Filtri attivi.

Presentazione sul tema: "Filtri attivi."— Transcript della presentazione:

1 Filtri attivi

2 I filtri attivi Sono quadripoli che si comportano in modo selettivo rispetto alla frequenza, attenuando una porzione predeterminata dello spettro del segnale posto in ingresso. Prevedono l’impiego di almeno un componente attivo, generalmente un A.O., per ottenere un guadagno in banda passante e, inoltre, limitare gli effetti di carico nel collegamento in cascata di più quadripoli. Si possono realizzare utilizzando solo resistori e condensatori evitando, così, gli induttori che sono costosi e ingombranti (e con perdite rilevanti). L’uso di A.O., comunque, comporta alcuni svantaggi: la necessità di alimentazione, la necessità di limitare l’ampiezza del segnale di ingresso per evitare la saturazione dell’A.O. e i conseguenti effetti di distorsione e la banda limitata a circa 1 MHz (vedi il parametro GBP).

3 Richiamo di alcuni concetti sui quadripoli e e sui filtri passivi (nel dominio di f)
Fdt: rapporto tra la trasformata di Laplace di Vo e quella di Vi. Poli di una fdt: valori di s che annullano il denominatore della fdt. Zeri di una fdt: valori di s che annullano il numeratore della fdt. Ordine di un quadripolo: numero dei poli della fdt o grado del suo denominatore. Risposta in frequenza G(jω): è la funzione che si ricava sostituendo, nella fdt, ad s jω. Esprime il rapporto tra Vo e Vi in regime sinusoidale. Diagrammi di Bode: diagrammi che rappresentano l’andamento del modulo (scala in dB) e della fase (scala lineare in gradi o in radianti), della risposta in frequenza, in funzione della frequenza/pulsazione (scala logaritmica). Banda passante di un filtro (BW, bandwidth): intervallo di frequenze in cui il diagramma di Bode del modulo rimane praticamente costante (A0) con variazioni inferiori a 3 dB al variare di f. Banda oscura di un filtro: intervallo di frequenze complementare alla banda passante. Frequenze di taglio (cutoff frequencies): frequenze (fL e fH) in corrispondenza delle quali la risposta in ampiezza subisce un calo di 3 dB rispetto al valore in banda passante. La pendenza della risposta in ampiezza, in corrispondenza della frequenza di taglio è detta roll-off. Tipo di risposta: passa basso (LP, low pass, la banda passante è al di sotto della frequenza di taglio), passa alto (HP, high pass, la banda passante è al di sopra della frequenza di taglio), passa banda (BP, band pass, la banda passante è compresa tra le frequenze di taglio), elimina banda (BR, band rejection, la banda oscura è compresa tra le frequenze di taglio).

4 Richiamo di alcuni concetti sui quadripoli e e sui filtri passivi (nel dominio di t)
La risposta al gradino dei filtri di ordine maggiore o uguale al secondo può presentare un andamento oscillatorio smorzato. Per descrivere tale risposta vengono impiegati i seguenti parametri: Sovraelongazione: (overshoot) esprime in percentuale il rapporto tra la quantità eccedente il valore a regime e il valore a regime stesso. Tempo di assestamento (settling time): tempo impiegato dal segnale di uscita, dopo l’applicazione del gradino, per rientrare definitivamente all’interno di una fascia di valori (in percentuale rispetto al valore di regime VR). Tempo di salita (rise time): intervallo di tempo necessario, dopo la commutazione del gradino, per passare dal 10% al 90% del valore di regime VR.

5 Espressioni della fdt dei filtri del 1° e del 2° ordine
La tabella mostra le espressioni delle fdt dei filtri del primo e del secondo ordine.

6 Parametri A0, ω0 e ξ La tabella mostra il significato dei parametri A0, ω0 eξ che caratterizzano la fdt.

7 Legame tra poli e ξ Nei filtri del 2° ordine il valore del fattore di smorzamento influenza la natura dei poli e, quindi, la risposta del circuito. In particolare: ξ >1: due poli reali e distinti in corrispondenza di ognuno dei quali la risposta in frequenza cala di 20 dB/dec; ξ =1: due poli reali e coincidenti (p1,2=-ω0), in corrispondenza del quale la risposta in frequenza cala di 40 dB/dec; 0,707<ξ <1: due poli complessi e coniugati; la pendenza del diagramma asintotico del modulo cala di 40 dB/dec e, nei filtri LP e HP il diagramma reale raccorda senza picchi i due asintoti. ξ <0,707: due poli complessi e coniugati; la pendenza del diagramma asintotico del modulo cala di 40 dB/dec e, nei filtri LP e HP il diagramma reale presenta un picco la cui ampiezza cresce al calare di ξ. La risposta nel tempo è oscillante.

8 Categorie di filtri Nell’ambito dei filtri LP e HP del secondo ordine, determinati valori del fattore di smorzamento,ξ, individuano specifiche categorie di filtri. Si tratta di filtri che possiedono lo stesso tipo di diagramma asintotico di Bode ma diagramma reale differente. Sono i filtri alla Butterworth (ξ=0,707), alla Bessel (ξ=0,866) e alla Chebyscev (ξ<0,707).

9 Filtri alla Butterworth
Sono caratterizzati dall’avere il fattore di smorzamento pari a 0, La risposta in ampiezza in banda passante è la più piatta possibile e, quindi, introducono la minor distorsione di ampiezza. Introducono distorsione di fase ritardando in modo diverso le componenti sinusoidali a frequenze differenti. Trovano largo impiego nelle applicazioni audio: la distorsione di fase, infatti, pur alterando la forma del segnale, non è rilevata dall’orecchio umano. La pulsazione di taglio ωt, e quella del polo ω0, coincidono.

10 Filtri alla Bessel Sono caratterizzati dall’avere il fattore di smorzamento pari a 0, In banda passante hanno la risposta in fase più lineare, per cui il tempo di ritardo tra l’ingresso e l’uscita del filtro è praticamente costante per tutte le frequenze e, quindi, la distorsione di fase risulta minima. Trovano impiego nella realizzazione di linee di ritardo e nel filtraggio di segnali con fronti ripidi, nei quali danno luogo alla minima oscillazione in uscita. La pendenza della curva in corrispondenza della frequenza di taglio (roll-off) è piccola, quindi la discriminazione tra banda chiara e banda oscura è meno netta rispetto agli altri filtri.

11 Filtri alla Chebyschev
Sono caratterizzati dall’avere il fattore di smorzamento minore di 0,707. La pendenza della curva in corrispondenza della frequenza di taglio (roll-off) è elevata, quindi è migliore la discriminazione tra banda chiara e banda oscura rispetto agli altri filtri. Al diminuire di ξ il roll-off aumenta raggiungendo valori superiori alla pendenza dell’asintoto (40 dB/dec); si evidenzia, però, un picco della risposta in ampiezza in prossimità della pulsazione naturale ω0, introducendo una distorsione in ampiezza e in fase. L’ampiezza del picco (R, ripple) è data dall’espressione: Per ξ=0,383 il picco della risposta in ampiezza raggiunge 3 dB. Nei filtri alla Chebyshev la frequenza di taglio ft ha una definizione diversa dagli altri: ft è quel valore di frequenza per cui la risposta esce definitivamente dalla banda di oscillazione, di ampiezza R.

12 Filtri passa banda (BP)
Un parametro caratteristico di questa tipologia di filtri è la selettività, Q, definita come il rapporto tra la frequenza centrale e la larghezza di banda: Quanto più Q è maggiore, tanto più è minore la banda (filtro selettivo) a parità di frequenza centrale. Nei filtri a banda stretta (Q>1) la curva di risposta raggiunge il massimo valore in corrispondenza di una sola frequenza, f0; sono impiegati per selezionare una ristretta banda di frequenze nell’intorno di f0. Nei filtri a banda larga (Q<1) si ha una banda piatta ed estesa intorno al valore di f0. Vengono generalmente realizzati ponendo in cascata un filtro passa basso con frequenza di taglio fH ed un filtro passa alto con frequenza di taglio fL. In un filtro BP vale la relazione:

13 Filtri attivi del primo ordine
La figura mostra gli schemi inerenti il filtro attivo del primo ordine LP e HP. La pulsazione di taglio corrisponde a quella del filtro RC ed è coincidente con la pulsazione del polo della fdt: Il guadagno in banda passante del filtro attivo è dato dal guadagno dell’amplificatore invertente:

14 Dimensionamento di un filtro attivo del primo ordine
Per dimensionare un filtro attivo del 1°ordine si segue il procedimento seguente: si fissa a piacere il valore di C e si determina quello di R sulla base della relazione che lega tali parametri alla frequenza di taglio; Si fissa il valore di R1 e si determina quello di R2 sulla base del guadagno desiderato in centro banda.

15 Filtri attivi del secondo ordine
Le soluzioni circuitali proposte nella letteratura del settore, relativamente ai filtri attivi del secondo ordine, sono: VCVS (Voltage Controlled Voltage Source) a reazione multipla a variabili di stato

16 Filtri attivi VCVS Detti anche Sallen-Key, hanno la struttura rappresentata in figura. Con questa struttura semplificata si realizzano solo filtri attivi LP e HP. Per la realizzazione di un filtro attivo BP occorrerebbe uno schema VCVS più complesso e, per tale ragione, si preferisce adottare la topologia a reazione multipla. E’ presente sia un ramo di retroazione negativa, RB, che uno di retroazione positiva, Z2. Di volta in volta, sulla base della configurazione desiderata, si sostituiranno le quattro impedenze con resistori e condensatori opportuni. La fdt del circuito è:

17 Filtro VCVS passa basso (a componenti uguali)
E’ detto a componenti uguali in quanto R1=R3=R e C2=C4=C. Presenta il vantaggio di semplificare il dimensionamento del filtro ma impedisce, una volta fissato il valore di ξ, di scegliere liberamente il valore di A0. La fdt si ottiene sostituendo, nella formula generale, Z1=Z3=R e Z2=Z4=1/jωC. Confrontando tale relazione con quella generale dei filtri passa basso del secondo ordine si ricava:

18 Filtro VCVS passa basso (a componenti uguali)
Nei filtri alla Butterworth il valore della pulsazione naturale (ω0) coincide con quello della pulsazione di taglio (ωt) a -3 dB, mentre per gli altri casi la relazione tra ω0 e ωt, valida per i filtri passa basso, è data dall’espressione: dove fc è il valore del fattore di conversione (non una frequenza!). La tabella fornisce i valori del fattore di conversioe e dello smorzamento relativi ai filtri del secondo ordine alla Butterworth, alla Bessel e alla Chebyshev (con ripple 0,5 dB e 2 dB).

19 Dimensionamento di un filtro VCVS passa basso (a componenti uguali)
Dopo aver deciso il tipo di filtro (alla Butterworth, alla Bessel o alla Chebyshev) si ricava, dalla tabella, il valore del fattore di conversione e si calcola il valore della pulsazione naturale. Si fissa il valore di C e si ricava R (preferibilmente nel campo 10 kΩ-100 kΩ). Si determina il guadagno A0. Si fissa RA e si determina RB. Se il valore del guadagno non è quello desiderato è necessario aggiungere uno stadio amplificatore.

20 Filtro VCVS passa alto (a componenti uguali)
Anche questo filtro presenta il vantaggio di avere un dimensionamento semplificato; ma impedisce, una volta fissato il valore di ξ, di scegliere liberamente il valore di A0. La fdt si ottiene sostituendo, nella formula generale, Z2=Z4=R e Z1=Z3=1/jωC. Anche qui, per confronto, si ricavano identiche relazioni: L’unica attenzione va rivolta alla relazione che lega la pulsazione naturale a quella di taglio:

21 Dimensionamento di un filtro VCVS passa alto (a componenti uguali)
Dopo aver deciso il tipo di filtro (alla Butterworth, alla Bessel o alla Chebyshev) si ricava, dalla tabella, il valore del fattore di conversione e si calcola il valore della pulsazione naturale. Si fissa il valore di C e si ricava R (preferibilmente nel campo 10 kΩ-100 kΩ). Si determina il guadagno A0. Si fissa RA e si determina RB. Se il valore del guadagno non è quello desiderato è necessario aggiungere uno stadio amplificatore.

22 Filtri a reazione multipla passa banda
La figura mostra un filtro a reazione multipla passa banda con capacità uguali. Con tali filtri è possibile raggiungere valori di selettività compresi nell’intervallo: E’ possibile impiegare lo schema semplificato a capacità uguali C1=C2=C solo se i valori desiderati della selettività e del guadagno in centro banda A0 soddisfano la relazione: La fdt vale:

23 Filtri a reazione multipla passa banda
Confrontando la fdt di questo schema con l’equazione generale dei filtri passa banda del secondo ordine e considerando la relazione: Si ricavano i parametri del filtro: Il segno negativo del guadagno ci indica che il segnale d’uscita ha fase invertita rispetto al segnale d’ingresso.

24 Dimensionamento di un filtro a reazione multipla passa banda
Fissati, come specifiche, i valori della frequenza centrale f0, della larghezza di banda BW e del guadagno in centro banda si dimensionano i componenti secondo i seguenti passi: Si calcola la selettività e si verifica se sono soddisfatte le condizioni (altrimenti il filtro, con quello schema, non è realizzabile): Si fissa il valore della capacità C. Si calcola R5 con la: Si calcola R1 con la: Si calcola R2 con la:

25 Dimensionamento di un filtro a reazione multipla passa banda
Ponendo dei trimmer in serie ai tre resistori è possibile regolare uno alla volta i valori dei parametri, verificandoli con strumenti di misura, agendo nella sequenza: con R5 si regola BW, poi con R1 si tara A0 e quindi con R2 si regola f0. La relazione tra f0 e frequenze di taglio è data dalla media geometrica: Si può dimostrare che per valori elevati di selettività (Q>5) i valori delle due frequenza di taglio si avvicinano e la f0 può essere approssimata con la media aritmetica: E le frequenze di taglio, in via approssimata, divengono:

26 Filtro elimina banda Ponendo un sommatore in cascata ad un filtro passa banda invertente si realizza un filtro elimina banda (BR, band rejection) detto anche notch. In uscita dal circuito si ottiene la differenza tra il segnale di ingresso e quello di ingresso filtrato per cui le frequenze nell’intorno di f0 che risultano enfatizzate dal passa banda subiranno un’attenuazione rispetto alle altre frequenze. I guadagni del sommatore relativi ai due ingressi devono essere differenti: il guadagno GA relativo all’uscita del passa banda deve essere unitario: il guadagno GB relativo al segnale di ingresso vi deve essere pari al valore assoluto del guadagno in centro banda del passa banda, per cui: