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Programmazione Bilivello
Lezione 2
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Definizioni e Proprietà: Soluzione Ottimistica/Pessimistica
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
se il reaction set R(x) non è single-value la soluzione potrebbe essere non stabile o non esistere affatto BLP può non avere soluzione anche se le funzioni sono continue e limitate approccio ottimistico cooperazione approccio pessimistico avversione al rischio
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
Teorema di Dempe sull’esistenza della soluzione ottimistica e pessimistica: Si consideri un problema di programmazione bilivello con variabili positive. Sia la regione S non vuota e compatta, se esiste una soluzione (x,y) tale che G(x,y) ≤ 0 con y ϵ R(x) e x ≥ 0, allora la formulazione ottimistica del problema ammette almeno una soluzione ottima. Non vale altrettanto per la formulazione pessimistica.
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
Esempio 2 (Bard):
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
Reaction set R(x): sostituendo nella f.o. upper level:
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
andamento della f.o. F(x,y) al variare di x ottimistico pessimistico
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
andamento della f.o. F(x,y) al variare di x approccio ottimistico soluzione ottima
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
andamento della f.o. F(x,y) al variare di x approccio pessimistico soluzione ottima non esiste
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
Si consideri il seguente problema bilivello. La soluzione ottima è stabile?
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Soluzione Ottimistica/Pessimistica
Test di stabilità Data una soluzione , si risolve il seguente problema: Se il valore della funzione obiettivo leader non cambia la soluzione è stabile.
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Definizioni e Proprietà: BLP e Ottimizzazione Biobiettivo
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BLP e Pareto Ottimalità
una soluzione ottima non è necessariamente Pareto-ottimale nel caso in cui ,y) = c1x + d1y e f(x,y)= c2x + d2y se d1=αd allora la soluzione è Pareto-ottimale (Macotte, Savard)
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BLP e Pareto Ottimalità
C D
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BLP e Pareto Ottimalità
C D
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BLP e Ottimizzazione Biobiettivo
C D regione delle soluzioni dominanti
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Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region
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BLP e Ottimizzazione Biobiettivo
frontiera efficiente nello spazio degli obiettivi
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BLP e Ottimizzazione Biobiettivo
C D vincoli corrispondenti alla frontiera efficiente nello spazio degli obiettivi
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Metodi Risolutivi: BLP Lineare
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BLP Lineare
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BLP Lineare: Metodi di Trasformazione
Fortuny-Amat e McCarl, 1981 si sostituisce il problema follower con le sue condizioni KKT single-level con vincoli bilineari di complementarità si linearizzano i vincoli introducendo variabili binarie uno dei metodi più utilizzati per la facilità implementativa
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BLP Lineare: Metodi di Trasformazione
branch & bound sulle variabili zi ottimo globale limiti: uso della big-M che riduce l’efficienza aumento del numero di vincoli e variabili
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BLP Lineare: Metodi di Trasformazione
Nel caso lineare
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BLP Lineare: Metodi di Trasformazione
Bard e Moore, 1990 si sostituisce il problema follower con le sue condizioni KKT single-level con vincoli bilineari di complementarità si ignorano i vincoli di complementarità se ui gi(x,y) ≠ 0 branch & bound su ui e gi(x,y) ottimo globale
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