Metodi numerici in finanza: il pricing di opzioni esotiche

Presentazione sul tema: "Metodi numerici in finanza: il pricing di opzioni esotiche"— Transcript della presentazione:

1 Metodi numerici in finanza: il pricing di opzioni esotiche
Matematica e Finanza (Milano, 27 ottobre 2005) Marco Airoldi Indice Le opzioni Alberi binomiali Differenze finite 2. Metodo Monte Carlo Metodi di quadratura (espansione perturbativa nei momenti) Conclusioni 9/17/2018

2 Metodi di pricing una vista d’insieme
9/17/2018

3 SEZIONE I – Le opzioni Definizione
Opzione plain vanilla: un'opzione dà al suo possessore il diritto di acquistare o vendere, ad una data futura, un certo bene (il sottostante) ad un certo prezzo (detto prezzo di esercizio o “strike price”): Un’opzione è una scommessa (o un’assicurazione) Opzioni esotiche: in generale il mercato nel corso degli anni ha sviluppato opzioni con caratteristiche più complesse rispetto alle semplici “plain vanilla”. 9/17/2018

4 Opzioni asiatiche e con barriera
Opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla media aritmetica dei prezzi dell’attività sottostante, rilevati in date predeterminate: average price call: Opzione con barriera: il pay-off finale è condizionato dal fatto che il prezzo dell'attività sottostante abbia raggiunto o meno un certo livello (barriera). call down-out: 9/17/2018

5 Opzioni reverse cliquet e opzioni americane
Opzione reverse cliquet: il pay-off finale è legato alla media delle performance negative del sottostante: Opzioni americane: sono opzioni in cui l’esercizio del diritto può avvenire prima della scadenza 9/17/2018

6 Il modello log-normale per i prezzi delle azioni
Modello per l’evoluzione dei prezzi azionari: processo stocastico di Wiener / moto geometrico browniano la versione discreta di tale modello è il ben noto random walk Einstein 1905 -- Bachelier 1900! Distribuzione dei ritorni Distribuzione Gaussiana 9/17/2018

7 Equazione di Black & Scholes Problema dell’option pricing
Sulla base del modello log-normale, il calcolo del prezzo di un’opzione si riduce ad un’equazione differenziale alle derivate parziali: Esistono soluzioni esatte nel caso delle opzioni più semplici Non esistono soluzioni esatte per la maggioranza delle opzioni esotiche. In generale il pricing di opzioni esotiche richiede algoritmi numerici. 9/17/2018

8 SEZIONE II – Il metodo Monte Carlo in finanza
Il calcolo del prezzo di un’opzione si può riformulare tramite un integrale di cammino (dove i cammini sono tutte le possibili evoluzioni future dell’azione sottostante) Indicando con fp il pay-off dell’opzione relativamente ad un dato cammino, il prezzo dell’opzione ad oggi, f, sarà: essendo Ê il valore di aspettazione neutrale al rischio, T il tempo a scadenza ed r il tasso privo di rischio. L’applicazione del metodo Monte Carlo al caso in esame, consiste nel generare un numero sufficientemente alto di stime di fp da cui estrarre il valore medio. 9/17/2018

9 Il Monte Carlo e il calcolo di p
Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere utilizzata come stimatore di un integrale Questo può essere interpretato come il valore di aspettazione della funzione f di due variabili aleatorie a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo [-1, 1]x [-1, 1] Densità di probabilità uniforme. 9/17/2018

10 Il Monte Carlo e il calcolo di p
Il valore dell’integrale può essere stimato tramite la media aritmetica di N valori di f(xi yi) dove ciascuna coppia (xi yi) è un campione estratto da una distribuzione uniforme in [-1, 1]x [-1, 1]. Ovvero: é uno stimatore di I=p/4. L’errore della stima si può dedurre dal T. del limite centrale: siano wi un set di variabili stocastiche i.i.d. con media m e varianza s2. La media W, nel limite N infinito, è una variabile stocastica distribuita gaussianamente con media: m e varianza s2/N. 9/17/2018

11 Scaling dell’errore nel Monte Carlo
Nelle simulazioni Monte Carlo l’errore decresce come: Questo risultato è indipendente dalla dimensione del problema. Con il metodo del trapezoide l’errore nel calcolo di un integrale in D dimensioni scala come: L’indipendenza dalla dimensione, rende il metodo Monte Carlo uno dei mezzi numerici più potenti per la risoluzione di problemi in alte dimensioni. 9/17/2018

12 Il Monte Carlo nel pricing di un’opzione
STEP 1 – Definire un processo stocastico per il sottostante STEP 2 – Costruire una grande numero di scenari (le possibili evoluzioni del sottostante azionario) Si divide l’intervallo di vita del derivato in m intervalli di ampiezza t. Si calcolano i valori futuri Si agli istanti ti = i t fino alla scadenza T. NB: il processo di simulazione richiede la generazione di m numeri casuali indipendenti normalmente distribuiti. 9/17/2018

13 Il Monte Carlo nel pricing di un’opzione
STEP 3 – Valutare il valore del premio a scadenza sotto ciascun scenario (traiettoria). STEP 4 – Calcolare il valor medio (ovvero il prezzo dell’opzione!) e il relativo errore, sulla base della distribuzione ottenuta. Processi per il / i sottostanti Distribuzione probabilistica dei premi. Calcolo della media e dell’errore Scenari 9/17/2018

14 Il problema della generazione di numeri “casuali”
Il Monte Carlo richiede la generazione di numeri casuali. E’ possibile per un computer (cioè una macchina deterministica) generare numeri veramente casuali? ---> NO! Esistono due soluzioni: Numeri pseudo casuali: sono numeri generati da un calcolatore tramite un algoritmo deterministico (basato usualmente sul generatore lineare congruente). I numeri prodotti non sono veramente casuali, anche se le loro proprietà statistiche sono simili a quelle delle sequenze casuali. I parametri a, b ed m determinano la qualità del generatore. a moltiplicatore, b incremento, m modulo. La sequenza di numeri casuali tenderà a ripetersi dopo un ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m. Numeri quasi casuali (-> Quasi Monte Carlo) 9/17/2018

15 Numeri Quasi Casuali Sequenze a bassa discrepanza / Simulazioni Quasi Monte Carlo
Nel Monte Carlo l’errore scala lentamente all’aumentare del numero di cammini generati. La causa è legata a fenomeni di clusterizzazione dei punti campionati. Nelle sequenze a bassa discrepanza i punti sono generati (algoritmicamente) in modo da riempire lo spazio delle fasi nella maniera più uniforme possibile, andando a disporsi all’interno degli spazi lasciati vuoti dagli altri punti. Si dimostra che l’andamento asintotico della discrepanza, d, in D dimensioni è: 9/17/2018

16 Miglioramenti al Monte Carlo Sequenze a bassa discrepanza / Comportamento in Alte Dimensioni
Vantaggi: Sono necessari meno scenari a parità di precisione Svantaggi: Il tasso di convergenza dipende dalla dimensionalità del problema (-> inefficiente in alte dimensioni). Quando si eseguono simulazioni Monte Carlo con un numero elevato di dimensioni si osserva che le dimensioni più alte tendono a diventare fortemente correlate (vedi figura). 9/17/2018

17 Perché il Monte Carlo Vantaggi
Rispetto ad altri metodi numerici il Monte Carlo permette di trattare problemi in alte dimensioni. Semplice da implementare Svantaggi: Pesante da un punto di vista computazionale. 9/17/2018

18 SEZIONE III – Alberi binomiali
E’ un metodo numerico basato sulla generazione di un albero L’albero rappresenta l’evoluzione dell’azione nel tempo, tramite un processo discreto su reticolo I movimenti azinari ammessi sono solo up o down Il reticolo converge nel limite del continuo al modello log-normale 9/17/2018

19 Alberi binomiali – metodo CRR
Le probabilità dei movimenti up e down non sono uguali L’albero è simmetrico rispetto all’asse orizzontale. 9/17/2018

20 Alberi binomiali – metodo di Rubinstein
Le probabilità dei movimenti up e down sono identiche (50%) L’albero non è simmetrico rispetto all’asse orizzontale. 9/17/2018

21 Alberi binomiali – calcolo del prezzo di un’opzioni
Costruzione dell’albero secondo uno dei due metodi (CRR o Rubinstein) Costruzione a ritroso del prezzo dell’opzione partendo dal tempo finale (data di maturità dell’opzione) in cui il pay-off è noto Semplice da implementare Gestisce l’esercizio anticipato (opzioni americane) Limitato alle basse dimensionalità Richiede implementazioni ad hoc in base al tipo di contratto 9/17/2018

22 SEZIONE IV – Differenze finite
E’ un metodo numerico basato sulla risoluzione delle equazioni alle derivate parziali di Black & Scholes Le equazioni e la funzione che rappresenta il prezzo dell’opzione vengono discretizzate E’ equivalente ad un albero trinomiale 9/17/2018

23 Differenze finite – metodo esplicito
Si fissano le condizioni al contorno (in particolare le condizioni finali per t = data di maturità). Le equazioni sono risolte tramite una ricorsione di tipo “backward” (ovvero a ritroso) partendo dalla data di maturità, ricavando Fi,j in termini di Fi+1,j. 9/17/2018

24 Differenze finite - opzioni
Relativamente semplice da implementare E’ possibile usare metodi di accelerazione Gestisce l’esercizio anticipato (opzioni americane) Limitato alle basse dimensionalità Richiede implementazioni ad hoc in base al tipo di contratto 9/17/2018

25 SEZIONE V – Metodi di quadratura
Pricing di opzioni path dependent Integrale multiplo Integrali annidati (tanti quante sono le date di rilevazione) Integrali ricorsivi uni-dimensionali (che coinvolgono tipicamente funzioni di densità) Esempio: Opzioni Reverse cliquet 9/17/2018

26 Opzioni Reverse cliquet in uno schema di Quadratura
Performance negative Prodotto di convoluzione (cioè un integrale) 9/17/2018

27 PDF nei metodi di Quadratura
Due problemi principali: Come trattare le densità di probabilità (PDF); Come comporre in maniera efficiente le PDF (prodotti di convoluzione); Soluzioni proposte dalla letteratura: La PDF è rappresentata tramite una griglia di punti; La PDF è interpolata usando polinomi di Chebyshev; La PDF is modellata tramite una forma parametrica (+ fit quadratico); Svantaggi: La convoluzione delle PDF è pesante; Ciascuna PDF richiede la memorizzazione di molti punti; Nel caso di rappresentazione parametrica, si deve indovinare la forma della PDF; 9/17/2018

28 Espansione perturbativa nei momenti (ME) di una PDF
ME: un metodo per approssimare una PDF tramite una serie perturbativa intorno ad una data PDF: Con la seguente condizione sui momenti …… Funzione Gaussiana (media zero, varianza unitaria) Da determinare risolvendo il sistema lineare 9/17/2018

29 Espansione perturbativa nei momenti (ME) di una PDF
Espansione di una PDF includendo solo i primi 4 momenti: Funzione Gaussiana (media zero, varianza unitaria) Skewness – momento terzo (code asimmetriche) Kurtosis – momento quarto (code grasse) 9/17/2018

30 Convoluzione di PDF tramite i momenti
Convoluzione in termini di PDF Integrale “Complesso” Convoluzione in termini dei momenti: Algebra elementare!! 9/17/2018

31 Strategia dell’espansione nei momenti (ME)
Soluzione basata sull’espansione nei momenti: le operazioni tra variabili random sono risolte in termini dei momenti le PDF sono recuperate tramite un’espazione nei momenti. Vantaggi: i prodotti di convoluzione sono più semplici in termini dei momenti (solo algebra). pochi parametri da gestire (solo i primi momenti) per ciascuna PDF. 9/17/2018

32 Opzioni Reverse cliquet - risultati
Option price r=9% s=30 % S0= H=m 4% T=2 year m = 24 ME(4) % ME(6) % ME(8) % ME(10) % ME(12) % Quasi MC Vantaggi L’algoritmo ME è semplice da implementare; Fornisce una precisione eccellente (l’errore è inferiore allo 0.1% già con pochi momenti); Il tempo di CPU scala linearmente con il numero di date di osservazione; i processi non normali possono essere trattati naturalmente; Svantaggi Non è disponibile, al momento, una stima dell’errore; 9/17/2018

33 Conclusioni Abbiamo presentato le principali metodologie numeriche applicate al calcolo del prezzo di un’opzione. I metodi numerici in finanza sono destinati a diventare sempre più importanti a causa dell’aumento di esoticità dei prodotti finanziari. 9/17/2018