Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali)

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1 Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali)
Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 2 maggio 2012 (

2 Circuiti in regime lentamente variabile

3 Bipoli elementari lineari

4 Bipoli resistenza e induttanza
In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale

5 Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

6 Flusso di autoinduzuine
La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare: γ=f(i)=Li L è il coefficiente di autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ>0 e per i<0 γ<0 → L= γ/i>0

7 Esempi di realizzazione del bipolo induttanza
Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t): in cui φγ è il flusso d’autoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

8 Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

9 Esempio di realizzazione del bipolo capacità
Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-vC=Ri≈0 C v=vC v(t) q=cvC

10 Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale
γ

11 Richiami sulle funzioni periodiche
Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

12 Richiami sulle funzioni periodiche
La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: (valore quadratico medio)

13 Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace
Regime periodico Regime stazionario p=vi=Ri2 P=VI=RI2 Energia assorbita nell’intervallo T I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS

14 Circuiti in regime lentamente variabile
Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

15 Grandezze sinusoidali
AM ampiezza α fase Valore efficace: Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

16 Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione geometrica nel piano complesso Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è l’unità immaginaria definita da j2=-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari. z è l’affissa complessa di P

17 Richiami sui numeri complessi
Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: Argomento di z (anomalia del vettore OP) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ] Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

18 Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero ejθ=cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: z=[ρ, θ]= ρ ejθ

19 Operazioni sui numeri complessi
SOMMA

20 Prodotto di numeri complessi
Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

21 Divisione di numeri complessi
Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

22 I vettori rotanti La grandezza sinusoid.
è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le Si ha:

23 I fasori Fissata ω, è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso. α

24 Le operazioni sulle grandezze sinusoidali: la somma
Date dove: O

25 Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale (Esercizio 1)
Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).

26 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ

27 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dell’angolo │φ│

28 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
a(t) e b(t) sono in fase

29 Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante
Date: ed una costante reale k>0, α

30 Prodotto di un fasore per un numero complesso

31 Prodotto di un fasore per l’unità immaginaria j
j fattore di rotazione di /2

32 Derivata temporale di una grandezza sinusoidale
Data α

33 Prodotto di grandezze sinusoidali

34 Bipolo resistenza in regime sinusoidale Dominio dei fasori
Dominio del tempo impedenza

35 Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori
Dominio del tempo impedenza Reattanza

36 Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori
Dominio del tempo Impedenza Reattanza

37 Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT
Dominio dei fasori

38 Bipolo R-L in regime sinusoidale φ=arctg(ωL/R) Dominio del tempo
i(t) costituisce un integrale particolare dell’equazione differenziale

39 Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale: è dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) (trascurabile per t>5T)

40 Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms; dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile.

41 Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT
Dominio dei fasori

42 Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo

43 Bipoli R-L e R-C in regime stazionario
v(t)=V (costante) v(t)=V (costante) i=V/R

44 Bipoli R,L,C in regime sinusoidale
R=A B>0 B<0 R=A R=A

45 Ammettenza di un bipolo

46 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

47 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
LKT LKT LKC LKC

48 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Millmann Millmann

49 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Thévenin in regime stazionario Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale

50 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Norton in regime stazionario Bipolo di Norton in regime sinusoidale

51 Impedenze in serie

52 Impedenze in parallelo

53 Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza
L’impedenza del bipolo è: il bipolo è in risonanza se: ω0 pulsazione di risonanza.

54 Bipolo R-L-C e risonanza Corrente
Valore efficace della corrente Se Il valore massimo di I si ha per ω=ω0 ed è pari a V/R

55 Bipolo R-L-C e risonanza. Fase
Lo sfasamento φ: φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R φ >0 per ω>ω0 il bipolo è equivalente ad un bipolo R-L

56 Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito
Per ω=ω0 si ha: ω=ω0 Q fattore di merito

57 Bipolo R-L-C e risonanza Selettività
La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω0: Pmax=RI2 In A e B la potenza P=Pmax/2. Δω è la larghezza di banda. Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω0L/R e Δω diminuisce.

58 Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R

59 Un esempio numerico (Esercizio 2)
A f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Calcolare i(t), i’(t), i”(t) B V ω=2πf=20π rad/s, XL=ωL=20 Ω, XC=20 Ω. Ω Ω A A A

60

61 Potenza nei circuiti in regime sinusoidale

62 Definizioni Se la tensione e la corrente di un bipolo sono:
Adottando per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore per le potenze assorbite e quella del generatore per quelle erogate, si possono definire le seguenti grandezze: p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W] P=VIcosφ potenza attiva [W] Q=VIsinφ potenza reattiva (grandezza convenzionale) [VAr]

63 Definizioni Papp=VI Potenza apparente (grandezza convenzionale) [VA]
Potenza complessa (grandezza convenzionale) La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e complessa soddisfano il principio di conservazione delle potenze. Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli effetti.

64 La potenza apparente Nel caso di reti di distribuzione dell’energia elettrica la potenza apparente può essere correlata ai costi di investimento sostenuti per la realizzazione delle reti stesse. Infatti: Papp=VI La V è correlata ai costo relativi al sistema di isolamento. La I è correlata alla quantità di rame impiegata.

65 La potenza istantanea Potenza attiva P Potenza fluttuante
La potenza attiva P è pari al valore medio della potenza Istantanea p(t)

66 La potenza istantanea P=VIcosφ

67 Potenza attiva ed energia
p fluttuante Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ costante nell’intervallo di tempo 0-t1>>T, l’energia assorbita è: L’energia assorbita da U può essere associata alla resa economica per l’impianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere correlata a tale resa economica.

68 Espressioni della potenza attiva
La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei vettori ed rappresentativi della tensione e della corrente come: oppure: Ia componente attiva della corrente

69 Potenza attiva e potenza apparente
La potenza attiva P è legata alla potenza apparente Papp dalla relazione: P=(Papp)cosφ Correlata alla resa economica Correlata ai costi di investimento Il cosφ è detto fattore di potenza

70 Potenza reattiva La potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionale priva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce un indicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo di utilizzazione dell’energia elettrica ed è utile nell’analisi delle reti elettriche poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo: a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e quindi la resa economica dell’impianto. Essendo inoltre: a parità di P, quanto maggiore è Q, maggiore è I e quindi maggiori sono le perdite per effetto Joule e le cadute di tensione sulla linea elettrica che alimenta l’utilizzatore U

71 Potenza reattiva P1=P2 Q1<Q2 I1<I2 φ1<φ2

72 Potenza complessa

73 Principio di conservazione delle potenze complesse
Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi della rete Tesi Somma parziale relativa al nodo Pi Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete

74 Principio di conservazione delle potenze complesse
Dal principio di conservazione delle potenze complesse: essendo: si deducono i principi di conservazione delle potenze attive e reattive:

75 Misura della potenza L’amperometro ed il voltmetro misurano il valore efficace (valore quadratico medio) di v ed i. Il wattmetro la potenza attiva P (valore medio della potenza istantanea v(t)i(t)). i(t) V(t)

76 Potenze nel bipolo resistenza
α=0

77 Potenze nel bipolo induttanza
α=0

78 Potenze nel bipolo induttanza
α=0

79 Potenze nel bipolo capacità
α=0

80 Potenze nel bipolo capacità
α=0

81 Potenze nel bipolo R-L α=0 φ>0

82 Potenze nel bipolo R-L α=0

83 Passività dei bipoli in regime lentamente variabile
bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione dell’utilizzatore, risulta per ogni t: Si ha quindi che l’energia che un bipolo passivo può erogare in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di quella precedentemente assorbita. Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro connessione.

84 Potenze nel bipolo R-C α=0

85 Una formulazione del principio di conservazione delle potenze
potenze complesse erogate

86 Rifasamento Quanto minore è il cosφ di un impianto
peggiore è la sua resa economica per l’ente distributore dell’energia elettrica e a parità di P maggiore è la corrente assorbita. Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφ medio (cosφm) minore di 0,7. Per 0,7< cosφm<0,9 occorre pagare una penale commisurata all’energia reattiva assorbita (WQ). dove τ è l’intervallo di fatturazione

87 Rifasamento DIME U utilizzatore ohmico- induttivo C capacità di
φ*: φ desiderato DIME DIMENSIONAMENTO DI C

88 Caratterizzazione dei bipoli passivi
Oltre che con l’equazione caratteristica: i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante: In particolare possono essere forniti i dati nominali. (anticipo) (ritardo)

89 Caratterizzazione dei bipoli passivi
Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre l’operatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha:

90 Utilizzazione del principio di conservazione delle potenze
Esempi numerici Esercizio 3 + R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare indicazione amperometro A (valore efficace della corrente i) Applicazione conservazione potenze P’=RI’2, Q’=ωLI’2. I’=220/z’. Ω. I’=10 A, P’=1 kW, Q’=1,96 kVAr. P”=Pn=1,76 kW, Q”=P”tgφu, tgφu=0,75, Q”=1,32 kVAr

91 Ptot=P’+P”=2,76 kW, Qtot=Q’+Q”=3,28 kVAr,
kVA, cosφ=Ptot/Papp=0,643, φ=49,9° I=Papp/V=19,48 A (Indicaz. amperometro)

92 Applicazione dei fasori
V; A A A A A

93 Es.4 B Rl Ll B’ R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. Rl=0,5 Ω ωLl=1 Ω
Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valle ai capi dell’utilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale Vn Applicazione conservazione potenze Dall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’: I=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B’

94 PB=RlI2 + PA=2,95 kW QB=ωLlI2 + QA =3,66 kVAr
V=PappB/I=241,2 V ΔV=V-Vn=21,2 V (8,7 %) Applicazione dei fasori Dall’esercizio 3 nella sezione A-A’: A V Nella sezione B-B’: V V

95 Eserc. 5 R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. f=50 Hz Dati di targa utilizzatore U
Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente l’impianto (cosφ=1) Dall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’: IA=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 . μF kVAr PB=PA=VIB IB=12,54 A ω =2πf=100π rad/sec

96 Esercizio 6 Nella stessa rete dell’esempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφ nella sezione B-B’ sia pari a 0,9. PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 φA=49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVAr μF PB=PA=VIBcosφ* IB=13,94 A

97 Reti con generatori a frequenza diversa
Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare si può applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo, considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza. Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il metodo dei fasori. Un esempio numerico (esercizio 7) V V e3=200 V (costante) R=ωL= 1/(ωC)= 20 Ω Calcolare i1(t), i2(t), i3(t). ik(t)=i’k(t) + i’’k(t) + i’’’k(t) (k=1, 2, 3)

98 Calcolo delle i’k(t) (componenti a pulsazione ω)
Ω Ω Ω Ω A V A A A A A

99 Calcolo delle i’’k(t) (componenti a pulsazione 2ω)
Ω Ω Ω V A A A A A A

100 Calcolo delle i’’’k(t) (componenti stazionarie)
Correnti risultanti A A A

101 Circuiti in regime sinusoidale
Reti trifasi

102 Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali
costituiscono un sistema simmetrico diretto di grandezze sinusoidali.

103 Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali
costituiscono un sistema simmetrico inverso di grandezze sinusoidali.

104 Generazione di una f.e.m. sinusoidale
ω α ω

105 Generazione di un sistema simmetrico di f.e.m. sinusoidali
ω

106 Genesi di una rete trifase

107 Genesi di una rete trifase

108 Genesi di una rete trifase

109 Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni
z: impedenza di fase e1, e2, e3 tensioni stellate di alimentazione e’1, e’2, e’3 tensioni stellate sul carico o di fase i1, i2, i3 correnti di linea o di fase v12, v23, v31 tensioni di linea o concatenate

110 equilibrato- Carico a stella
Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a stella α=0 v12, v23, v31, costituiscono una terna simmet. diretta Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V.

111 Stelle equilibrate- Circuito
monofase equivalente Circuito monofase equivalente

112 9 lati, 3 nodi Circuito monofase equivalente

113 Un esempio (Esercizio 8)
f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Circuito monofase equivalente; circuito già precedentemente analizzato

114 Le correnti relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di
120° e 240° in ritardo.

115 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a triangolo
i1, i2, i3 e j12, j23, j31, sono 2 terne simmetriche Carico equilibrato

116 Confronto tra sistemi equilibrati con carico a stella e a triangolo
Carico a triangolo ilinea=ifase vlinea ≠vfase(e) ilinea≠ifase(j) vlinea =vfase

117 Potenza nei sistemi trifasi simmetrici ed equilibrati
Per il principio di conservazione delle potenze le potenze attiva e reattiva assorbite dal carico trifase sono pari alla somma di quelle erogate dai 3 generatori: φ è lo sfasamento tra e1 e i1

118 Esercizio 9 R=30 Ω; ωL=58,8 Ω. Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT: Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo). Calcolare tutte le correnti, le P e Q complessivamente assorbite dai due carichi ed il cosφ risultante.

119 Trasformando a stella il triangolo di R,L e sostituendo UT con una stella
equivalente: Dati del bipolo U (utilizzatore monofase): Vu=220 V, Pu=1,76 kW, cosφu=0,8 (ritardo)

120 Circuito monofase equivalente
Questa rete è già stata analizzata nell’esercizio 3 A A A Le correnti di linea relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo. Le correnti J nei lati del triangolo R-L sono date da A A A Le Pe Q sono pari a quelle già calcolate nell’esercizio 3 moltiplicate per 3: P=8,26 kW, Q=9,84 kVAr, cosφ=0,643.

121 Esercizio 10 I dati sono quelli dell’esercizio 9. f=50 Hz. Dimensionare l’utilizzatore capacitivo UC in maniera tale che il cosφ a monte sia pari a 0,9.

122 P e Q a valle di UC sono già stati calcolati nell’esercizio 9.
P=8,28 kW, Q= 9,84 kVAr, cosφ=0,643 φ=49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVAr Se UC è costituito da una stella di condensatori di capacità Cy: μF Se UC è costituito da un triangolo di condensatori di capacità CΔ: μF

123 Esercizio 11 e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω R=30 Ω; ωL=58,8 Ω; R’=5 Ω; ωL’=5 Ω. UT (carico ohmico-induttivo) assorbe la potenza P=5,28 kW con cosφ=0,8 essendo alimentato dalla tensione: Calcolare v2’3’(t) e v1a(t).

124 Circuito monofase equivalente
I dati di U e la corrente i1 sono già calcolati nell’esercizio 9 V V V V V

125 Esercizio 12 R=30 Ω; ωL=58,8 Ω R’=5 Ω; ωL’=5 Ω Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT: Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo). e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω. Calcolare il loro valore efficace E affinché al carico trifase UT sia applicata la tensione nominale (concatenata) Vn

126 P, Q, Papp e I nella sezione A sono date da:
PA=PN+3R J2 QA=PNtgφu+3ωL J2 A PA=8,26 kW, QA=9,84 kVAr, PappA= 12,85 kVA, IA=19,49 A . PB=PA+3R’ IA2 QB=QA+3ωL’ IA2 PB=13,95 kW QB=15,53 kVAr PappB=20,88 kVA V

127 Rete trifase a tre fili:
stella squilibrata Tensione di spostamento del centro stella Le terne delle tensioni stellate e’k e delle correnti ik non sono simmetriche.

128 Sistema trifase a quattro fili:
stella squilibrata 1, 2, 3 conduttori di fase N conduttore di neutro

129 Sistema trifase: triangolo squilibrato

130 Un esempio di rete di distribuzione in BT

131 Misura della potenza in una rete trifase simmetrica ed equilibrata

132 Inserzione Aron

133 Misura della potenza in una rete trifase a 3 fili
non equilibrata

134 Reti in regime lentamente variabile
Funzionamento transitorio

135 Bipolo R-L in regime transitorio
LKT

136 Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale: è dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ .

137 transitorio (v(t) sinusoidale)
Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=i(0-)=I0 si ha: Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0

138 Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
α<0

139 Risposta del bipolo R-L ad un gradino di tensione
L’integrale generale dell’equazione è: T=L/R Imponendo i(0+)=i(0-)=0:

140 transitorio (v(t) sinusoidale)
Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale è: dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0 (T=RC costante di tempo)

141 transitorio (v(t) sinusoidale)
Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=vC (0-)=V0 si ha: La i è data da: Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.

142 Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
α>0

143 Risposta del bipolo R-C ad un gradino di tensione
L’integrale generale dell’equazione è: T=RC T=RC Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.

144 Bipolo R-L-C in regime transitorio
dove vct è l’integrale L’integrale generale è generale dell’eq. omogenea associata (componente transitoria) e vcp è un integrale particolare dell’eq. differenziale completa. Integrale particolare dell’eq. completa Se v=V (costante) per t>0, vcp(t)=V. La corrente corrispondente è ip=0. Se v(t) è sinusoidale i fasori di v, i e vC sono dati da:

145 dove L’integrale particolare vcp(t) in tale caso è dato da: e la corrispondente corrente:

146 Equazione caratteristica dell’equazione omogenea associata
dove è la pulsazione di risonanza del bipolo R-L-C Le radici di tale eq. sono: dove essendo dove Q è il fattore di merito del bipolo R-L-C. Se Q<1/2 le radici λ1 e λ2 sono reali e distinte e date da:

147 Se Q>1/2 le radici sono complesse e coniugate, date da:
dove Se le radici λ dell’eq. caratteristica sono distinte (reali oppure complesse coniugate, Q<1/2 oppure Q>1/2) due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq. omogenea associata sono : e il suo integrale generale è Se Q=1/2 le radici sono reali e coincidenti e date da: due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq. omogenea associata sono :

148 Integrale generale dell’equazione omogenea associata
Se Q<1/2 l’integrale generale dell’equazione omogenea associata e la corrispondente corrente: Q<1/2

149 Se Q>1/2: e la corrispondente corrente: Q>1/2

150 Se Q=1/2: e la corrispondente corrente: Q=1/2

151 Soluzioni dell’eq. differenziale completa
e condizioni iniziali Per risolvere l’eq. differenziale completa occorre calcolare le costanti d’integrazione k1 e k2 imponendo le condizioni iniziali per t=0+alla vC ed alla sua derivata. La tensione sulla capacità vC e la corrente nell’induttanza i=C dvC/dt sono variabili di stato, per cui vC(0+)=vC (0-) e i(0+)=i (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- e I0=[i(t)]t=0- il calcolo di k1 e k2 si effettua imponendo nell’integrale generale dell’equazione completa vC(0+)=V0 e i(0+)=I0. Se Q<1/2

152 Q<1/2 Risposta al gradino di ampiezza V (V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0) Se Q=1/2

153 Risposta al gradino di ampiezza V [V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0]
Se Q>1/2

154 Risposta al gradino di ampiezza V
[V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0] Q>1/2 Inserzione di v(t) sinusoidale in un circuito inizialmente a riposo (V0=0, I0=0) dove

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