conservazione è assicurata Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

5 Processi virtuali e reali, tempo d’interazione
Quindi l’interazione (reale!) e- e- e- e- (diffusione di un e- su un altro e- ) può essere rappresentata come l’insieme di due processi virtuali (emissione + assorbimento di un fotone). In ognuno dei due processi si ammette una temporanea violazione della conservazione contemporanea di energia ed impulso, per un tempo  compatibile con il principio di indeterminazione (ricordiamo 1eV=1.6•10-19 J) e- e  A (MA) B (MB) B X (Mx) A g In generale la diffusione della particella A sulla particella B avverrà tramite lo scambio di un “mediatore”, una “terza particella” X di massa MX. Anche tale interazione potrà essere descritta tramite l’insieme di due processi “virtuali” Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

6 Processi virtuali e reali, range d’interazione
A (MA) B (MB) B X (Mx) A g g = costante di accoppiamento, indica la “ intensità ” della forza di interazione fra B (od A) e X prendiamo in esame il processo virtuale: nel sistema di rif. di A (A fermo, pA = 0) abbiamo: La differenza di energia fra lo stato finale e quello iniziale è data da: che assume i valori quindi Ricordando che dove R rappresenta la “massima distanza” su cui X si propaga prima di essere assorbito Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

7 Processi virtuali, mediatori e range d’interazione
 La massima distanza alla quale l’interazione può avvenire (range) dipende dalla massa (MX) della particella “scambiata”. Ad esempio l’interazione elettromagnetica e- e- e- e- è mediata da fotoni e- p n W e L’interazione e- p  n e , reazione inversa del decadimento  del neutrone è mediata dal bosone W la cui massa Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

8 Il propagatore bosonico (1)
Consideriamo la diffusione di una particella, inizialmente libera, con un campo ad esempio generato da una particella carica. In tal caso g/4=e, la massa del propagatore (fotone) è nulla e R=h/(2mc)=∞ (campo coulombiano a simmetria sferica). Il potenziale d’interazione è dato da V(r)=g0U(r) (dove g0 indica la costante di accoppiamento della particella che diffonde ed U(r) il campo: se diffusione Coulombiana g0=e). Supponiamo che le parti spaziali delle due funzioni d’onda (iniziale e finale) siano Per l’elemento della matrice di transizione abbiamo Tale elemento di matrice di transizione è chiamato anche propagatore bosonico (affinché l’interazione abbia luogo è scambiata una particella bosonica, a spin intero) Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

9 Il propagatore bosonico (2)
Sostituendo in l’espressione del potenziale e sostituendo nell’integrale otteniamo Tenendo conto del fatto che e sostituendo otteniamo avendo sostituito f(q) descrive lo scambio di un bosone tra due particelle diffuse (fermioni). Ricordiamo che Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

10 Natura delle forze di interazione: QED  fotoni
 Processi virtuali Ricapitolando …. Q.E.D. : il fotone è il tramite dell'interazione elettromagnetica: l'elettrone emette il fotone e "rincula" in modo tale che sia conservato il momento. Non è possibile conservare allo stesso momento energia ed impulso quindi il processo è "virtuale". Si può ammettere che "esista" per un tempo limitato dal principio di indeterminazione: ∆t ≤h/(2 ∆E) e che si propaghi su una distanza ∆s = c ∆t Affinché il processo diventi reale dobbiamo ammettere che il fotone sia velocemente "riassorbito" da un altro processo "virtuale". "L'insieme" dei due processi virtuali conserva sia l'impulso che l'energia e rappresenta un processo "reale" Diagrammi di Feynmann ben rappresentano la schematizzazione delle interazioni e-  Processo reale: diffusione Coulombiana Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

11 Interazioni forti e gluoni
La sorgente dell’interazione elettromagnetica e’ la carica elettrica: interazione mediata da fotoni La sorgente dell’interazione forte e’ la carica di colore: interazione mediata da 8 gluoni di massa nulla ciascuno dei quali porta una carica di colore ed una anti-carica di colore: più due combinazioni tra loro Anche i quarks possono interagire scambiando fotoni (hanno carica) ma l'interazione che lega i quarks nei nucleoni è legata al "colore": in analogia al campo dovuto alla carica elettrica le cui interazioni avvengono con fotoni, il campo in cui lo stato di carica è dato dal "colore" ha le interazioni "mediate" dal "gluone" (i quanti del campo delle interazioni forti). In analogia ai fotoni per la QED i gluoni sono i quanti della QCD: i quarks interagiscono "forte" scambiandosi il "colore”. I gluoni "trasportano colore", sono in effetti entità "bicolorate”. I fotoni, privi di carica, non possono interagire fra di loro, i gluoni (che invece trasportano colore) possono avere "self-couplings" (la QCD pertanto è una teoria di campi non-Abeliana). le interazioni gluone-gluone sono tali che allontanandosi dal quark la "carica effettiva" di colore che condiziona l'interazione diventi sempre più intensa: la costante di accoppiamento fra quarks cresce aumentando la distanza fra di loro: i quarks sono "confinati". q gluone R B B R R B R B G Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

12 Asymptotic freedom in QED e QCD
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13 Confronto fra modelli teorici e risultati sperimentali
Probabilita’ di transizione W Se lo stato finale di una interazione e’ la sovrapposizione di diversi stati finali (ad esempio nel decadimento a tre corpi del neutrone l’energia totale E0 e’ fissata anche se le tre particelle possono suddividersi l’energia in un numero estremamente grande di modi) la probabilità di transizione per unità di tempo e’ data dalla somma di tutte le ampiezze di probabilità ck(t) di trovare il sistema finale nello stato k dove la somma sugli stati discreti è stata sostituita con un integrale sugli stati di energia delle particelle nello stato finale e dN/dE rappresenta la densità degli stati permessi per unità di energia. Integrando si giunge a scrivere dove è l’elemento della matrice di transizione tra lo stato i e lo stato f (i , f la parte spaziale delle funzioni d’onda iniziale e finale, V il potenziale che descrive l’interazione). Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

14 Sezioni d’urto (1) Consideriamo la reazione a+b  c+d con na particelle incidenti con velocità vi sul bersaglio b W rappresenta la probabilità che nell’unità di tempo una particella del fascio abbia interagito con una particella del bersaglio  ha le dimensioni di un’area e rappresenta una sezione d’urto La quantità rappresenta la sezione d’urto normalizzata all’unità di volume. Dalle informazioni sperimentali se e’ possibile misurare , si possono ricavare informazioni sulle proprietà dell’interazione (W) Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

15 Sezioni d’urto (2) Sperimentalmente vorremo osservare uno stato finale di a+b  c+d con le particelle c e d in uno dei tanti stati possibili nello “spazio delle fasi”, cioè in una particolare posizione (dx dy dz) dello spazio in un definito valore di impulso (dpx dpy dpz) Il numero di stati di una particella nello spazio delle fasi in coordinate cartesiane e’ dN= dx•dy•dz•dpx•dpy•dpz / h3 In coordinate sferiche in un volume unitario e nell’intervallo (p+dp) nel sistema del laboratorio e’ se c e d hanno spin (sc ed sd) ognuna può essere in uno dei (2sc +1) e (2sd +1) stati possibili: il numero totale di stati diversi e’ pari a gf= (2sc +1) (2sd +1) Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

16 Sezioni d’urto (3) Il numero di stati finali possibili per a+b  c+d, per una certa energia totale iniziale E0 è quindi supponiamo che una delle particelle interagenti (bersaglio) abbia massa M>>m e la sua q.d.m. subisca una piccola variazione mentre l’altra viene diffusa nello stato finale con E,p,m. L’energia totale sarà dove v rappresenta la velocità della particella diffusa. Infine possiamo scrivere per Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

17 Interazione forte e conservazione dello spin isotopico
L’interazione forte dipende solo dall’isospin totale Itot (e non da Iz nè dalla carica Q) Spin isotopico totale (Itot=1/2 per n e p, Itot=0 per d, Itot=1 per π+, π-, π0) è conservato nei processi dovuti all’interazione forte Nei processi nell’interazione forte si deve conservare lo spin isotopico totale ! Sperimentalmente : solo il 50% degli stati iniziali (quelli con ) della seconda reazione contribuiscono allo stato finale. Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

18 Spin Isotopico dei quarks
La simmetria di isospin per n e p (costituiti solo dai quarks di valenza u, d) implica una simmetria anche per i quarks costituenti I quarks u, d hanno I=1/2 con Iz(u)=+1/2 e Iz(d)=-1/2 I quarks s , c , b, t (quarks di mare) hanno tutti I=0 (singoletti di isospin forte) Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

19 Caratteristiche delle diverse interazioni
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20 Decadimenti di particelle e vita media
Solamente p ed e in natura sono stabili (tempo di decadimento molto superiore all’età dell’Universo). Per tutte le altre particelle il processo di decadimento è rappresentato da una unica legge con un unico parametro libero: la vita media . Sia P la probabilità che una particella al tempo t decada nell’intervallo successivo t: Se abbiamo N particelle identiche il numero di quelle che decadono in t è Un decadimento non è altro che una transizione da uno stato definito ad uno dei possibili stati finali tenendo conto delle varie leggi di trasformazione. Si ha che dove quindi  risulta definito da  è definita nel S.R. in cui la particella decade da ferma. Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

21 Vita media e modi di decadimento
La vita media della particella dipende dal tipo di interazione che caratterizza il processo (debole, forte, elettromagnetica, …) e dal numero di modi in cui il decadimento può avvenire. Il muone decade secondo le nel 100% dei casi. Il pione carico, ad es. +, ha un modo di decadimento preferito ma anche altri canali di decadimento. Il pione neutro decade in modo totalmente diverso: Per ogni canale di decadimento si può definire una specifica “vita media” definita come dove canale indica con quale probabilità si presenta quello specifico canale (branching ratios) Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

22 Tempo ed intensità dell’interazione ( ed. es. decadimento)
Le particelle “strane” vennero così definite in quanto erano prodotte copiosamente (grande probabilità d’interazione  interazione forte) ma decadevano con vite medie più lunghe di quelle caratteristiche delle interazioni forti. Tipicamente si ha: Interazioni forti: vita media ~ s Interazioni elettromagnetiche: vita media ~  s Interazioni deboli: vita media ~  s da notare che una particella con =1 in s percorre 3•108 m/s s= 3•10-15 m= 3fm Le due particelle “strane” prodotte decadono con tempi diversi (distanze diverse dal vertice di produzione) ma simili tra di loro, in entrambe i decadimenti S≠0, sono decadimenti deboli. Prendiamo in esame particelle con masse simili ma con decadimenti caratterizzati da diverse interazioni per capire che relazione che sussiste con la loro vita media Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

23 Decadimento dell’iperone - (interazione debole)
s d W- u π- n - Processo mediato da W- quindi di “corrente carica” E’ un processo che conserva l’isospin forte ma presenta una non conservazione della “stranezza”: S-=-1, Sn=0, S-=0, quindi non puo’ essere un processo mediato da interazione forte Processo di adronizzazione o “frammentazione” Quarks spettatori Decadimento dell’iperone 0 (interazione elettromagnetica) Ricordiamo ora che Dal confronto fra le vite medie dei due decadimenti possiamo dedurre: Energia dell’int. elettrostatica rapportata alla energia corrispondente alla massa a riposo dell’e- ... e si ottiene una stima di debole ~1.6•10-7 Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

24 … ancora su decadimenti
Un tipico decadimento dovuto ad interazione forte u d + p ∆++ Il “branching ratio” in questo canale è ~100% Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

25 Confrontando decadimenti “debole” e “forte”
Analogamente confrontando il decadimento “forte” della ∆++ con il decadimento “debole” della ∑- abbiamo … quindi ponendo strong =1 si ottiene debole ~2.6•10-7 valore molto vicino a quello valutato in precedenza Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

26 La sezione d’urto per l’interazione forte
Misurare la sezione d’urto di un evento porta ad avere informazioni sul potenziale d’interazione. Per l’interazione forte (potenziale di Yukawa a “corto range”),per un proiettile con dimensioni trascurabili rispetto al bersaglio, ci aspettiamo che la sezione d’urto coincida con l’area efficace “geometrica” del bersaglio: =R02. Proiettile = funzione d’onda con quindi se p>>1GeV/c la dimensione del proiettile << R0 ~ 1fm. Dobbiamo considerare: diffusioni elastiche (proiettile e bersaglio mantengono la loro natura)  el diffusioni anelastiche (nello stato finale particelle diverse  inel In generale: tot = el + inel ma a cosa son dovute queste grandi variazioni della  a bassa energia ?? Per plab >>1 GeV/c le  variano poco Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

27 dimensione del protone
Per plab >>1 GeV/c le  variano poco pp=R02= 40mbarn = 40•10-27cm2  Rp ~1.2 fm Per p>>1 GeV/c  pp=R02= 25mbarn = 25•10-27cm2  avendo stimato Rp ~1.2 fm la dimensione del  è inferiore Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

28 Le risonanze osservato in camera a bolle:
L’alta probabilità di verificarsi di questo evento ha fatto pensare che l’evento procedesse, ad esempio, in questo modo: Raccolta una sufficiente statistica di eventi, misurando le variabili cinematiche delle particelle prodotte si è verificata l’ipotesi che lo stato 0+ corrispondesse effettivamente ad una particella di massa definita. Con tanti eventi si può verificare come si distribuisce la quantità: massa invariante, in particolare si è trovato un modo (Dalitz) per evidenziare l’accumularsi di eventi con la stessa massa invariante Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

29 Il decadimento del muone (interazione debole)
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30 Il decadimento dei π± (interazione debole)
Il decadimento nel canale ee è descritto dallo stesso diagramma ma è soppresso per conservazione dell’elicità Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

31 Il decadimento dei π0 (interazione elettromagnetica)
Attenzione al valore estremamente piccolo della vita media del π0 , 8.4•10-17 s !!! Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

32 Momento angolare totale
Simboli Ad una particella si associa l’informazione IG(JPC) “parità di carica”: numero quantico moltiplicativo che descrive il comportamento della particella per “coniugazione di carica” (cambia una particella nella sua antiparticella). Tale operazione cambia segno a: carica elettrica numero barionico/leptonico numero quantico di “flavour” (stranezza, charm, beauty, top) terza comp. dell’isospin (Iz) mentre lascia inalterati: massa momento spin Momento angolare totale Isospin forte Parità della particella “G parità”: numero quantico moltiplicativo che descrive il comportamento di un multipletto di particelle per “coniugazione di carica” dove G=1 è l’autovalore della G-parità. In generale: G= C(-1)I Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A

33 Decadimento debole della ∑+
s u W- d 0 p + s u W- d + n + Particle and Astroparticle Physics - Prof. Antonio Capone A. A