MATEMATICA PER OSSERVARE, MATEMATICA PER RAGIONARE

Presentazione sul tema: "MATEMATICA PER OSSERVARE, MATEMATICA PER RAGIONARE"— Transcript della presentazione:

1 MATEMATICA PER OSSERVARE, MATEMATICA PER RAGIONARE
I.C. Anna Compagnone Palau – 4, 5 maggio 2018 1 1

2 CIFRE ROSSE E CIFRE NERE (Cat. 4, 5)
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO CIFRE ROSSE E CIFRE NERE (Cat. 4, 5) Giuliano ha scritto ciascuno dei numeri da 0 a 99 su dei biglietti, utilizzando una penna nera per le cifre « 1 », « 3 », « 5 », « 7 » e « 9 » e una penna rossa per le cifre « 0 », « 2 », « 4 », « 6 » e « 8 ». Distribuisce i biglietti in quattro scatole sulle quali scrive: N, R, NR e RN: - nella scatola N, mette i numeri scritti interamente in nero, come 37 o 7 - nella scatola R, quelli scritti interamente in rosso, come 6 o 24 - nella scatola NR, mette i numeri nei quali la cifra delle decine è nera e la cifra delle unità è rossa, come 58 - nella scatola RN, quelli che restano, come 85. In quale scatola ci saranno più numeri? In quale di meno? Spiegate le vostre risposte.

3 - Aritmetica: numerazione, distinzione cifra-numero, pari/dispari
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Ambito concettuale - Aritmetica: numerazione, distinzione cifra-numero, pari/dispari Analisi del compito - Constatare o ricordarsi che i numeri da 0 a 99, sono composti da una o da due cifre, che qui occorre osservarli secondo il criterio “rosso” o “nero” (pari o dispari se si considerano queste cifre come dei numeri naturali di una sola cifra) - Ricordarsi che ci sono 100 numeri da 0 a 99, in vista di verifiche o per una stima iniziale. Immaginare che, in caso di ripartizione uguale, ogni scatola conterrà 25 biglietti. - Analizzare più dettagliatamente la scrittura dei numeri composti da cifre nere e constatare che ce ne sono 5 d’una sola cifra (1, 3, 5, 7, 9) poi per i numeri a due cifre trovare le 25 (5 x 5) possibilità combinando le cifre delle decine e delle unità. Concludere che ci saranno 30 numeri (25 + 5) nella scatola N. - Il caso delle cifre “rosse” è diverso dal precedente. Ci sono anche qui 5 numeri di una sola cifra (0, 2, 4, 6, 8) ma ce ne sono solo 20 (4 x 5) di due cifre rosse combinando le 4 possibilità rimanenti per le cifre delle decine (2, 4, 6, 8) e le 5 possibilità per le cifre delle unità. Si arriva così a 25 (5 + 20) che si scrivono con sole cifre rosse. Ci saranno 25 numeri nella scatola R.

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- I numeri bicolori sono di due cifre. Ci sono 5 possibilità di iniziare con una cifra nera: cifra delle decine 1, 3, 5, 7, 9 combinate con i 5 casi di una seconda cifra rossa, delle unità, 0, 2, 4, 6, 8, il che conduce a 25 numeri in NR. - Per gli altri numeri bicolori ci saranno solo 20 possibilità combinanti le quattro cifre rosse delle decine 2, 4, 6, 8 con le cinque cifre nere delle unità 1, 3, 5, 7, 9. Ci saranno 20 numeri dentro RN. Oppure: - Scrivere i 100 numeri utilizzando due colori e procedere per conteggio a uno a uno dei numeri di ciascuna categoria. - Formulare la risposta: la scatola N ne avrà il maggior numero (30) e la scatola RN ne avrà il minor numero (20). - Quindi redigere le “spiegazioni” mostrando, ad esempio, delle disposizioni ordinate dove le combinazioni siano ben visibili in un semplice inventario di numeri ciascuno dei quali scritto nei colori preordinati. Validare eventualmente le risposte calcolando i numeri di R e di NR e verificando che la somma dei numeri ripartiti sia 100.

5 Quali sono le operazioni che Daniele ha scelto di fare, ogni volta?
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO IL GIOCO DELL’ANATRA (Cat. 4, 5) Il gioco dell’Anatra si gioca come quello dell’Oca: si sposta il proprio pedone su una pista numerata da 1 a 60, utilizzando 2 dadi e partendo dalla casella “partenza”. Ma la regola non è la stessa di quello dell’Oca: tutte le volte che si lanciano i due dadi, si può scegliere di addizionare o di moltiplicare i due numeri ottenuti. Ad es., se i due dadi danno 3 e 5 si può scegliere di addizionarli e allora si avanza di 8 passi, oppure di moltiplicarli e allora si avanza di 15 passi. Daniele ha ottenuto 5 e 4 la prima volta che ha lanciato i dadi; al secondo tiro ha ottenuto 4 e 6 e al terzo tiro 5 e 6. Dopo questi tre tiri è arrivato esattamente nella casella 60 (fine del gioco). Quali sono le operazioni che Daniele ha scelto di fare, ogni volta? Poteva arrivare nella casella 60 scegliendo altre operazioni? Scrivete le operazioni che Daniele ha scelto di fare ogni volta e spiegate perché.

6 - Aritmetica: addizioni e moltiplicazioni di interi naturali
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Ambito concettuale - Aritmetica: addizioni e moltiplicazioni di interi naturali - Combinatoria Analisi del compito - Effettuare le tre moltiplicazioni, trovare i tre prodotti 20, 24 e 30 (somma 74); effettuare le tre addizioni, trovare le tre somme 9,10 e 11 (somma 30), constatare che si dovrà obbligatoriamente scegliere una moltiplicazione e due addizioni o due moltiplicazioni e una addizione per arrivare a 60. - Scegliendo un solo prodotto, il più grande è 30, non si arriva a 60 con due somme. Sono necessarie dunque due moltiplicazioni e una addizione. Ci sono tre scelte possibili con due dei tre prodotti. Si ottiene per due lanci: = 44, = 64 oppure = 50. Solo quest’ultima scelta permette di arrivare a 60 con la somma 10 al secondo tiro.

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Oppure: - Osservare che i prodotti sono tutti numeri pari e le somme sono due dispari e una pari. Per ottenere 60 occorre allora prendere o le due somme dispari (5 + 4 e 5 + 6) e il prodotto (4 x 6) o la somma pari (6 + 4) e i due prodotti (5 x 4 e 6 x 5). Verificare che solo in quest’ultimo caso si ottiene 60. - Considerare le tre coppie di numeri che si possono ottenere dopo ogni lancio: 9 e 20 ; 10 e 24 ; 11 e 30. Constatare che, siccome si può prendere uno solo dei numeri di ogni coppia, c’è un solo modo di arrivare a 60: = (5 x 4) + (4 + 6) + (5 x 6).

8 (5 + 4) + (4 + 6) + (5 + 6) = 30 (5 x 4) + (4 + 6) + (5 + 6) = 41
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Oppure: - Organizzare una ricerca sistematica, aiutandosi eventualmente con una tabella o con un diagramma ad albero (5 + 4) + (4 + 6) + (5 + 6) = (5 x 4) + (4 + 6) + (5 + 6) = 41 (5 + 4) + (4 + 6) + (5 x 6) = (5 x 4) + (4 + 6) + (5 x 6) = 60 (5 + 4) + (4 x 6) + (5 + 6) = (5 x 4) + (4 x 6) + (5 + 6) = 55 (5 + 4) + (4 x 6) + (5 x 6) = (5 x 4) + (4 x 6) + (5 x 6) = 74 - Redigere la risposta con la scelta delle operazioni: prima la moltiplicazione 5 x 4, seguita dall’addizione e infine dalla moltiplicazione 5 x 6. Giustificarla con delle scritture del genere delle precedenti e dire che è l’unica soluzione. Procedere per tentativi, senza essere sicuri dell’unicità della soluzione e senza risposta valida alla seconda domanda.

9 Attribuzione dei punteggi
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta e completa: moltiplicazione per prima, addizione per seconda e moltiplicazione al terzo lancio, con delle spiegazioni del genere (5 x 4) + (6 + 4) + (5 x 6) = = 60 e l’affermazione che non ci sono altre scelte possibili, sulla base di tentativi organizzati 3 Risposta corretta, ma spiegazione parziale da cui si capisca però che si sono presi in considerazione i risultati delle tre moltiplicazioni e delle tre addizioni 2 Risposta corretta solamente alla prima domanda, senza spiegazione o altri calcoli 1 Inizio di ricerca corretta 0 Incomprensione del problema

10 manifesto con il famoso logo del Rally.
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO UN BEL MANIFESTO (Cat. 7, 8, 9, 10) Per la finale del Rally Matematico Transalpino si vuole realizzare un bel manifesto con il famoso logo del Rally. Per disegnare lo sfondo si è suddiviso il lato più lungo del rettangolo in 17 parti uguali tra loro e il lato più corto in 11 parti uguali tra loro e si sono poi tracciati in modo preciso i segmenti che ripartiscono il rettangolo in quattro triangoli.

11 Spiegate la vostra risposta e colorate i triangoli.
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Ogni triangolo dello sfondo va colorato uniformemente con un colore diverso: giallo, blu, verde e arancione. Si decide di utilizzare colori speciali e molto costosi, che hanno però prezzi diversi a seconda del colore: il giallo costa più di tutti, il blu meno del giallo, il verde meno del blu e l'arancione è il meno costoso. Come dovranno essere colorati i triangoli in modo da spendere il meno possibile? Spiegate la vostra risposta e colorate i triangoli.

12 - Geometria: area del triangolo - Misure
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Ambito concettuale - Geometria: area del triangolo - Misure - Aritmetica: confronto fra frazioni Analisi del compito - Capire che per spendere il meno possibile occorre colorare il triangolo di superficie maggiore con il colore che ha prezzo minore e via via scegliere il colore dei triangoli in base alla loro area. - Capire quindi che occorre confrontare i triangoli in base alla loro superficie. - Per i due triangoli D e C, osservare che le misure delle due basi (sulla lunghezza del rettangolo) sono 9 e 8 in unità riportate sulla lunghezza. Poiché hanno la stessa altezza, dedurre che l’area di D sarà superiore a quella di C (benché questo abbia i lati più lunghi). Lo stesso ragionamento si applica ai due triangoli A e B le cui misure sono 6 e 5 in unità riportate sulla larghezza. Il triangolo A avrà un’area maggiore di quella di B. - Per confrontare le aree tra i quattro triangoli, rendersi conto che necessario avere un’unità di misura comune. Ci sono allora diversi modi per superare questa difficoltà:

13 A in arancione, B in giallo, C in blu e D in verde.
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO immaginare il rettangolo diviso in rettangoli unità: 17 sulla lunghezza e 11 sulla larghezza. L’area del triangolo rettangolo D sarà dunque la metà di quella di un rettangolo di 9 x 11 rettangoli unità, cioè 99/2 o 49,5. L’area del successivo sarà (con un ragionamento analogo ma che fa appello alla formula dell’area di un triangolo) 8 x 11/2 = 88/2 = 44. Secondo la stessa pavimentazione in rettangoli unità, il triangolo A ha un’area di (6 x 17)/2 = 51 e il triangolo B ha un’area di (5 x 17)/2 = 42,5 tramite rapporti considerando il rettangolo grande come unità, le aree dei quattro triangoli (a partire da destra) sono la metà di 9/17, di 8/17, di 5/11 e di 6/11. Non resta che confrontare queste quattro frazioni riducendole per esempio allo stesso denominatore: 99/187 ; 88/187 ; 85/187 e 102/187 ricorrendo al calcolo algebrico designando con a e b le unità sulla lunghezza e sulla larghezza ed esprimendo le aree dei quattro triangoli: A: (6b x 17a)/2 = 51ab; B: (5b x 17a)/2 = 42,5ab; C: (8a x 11b)/2 = 44ab, D: (9a x11b)/2 = 49,5 ab. Oppure: calcolare le aree dei quattro triangoli rilevando le misure necessarie con il righello, trovando però un valore “approssimativo”. - Scegliere quindi il colore meno costoso, arancione, per il triangolo più grande, e così via. Si arriva così ai colori: A in arancione, B in giallo, C in blu e D in verde.

14 AIUOLA (Cat. 3, 4, 5) RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
Il signor Gladiolo ha suddiviso la sua aiuola con tre fili tesi ciascuno tra due paletti (indicati con A - A’, B - B’ e C - C’). Egli ha così ottenuto cinque parti contrassegnate con 1, 2, 3, 4, 5 sul disegno). La signora Rosa ha quattro fili e desidera suddividere la sua aiuola in un gran numero di parti perché ha molti fiori differenti. Quante parti al massimo la signora Rosa potrà ottenere tendendo i suoi quattro fili? Ogni filo deve essere teso tra due paletti piantati, non importa dove, sul bordo dell’aiuola. Disegnate la vostra migliore soluzione.

15 Ambito concettuale Analisi del compito RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
Geometria: rette, intersezioni e regioni Analisi del compito Verificare le affermazioni sull’aiuola del signor Gladiolo Cercare più disposizioni dei fili e contare le parti Rendersi conto che più aumenta il numero delle intersezioni, più parti ci sono. (Non è vantaggioso piantare due paletti nello stesso buco ed il fatto che siano o no su dei vertici non modifica il risultato). Il massimo è 11 parti (con quattro fili tesi) Disegnare i fili e contrassegnare le varie parti

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Soluzione

17 Attribuzione dei punteggi
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Attribuzione dei punteggi 4 Le 11 parti trovate, con disegno chiaro ed indicazione del numero delle parti 3 le 11 parti trovate ma mal distinte o disegno preciso e chiaro di 10 parti 2 10 parti trovate ma mal distinte, o disegno preciso e chiaro di 8 o 9 parti, o problema risolto in modo ottimale con 3 fili soltanto (come il signor Gladiolo) (7 parti) 1 8 o 9 parti trovate ma mal distinte o disegno preciso e chiaro di 5, 6 o 7 parti 0 Incomprensione del problema

18 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
CHI VA PIANO (Cat. 6, 7, 8) Matteo è un bravo automobilista ed ha una guida molto regolare. Oggi parte per le vacanze. Passa da Paesino, attraversa Vieneprima, poi Vienedopo, per poter raggiungere Marina Bella, la sua meta. La nonna lo raggiungerà tra qualche giorno, guidando, prudentemente, la sua vecchia Fiat 500. Matteo le telefona per informarla sui tempi di percorrenza. «Sono passato da Paesino alle 8 del mattino, da Vieneprima alle 8.45, e da Vienedopo alle Alle ero a Marina Bella. Non ho fatto imprudenze. Anzi sono andato sempre alla stessa velocità!». Quando la nonna fa lo stesso percorso, passa con la sua macchina da Paesino alle 9.10, ma raggiunge Vieneprima alle La nonna si accorge di andare più piano di Matteo, ma siccome è molto prudente, non accelera e continua con la sua andatura tranquilla e regolare. A che ora arriverà la nonna a Vienedopo e a che ora raggiungerà Marina Bella? Spiegate come avete trovato la soluzione.

19 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
Ambito concettuale -  Aritmetica: addizioni, moltiplicazioni, divisioni, proporzionalità -  Misure di tempo Analisi del compito -  Capire che la nonna ha accumulato 15 min di ritardo rispetto al tempo previsto nel tratto tra Paesino e Vieneprima (1 ora invece di 45 minuti). -  Considerare che in 45 min ci sono 3 quarti d’ora e concludere che accumula un ritardo di 5 min ogni 15. -  Calcolare il tempo impiegato da Matteo tra la seconda e la terza tappa (45 min) e tra la terza e la quarta (60 min) - Il ritardo accumulato quindi sarà di 15 min tra la seconda e la terza (45:15x5) e di 20 min (60:15x5) tra la terza e la quarta. -  Aggiungere il ritardo della nonna al tempo impiegato da Matteo per trovare i due risultati richiesti: 11h10 e 12h30 -  Oppure organizzare i dati in una tabella e completarla, eventualmente servendosi delle proporzioni (45:60=60:x da cui x=80 ) - Oppure: organizzare i dati in una tabella e utilizzare l’uguaglianza degli scarti tra 8h e 8h45 e tra 8h45 e 9h30 per dedurre che la nonna impiega lo stesso tempo per andare da Paesino a Vieneprima e da Vieneprima a Vienedopo. Poiché lo scarto tra 9h30 e 10h30 (60 minuti) è 4/3 dello scarto tra 8h45 e 9h30 (45 minuti), si può utilizzare la stessa relazione per calcolare il tempo impiegato dalla nonna per andare da Vienedopo a Marinabella: 4/3 di 60 minuti, cioè 80 minuti.

20 Attribuzione dei punteggi
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (alle ore passa per Vienedopo e alle arriva a Marina Bella) con spiegazione chiara del ragionamento seguito. 3 Risposta corretta ma con spiegazione non completa o poco chiara 2 Procedimento corretto senza spiegazione o procedimento corretto ma con un errore 1 Inizio di ragionamento corretto o risposta corretta solo per Vienedopo (11h10) 0 Incomprensione del problema

21 Annamaria ha teso una cordicella su un’asse chiodata rettangolare.
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO LA CORDICELLA (Cat. 4, 5) Annamaria ha teso una cordicella su un’asse chiodata rettangolare. Vede che la cordicella: forma un rettangolo i cui lati sono paralleli a quelli della tavoletta tocca 22 chiodi circonda 18 quadretti interi Disegnate una cordicella che, come la precedente: formi un rettangolo i cui lati siano paralleli a quelli dell’asse tocchi sempre 22 chiodi ma circondi il maggior numero possibile di quadretti interi. Siete sicuri d’aver trovato il rettangolo che contiene il maggior numero di quadretti?

22 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
Ambito concettuale  - Aritmetica: addizione, moltiplicazione  - Geometria: rettangolo, approccio alle nozioni di perimetro e area  Analisi del compito  - Verificare i dati dell’enunciato: 22 chiodi e 18 quadretti  - Pensare che il rettangolo potrebbe essere più lungo o più largo e rendersi conto che se si aumenta la lunghezza, la larghezza diminuisce e reciprocamente, se diminuisce la lunghezza la larghezza aumenta toccando egualmente lo stesso numero di chiodi (il perimetro è conservato).  - Constatare che il numero dei quadretti interni varia secondo i rettangoli e annotare i risultati, superando le difficoltà ad esprimere le lunghezze dei lati  lunghezza*:   larghezza*:   chiodi toccati (perimetro*)   quadretti circondati (area)   - Spiegare che il numero dei quadretti varia, secondo i calcoli o i tentativi, che è possibile circondarne 24, poi 28, poi 30 e disegnare il rettangolo da 5 per 6 come soluzione. Visto che le dimensioni sono espresse in numeri interi, il numero di tentativi è limitato e permette di essere sicuri che la soluzione trovata sia quella ottimale. 

23 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
Attribuzione dei punteggi  4 Disegno di un rettangolo 5 x 6 con spiegazione del perché è il rettangolo più grande (lista dei rettangoli il cui perimetro è 22, il rettangolo che ha l’area più grande è quello che più si avvicina al quadrato,...)  3 Soluzione corretta, senza spiegazioni pertinenti  2 Disegno di un rettangolo 7 x 4  1 Inizio di ricerca coerente o non rispetto di un vincolo  0 Incomprensione del problema...  * I bambini potrebbero non usare necessariamente i termini «lunghezza» e «larghezza» e potrebbero riferirsi al «numero di chiodi». Per esempio, potrebbero considerare il rettangolo la cui area è 30 come “ 6 x 5” oppure come quello che ha “7 chiodi e 6 chiodi” in lunghezza e in larghezza. Dai chiodi al perimetro considerato come una grandezza continua (una lunghezza), c’è ancora tutta una costruzione da elaborare, ma qui il disegno della cordicella elimina le ambiguità. 

24 Un mattino, il pasticcere di Dolcilandia riceve questo messaggio:
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO I DOLCETTI (Cat. 3, 4) Un mattino, il pasticcere di Dolcilandia riceve questo messaggio: Purtroppo una macchia di cioccolato gli impedisce di leggere il numero di giorni. Quello stesso mattino il pasticcere si mette subito al lavoro per aver pronti prima possibile 12 dei suoi dolcetti speciali, uno per ogni personaggio. La preparazione è lunga ed il pasticcere ne può preparare solo 5 per mattina. Purtroppo per lui, le sue quattro figlie sono molto golose e ogni pomeriggio, a merenda, ciascuna di loro mangia un dolcetto. Fortunatamente, però, quando gli illustri personaggi arrivano, il pasticcere ha pronti esattamente 12 dolcetti speciali. Qual è, nel messaggio, il numero di giorni nascosto dalla macchia? Spiegate come avete fatto a trovarlo.