Diffusione  N Nel caso della diffusione di  (spin 0) su nucleoni (spin 1/2) l’ampiezza d’onda parziale a fissato momento angolare l corrisponde a due.

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1 Diffusione  N Nel caso della diffusione di  (spin 0) su nucleoni (spin 1/2) l’ampiezza d’onda parziale a fissato momento angolare l corrisponde a due valori del momento angolare totale: nel processo di diffusione si conserva Jz anche se l’orientazione dello spin 1/2 può invertirsi a spese della terza componente del momento angolare orbitale: si può avere lo stesso valore di Jz per i diversi valori di J = l1/2 si può avere “spin flip” nella diffusione. Nella diffusione una eventuale variazione della direzione dello spin del nucleone deve essere compensata da una variazione della direzione del momento angolare relativo in modo che Jz = cost  l’ampiezza di “spin flip” coinvolgerà i polinomi di Legendre associati (m0). Essendo ortogonali, i due contributi non interferiscono. L’ampiezza totale è data dalla somma dei due contributi: spin-flip e non spin- flip spin- flip Non spin-flip

2 Diffusione  N La sezione d’urto della diffusione di  su nucleoni è data da: Se consideriamo il range dell’interazione N R1/m ed assumiamo che l’interazione avvenga ad energie del  ~ 300 MeV  il massimo valore che può assumere il momento angolare relativo l è L’interazione avviene soltanto in stati di moto relativo corrispondenti alle onde s e p. Le ampiezze si riducono a: non spin-flip spin-flip

3 Diffusione  N e risonanza 
La sezione d’urto è data da:

4 Diffusione  N e risonanza 
Poniamo: Otteniamo: L’analisi in onde parziali consiste nel determinare sperimentalmente i coefficienti A0, A1, A2è possibile determinare Tl,J in funzione dell’energia. In particolare per T193 MeV si ha che per √s = MN =1232 MeV A0=1, A1=0 A2=3 Si ha la produzione di una risonanza nel canale J=3/2 l=1. Tale risonanza è detta (1232) oppure P33(1232) L2I,2J (E)

5 Sezione d’urto differenziale + N
Diagramma di Argand l=1, J=3/2 Andamento dei coefficienti A0, A1, A2 in funzione dell’energia La sezione d’urto elastica satura la sezione d’urto totale

6 Ultime considerazioni
Perché la sezione d’urto + p  3 volte quella - p ? Poiché le interazioni forti conservano la stranezza, le risonanze con stranezza devono essere prodotte contemporaneamente a mesoni dotati di stranezza (produzione associata di stranezza) Per osservare risonanze barioniche con s0 sono stati utilizzati fasci incidenti di mesoni k Nota : il canale kN non è molto utile poiché non esistono barioni con s=1

7 Spettroscopia Barionica: Come interagiscono i quark tra loro?

8 pN scattering p M2 M1 N B W GeV p M1 M2 N B L2I 2J

9 pN pN scattering ds/dW p p p p p p p n 1234 MeV 1449 MeV 1678 MeV
q p p p p + - p p p n 1234 MeV 1449 MeV 1678 MeV 1900 MeV

10 pN pN scattering P p p p p p p p n 1234 MeV 1449 MeV 1678 MeV 1900 MeV
q p p p p + - p p p n P 1234 MeV 1449 MeV 1678 MeV 1900 MeV

11 pN amplitudes Isospin 1/2 Imaginary T F D P S 11 13 15 17
Julia-Diaz, Lee, Matsuyama, Sato Isospin 1/2 Imaginary T F 17 15 D 13 P 11 S ----- Note riunione (01/07/14 03:29) ----- Expanding the reaction amplitudes into partial waves reveals the presence of the different resonances: they appear as peaks in the imaginary part of the amplitude for different quantum numbers. A resonance is defined as a pole in the scattering matrix S. The accurate determination of pole parameters from the analysis of data on the real energy axis is not necessarily simple, or even straightforward. Not always resonances appear as isolated peaks Annalisa D'Angelo - Baryon Spectroscopy

12 N*(1520) D13 D13 ----- Note riunione (01/07/14 03:29) -----
While in the case of the D13(1520) J3/2- there arelittle or no ambiguities D13 Annalisa D'Angelo - Baryon Spectroscopy

13 analyticity & complex energy plane
Im E Re E ----- Note riunione (01/07/14 03:29) ----- It requires the implementation of the correct analytic structure of the relevant (often coupled) channels to extract the resonance poles when resonances are overlapping resonance pole Annalisa D'Angelo - Baryon Spectroscopy

14 N*(1710) P11 P11

15 Photonuclear cross sections
In the Annalisa D'Angelo - Baryon Spectroscopy

16 Modelli a quark costituenti Ispirati alle simmetrie della QCD
Spettro Barionico N* D Modelli a quark costituenti Ispirati alle simmetrie della QCD U. L¨oring, B. Metsch, H. Petry, Eur. Phys. J. A 10, 395 (2001). Annalisa D'Angelo - Baryon Spectroscopy

17 Spettro Barionico N/Δ RPP 2010/2014
JP(L2I,2J) 2010 2014 p 1/2+ (P11) **** n N(1440) N(1520) 3/2- (D13) N(1535) 1/2- (S11) N(1650) N(1675) 5/2- (D15) N(1680) 5/2+ (F15) N(1685) * N(1700) *** N(1710) N(1720) 3/2+ (P13) N(1860) 5/2+ ** N(1875) 3/2- N(1880) 1/2+ N(1895) 5/2- N(1900) 7/2+ (F17) N(2000) N(2080) D 13 N(2090) S 11 N(2040) 3/2+ N(2060) N(2100) N(2120) N(2190) 7/2-(G17) N(2200) D 15 N(2220) 9/2+(H19) N(2250) 9/2- (G19) N(2600) 11/2- (I1,11) N(2700) 13/2(K1,11) D* JP(L2I,2J) 2010 2014 D(1232) 3/2+ (P33) **** D(1600) *** D(1620) 1/2- (S31) D(1700) 3/2- (D33) D(1750) 1/2+(P31) * D(1900) ** D(1905) 5/2+(F35) D(1910) 1/2+ (F31) D(1920) D(1930) 5/2- (D35) D(1940) - D(1950) 7/2+ (F37) D(2000) 5/2+ (F35) D(2150) D(2200) 7/2- (G37) 9/2+ (H39) D(2350) D(2390) 7/2+(F37) D(2400) 9/2-(G39) D(2420) 11/2+(H3,11) D(2750) 13/2- (I3,13) D(2950) 15/2+ (K 3,13) E’ cambiata la nomenclatura: L 2I 2J(E) JP(E)

18 p M1 M2 B N Spettro Mesonico Produzione di risonanze mesoniche
M* -> M1 + M2 : studio dello spazio delle fasi U. L¨oring, B. Metsch, H. Petry, Eur. Phys. J. A 10, 395 (2001). Annalisa D'Angelo - Baryon Spectroscopy

19 Considerazioni sullo spazio delle fasi
La probabilità che si abbia una transizione da uno stato iniziale |i ad uno stato finale |f è data dalla regola d’oro di Fermi: Mfi è l’elemento di matrice di transizione (E) è la densità degli stati disponibili con energia E. dinamica cinematica Ogni particella in un volume V può essere descritta tramite le coordinate (x,y,z,px, py,pz) in uno spazio a 6 dimensioni detto spazio delle fasi. La dimensione della cella unitaria dello spazio delle fasi è pari a h3, poiché non è possibile distinguere al suo interno il moto entro il principio di indeterminazione. Il numero di stati equivalenti di una particella entro il volume V è pari a: Nel caso di n particelle: si omette nella definizione di spazio delle fasi

20 Densità dello spazio delle fasi
Il numero di stati disponibili per n particelle ad energia totale definita E è dato da: Si tratta di integrare su tutti i possibili valori dei tri-impulsi, rispettando il principio di conservazione della quantità di moto: Utilizzando la definizione della funzione  di Dirac: dove P è il tri-impulso totale ed E l’energia totale delle N particelle. conservazione dell’impulso dell’energia

21 Densità dello spazio delle fasi
La probabilità però deve essere un invariante di Lorentz, poiché è indipendente dal sistema di riferimento in cui è misurata. Né |Mfi|2 né n(E) lo sono. L’espressione Lorentz invariante per l’elemento di matrice di transizione è: stato iniziale stato finale Densità dello spazio delle fasi Lorentz invariante Rn (E)

22 Densità dello spazio delle fasi invariante
Nel caso di due particelle si ha: Se le particelle sono nel c.m. Inoltre: