Elevamento a potenza di G. CALVI

Presentazione sul tema: "Elevamento a potenza di G. CALVI"— Transcript della presentazione:

1 Elevamento a potenza di G. CALVI

2 la moltiplicazione può essere vista come abbreviazione di un’addizione tra addendi uguali = 4 ∙ 3 = 12 numeri.altervista.org di G. Calvi

3 Consideriamo ora moltiplicazioni di fattori uguali fra loro:
Questa operazione può essere abbreviata con la scrittura dove 2 prende il nome di base e 4 è detto esponente L’operazione ora introdotta è detta elevamento a potenza numeri.altervista.org di G. Calvi

4 elevare a potenza un numero, significa moltiplicarlo per se stesso
tante volte quando indica l'esponente numeri.altervista.org di G. Calvi

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6 Alcune proprietà delle potenze rendono più semplici calcoli
Impariamole subito! numeri.altervista.org di G. Calvi

7 Si applica al prodotto di potenze che hanno la stessa base
proprietà n. 1 Si applica al prodotto di potenze che hanno la stessa base Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = ( ) ( 2 2 ) = 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 2 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

8 Si applica al prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente
proprietà n. 2 Si applica al prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = (2x2x2)x(3x3x3) = (2x3)(2x3)(2x3) 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

9 Si applica al quoziente di potenze che hanno la stessa base
proprietà n. 3 Si applica al quoziente di potenze che hanno la stessa base Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = ( 4x4x4x4x4 ) : ( 4x4x4 ) = 4x4 5 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

10 Si applica al quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente
proprietà n. 4 Si applica al quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = (12x12x12) : (3x3x3) = (12 : 3)(12 : 3)(12 : 3) 3 𝑣𝑜𝑙𝑡e 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

11 La potenza di una potenza
proprietà n. 5 La potenza di una potenza Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = (2x2x2) X (2x2x2) = 2x2x2x2x2x2 3 𝑣𝑜𝑙𝑡e X 2 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

12 STESSA BASE PRODOTTO STESSO ESPONENTE STESSA BASE QUOZIENTE STESSO ESPONENTE POTENZA DI POTENZA

13 Due situazioni pericolose…..
numeri.altervista.org di G. Calvi

14 cerchiamo di dare una risposta a questo interrogativo
Per far questo consideriamo un esempio numerico : Possiamo svolgere i calcoli, utilizzando la definizione di potenza: Oppure applicando le proprietà appena studiate I due procedimenti, entrambi corretti, devono avere lo stesso risultato per cui concludiamo numeri.altervista.org di G. Calvi

15 Ma ricorda numeri.altervista.org di G. Calvi

16 cerchiamo di dare significato a questa scrittura
Per far questo consideriamo un esempio : Possiamo svolgere i calcoli, utilizzando la definizione di potenza: Oppure applicando le proprietà appena studiate I due procedimenti, entrambi corretti, devono avere lo stesso risultato per cui concludiamo numeri.altervista.org di G. Calvi

17 Per calcolare una potenza con esponente negativo è necessario:
elevare il reciproco della base all’opposto dell’esponente. numeri.altervista.org di G. Calvi

18 Potenze con base numeri.altervista.org di G. Calvi

19 base positiva base negativa
Nessun problema svolgiamo i calcoli come nell’insieme dei Naturali base positiva ESPONENTE PARI  RISULTATO POSITIVO base negativa ESPONENTE DISPARI  RISULTATO NEGATIVO numeri.altervista.org di G. Calvi

20 Estensione del concetto di potenza
Parte 2 Estensione del concetto di potenza numeri.altervista.org di G. Calvi

21 Facendo variare l’insieme a cui appartiene l’esponente
Il nostro obiettivo è quello di estendere il concetto di elevamento a potenza, dando significato alla scrittura: Facendo variare l’insieme a cui appartiene l’esponente numeri.altervista.org di G. Calvi

22 esponente intero relativo
esponente naturale esponente intero relativo esponente razionale positivo numeri.altervista.org di G. Calvi

23 Potenza ad esponente razionale positivo
Anche in questo caso la definizione discende dalla necessità di mantenere valide le proprietà formali, in particolare la proprietà della potenza di potenza. Osserva questo esempio: avendo applicato la prop. della potenza di potenza è ugual ad un numero che elevato al quadrato da’ 2 cioè pertanto generalizzando arriviamo alla definizione numeri.altervista.org di G. Calvi

24 è possibile definire una potenza anche quando l'esponente è un numero reale arbitrario (quindi anche per esponenti irrazionali che non possono essere scritti come quoziente di due numeri interi, come ad esempio ). Ha un senso la potenza ? numeri.altervista.org di G. Calvi

25 A tal fine ricordiamo che ciascun numero irrazionale può essere approssimato da numeri razionali. Se come esponente vogliamo scegliere ad esempio , consideriamo la successione di numeri 3.14, , , , ... numeri.altervista.org di G. Calvi

26 Questi numeri si avvicinano sempre più a (più precisamente: possiamo avvicinarci a piacere a ), e sono tutti razionali (ad esempio 3.14 = 314/100 è quoziente di due numeri interi), quindi possono essere scelti come esponenti di una potenza. numeri.altervista.org di G. Calvi

27 Consideriamo adesso le potenze che possiamo formare con
questi numeri volendo calcolare numeri.altervista.org di G. Calvi

28 N.B. le due successioni tendono allo stesso valore, tale valore è l’elemento separatore delle due classi di numeri. La nostra argomentazione non è rigorosa dal punto di vista matematico, ma per il momento ci accontentiamo Forse la costruzione può sembrare un po' complicata, malgrado sia poco rigorosa. Il suo scopo non è il calcolo pratico - ciò sarà come sempre delegato al calcolatore elettronico . Scopo della nostra discussione era accertare (teoricamente) che il concetto di potenza con esponenti reali avesse un significato. numeri.altervista.org di G. Calvi