{ } Multipli di un numero M4 ESEMPIO 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …

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1 { } Multipli di un numero M4 ESEMPIO 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall’insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. ESEMPIO I multipli del numero 4 costituiscono l’insieme { } M4 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, … Essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di un numero sono infiniti. I multipli di 2 costituiscono la successione dei numeri pari, tutti gli altri numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari. La divisibilità

2 Divisori di un numero DEFINIZIONE. Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero (r = 0), diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo. ESEMPIO 18 3 6 resto 3 è divisore di 18 e 18 è divisibile per 3 18 4 4 2 resto 4 non è divisore di 18 e 18 non è divisibile per 4 I divisori di un numero costituiscono un insieme finito, poiché il divisore più grande è sempre uguale al numero stesso. La divisibilità

3 28 90 I criteri di divisibilità ESEMPIO ESEMPIO Divisibilità per 2
CRITERIO. Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari. ESEMPIO 28 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra 8 è pari. Divisibilità per 5 CRITERIO. Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque. ESEMPIO 90 è divisibile per 5 perché termina con 0. La divisibilità

4 18 15 209 I criteri di divisibilità ESEMPIO ESEMPIO
Divisibilità per 3 e per 9 CRITERIO. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (o di 9). ESEMPIO 18 è divisibile per 3 (e per 9) perché la somma delle sue cifre, = 9, è un multiplo di 3 (e di 9). 15 è divisibile per 3 (ma non per 9) perché la somma delle sue cifre, = 6, è un multiplo di 3 (e non di 9). Divisibilità per 11 CRITERIO. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella di posto pari (o viceversa) è 0 o un multiplo di 11. ESEMPIO 209 è divisibile per 11 perché (2 + 9) – 0 = 11 La divisibilità

5 700 I criteri di divisibilità ESEMPIO Divisibilità per 10, 100, 1000
CRITERIO. Un numero è divisibile per 10, 100, 1000, … se termina rispettivamente con uno, due, tre, … zeri. ESEMPIO 700 è divisibile:  per 100 perché termina con due zeri;  per 10 perché l’ultima cifra è uno zero. La divisibilità

6 128 475 I criteri di divisibilità ESEMPIO Divisibilità per 4 e 25
CRITERIO. Un numero è divisibile per 4 o per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4 o di 25, oppure sono due zeri. ESEMPIO 128 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre (28) sono divisibili per 4, infatti : 4 = 7 475 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre (75) sono divisibili per 25, infatti : 25 = 3 La divisibilità

7 5 11 23 12 Numeri primi e numeri composti ESEMPIO
DEFINIZIONE. Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. ESEMPIO 5 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 5. 11 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 11. 23 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 23. 12 Non è un numero primo perché è divisibile per altri numeri (2, 3, 4, 6) oltre all’ 1 e a se stesso. La divisibilità

8 132 2 66 2 33 3 11 11 1 132 3 11 La scomposizione in fattori primi
DEFINIZIONE. L’operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. ESEMPIO 132 2 66 2 Divisori primi 33 3 Quoti 11 11 1 2 132 3 11 REGOLA. Per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero dato e i suoi divisori primi (in ordine crescente) fino ad ottenere come quoto uno. I divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza. La divisibilità

9 Criterio generale di divisibilità
CRITERIO. Due numeri sono divisibili tra loro se ciascun fattore del numero divisore è presente nella scomposizione del numero dividendo ed ha esponente minore o uguale a quello del fattore corrispondente. ESEMPIO 2160 2 5 90 2 5 216 2 9 3 108 2 3 3 54 2 1 90 = 2  32  5 27 3 9 3 Poiché tutti i fattori del divisore sono presenti fra i fattori del dividendo ed hanno esponente minore, possiamo affermare che 2160 è divisibile per 90. 3 3 2160 = 24  33  5 1 REGOLA. Il quoziente di due numeri divisibili fra loro si ottiene moltiplicando tutti i fattori del dividendo aventi per esponente la differenza degli esponenti con cui compaiono nei due termini della divisione. La divisibilità

10 { } { } { } 12 16 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) D12 D16 D12, 16
DEFINIZIONE. Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. ESEMPIO 12 16 { } { } D12 D16 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 2, 4, 8,16 { } D12, 16 1, 2, 4 Il numero 4 è il maggiore dei divisori comuni tra i due numeri e viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.). M.C.D. (12, 16) = 4 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è divisore di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il M.C.D. dei numeri dati. La divisibilità

11 { } { } 6 25 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) D12 D16
DEFINIZIONE. Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno 1 come M.C.D. ESEMPIO 6 25 { } { } D12 D16 1, 2, 3, 6 1, 5, 25 M.C.D. (6, 25) = 1 6 e 25 sono primi tra loro. La divisibilità

12 Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M. C. D
Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente minore. ESEMPIO 1760 2 5 420 2 5 200 22 52 176 2 42 2 2 2 88 2 21 3 1 44 2 7 7 200 = 23  52 22 2 1 11 11 420 = 22  3  5  7 1 1760 = 25  5  11 I fattori comuni con l’esponente minore delle tre scomposizioni sono 22 e 5. M.C.D. (1760, 420, 200) = = 20 La divisibilità

13 { } { } { } 2 3 Il minimo comune multiplo (m.c.m.) M2 M3 M2,3
DEFINIZIONE. Il m.c.m. di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi. ESEMPIO 2 3 { } { } M2 M3 2, 4, 6, 4, 8, 10, 12 … 3, 6, 9, 12,15, 18, 21 … { } M2,3 6, 12, 18, 24 … m.c.m. (2, 3) = 6 Il numero 6 è il minore dei multipli in comune tra i due numeri, pertanto CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è multiplo di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il m.c.m. dei numeri dati. CRITERIO. Se due o più numeri sono primi tra loro, il m.c.m. è dato dal prodotto dei due numeri. La divisibilità

14 Il calcolo del minimo comune multiplo (m. c. m
Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente maggiore. ESEMPIO 210 2 5 525 5 735 5 21 3 105 5 147 3 7 7 21 3 49 7 1 7 7 7 7 1 1 210 = 2  3  5  7 525 = 3  52  7 735 = 3  5  72 I fattori comuni con l’esponente maggiore sono 3, 52 e 72, il fattore non comune è 2. m.c.m. (210, 525, 735) = 2  3  52  72 = 7350 La divisibilità