22) Funzioni (prima parte)

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1 22) Funzioni (prima parte)
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2 relazione fra due insiemi A e B,
FUNZIONE = relazione fra due insiemi A e B, che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B f A B y x Così non è una funzione! Ora è una funzione!

3 Se A = B = R, la funzione si dice reale di variabile reale
L’elemento y corrispondente ad un elemento x del primo insieme, si dice immagine di x e si scrive y = f(x) per indicare che y è l’immagine di x y è detta variabile dipendente, mentre x è la variabile indipendente f R R y f(x) x y = f(x)

4 Grafico Per le funzioni da R a R è possibile tracciare su un piano cartesiano i punti corrispondenti alle coppie di valori (x, y). Si ottiene così il grafico di una funzione

5 C.E. Il campo di esistenza (C.E.) di una funzione è l’insieme degli elementi di R che posseggono l’immagine in R, cioè l’insieme di quei numeri reali x in corrispondenza dei quali è possibile determinare la y. C.E.: x  5 C.E.: x  3

6 Definizioni una funzione si dice fratta quando la variabile indipendente x compare nel denominatore di qualche frazione; viceversa, si dice intera. Caso particolare di funzione intera: FUNZIONE LINEARE: y = ax +b, con a, b numeri reali fissati

7 Definizioni una funzione si dice positiva negli intervalli in cui f(x) > 0, cioè in quegli intervalli dell’asse delle x nei quali la funzione ha punti al di sopra dell’asse x. una funzione si dice negativa negli intervalli in cui f(x) < 0, cioè in quegli intervalli dell’asse delle x nei quali la funzione ha punti al di sotto dell’asse x.

8 POSITIVA -6<x<1 o per x>4 -6 1 4 NEGATIVA x<-6 o per 1<x<4

9 una funzione si dice pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle y,
cioè se f(-x) = f (x) per ogni x del C.E. una funzione si dice dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine O, cioè se f(-x) = - f (x) per ogni x del C.E.

10 SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE Y
Funzione PARI y = x2 f(-x) = f(x) -x x

11 -x x SIMMETRIA RISPETTO ALL’ORIGINE Funzione DISPARI y = x3 f(x) f(-x)

12 Definizioni una funzione si dice crescente in un intervallo I dell’asse x, se per ogni x1, x2 appartenenti ad I, con x1<x2, allora f(x1)<f(x2). Una funzione si dice monotona in un intervallo IR, se in I essa è sempre crescente o sempre decrescente.

13 Definizioni una funzione si dice iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte f A B y x Così non è iniettiva Così è iniettiva

14 Definizioni una funzione si dice suriettiva se l’insieme delle immagini di A coincide con tutto B f A B y x Così non è suriettiva Così è suriettiva

15 Definizioni una funzione si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva
y x

16 Teorema: se è noto il grafico di y = f (x), allora
il grafico di y = f (x) + c è quello di f traslato verticalmente di |c| verso l’alto se c >0; verso il basso se c<0 y=f(x) + 3 y=f(x) 3

17 Teorema: se è noto il grafico di y = f (x), allora
il grafico di y = f (x + c) è quello di f traslato orizzontalmente di |c| verso sinistra se c >0; verso destra se c<0 y=f(x+3) y=f(x) 3

18 Teorema: se è noto il grafico di y = f (x), allora
il grafico di y = -f (x) è simmetrico di quello di f rispetto all’asse x y=f(x) y= - f(x)

19 Teorema: se è noto il grafico di y = f (x), allora
il grafico di y = f (-x) è simmetrico di quello di f rispetto all’asse y y=f(x) y= f(-x)

20 Test Es.: se , allora f(-x) vale: a. b. c. d.
e. nessuno dei precedenti

21 Test Es.: la relazione rappresentata dal diagramma a lato:
non è una funzione è una funzione iniettiva ma non suriettiva è una funzione suriettiva ma non iniettiva è una funzione biiettiva nessuna della precedenti è corretta

22 Test Es.: data la funzione , si può dire che: è sempre maggiore di 1
assume almeno due volte il valore 1 non è pari f(0) =1 se x<-1, allora f(x) <0

23 Test la funzione y = x3 – 16x7: ha un solo zero in x = 0 è dispari
è positiva per ogni valore reale di x non è mai negativa non interseca l’asse y

24 Test Data una generica funzione lineare y = ax +b, se x triplica, di quanto aumenta y? 2b 2bx 2a 2ax 2x

25 Test Data una funzione f(x) tale che e , quanto vale f (3)?
non si può calcolare 1/5 -1/5 2 -2

26 Test Quale fra le seguenti funzioni ha il grafico simmetrico rispetto all’asse y? a. b. c. d. e.

27 Test Per quali valori reali di x la funzione y = (a-1)4x2 +3 ha valori positivi? solo per x = a+1 solo per x = 0 nessuno per qualsiasi valore di x per x>0