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Diagrammi Di Bode Prof. Laura Giarré

2 Diagrammi di Bode e polari
Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale del tipo: Re{F()} -2000 2000 4000 6000 8000 10000 12000 -5000 -4000 -3000 -1000 1000 3000 5000 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis Im{F()} |F()| arg{F()}  Tre possibili rappresentazioni! 40 50 60 70 80 Magnitude (dB) 10 -2 -1 1 2 3 4 5 -90 -45 45 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) |F()| arg{F()}  -80 -60 -40 -20 20 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Nichols Chart Open-Loop Phase (deg) Open-Loop Gain (dB) arg{F()} |F()| () |F()|  Bode CA Prof. Laura Giarré

3 Diagrammi di Bode La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze. Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode. Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi: diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica; diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica. Entrambi I diagrammi sono in funzione del logaritmo della pulsazione . Bode CA Prof. Laura Giarré

4 Diagrammi di Bode Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo): Funzione di risposta armonica associata: 4 fattori elementari: Guadagno statico Poli/zeri origine Poli/zeri reali Poli/zeri complessi coniugati CA Prof. Laura Giarré Bode

5 Diagrammi di Bode Il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell’ampiezza in scala logaritmica. Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha che Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Bode CA Prof. Laura Giarré

6 Diagrammi di Bode I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono: Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi; Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi; Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore. Bode CA Prof. Laura Giarré

7 Diagrammi di Bode Ampiezza espressa in decibel: Diagramma logaritmico
Diagramma semi-logaritmico Scala logaritmica (possibilità di rappresentare con il dovuto dettaglio grandezze che variano in campi molto estesi) Bode CA Prof. Laura Giarré

8 Diagrammi di Bode Termini elementari Termini elementari
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9 Termini elementari I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente cambiando segno (ribaltamento attorno all’asse delle ascisse) I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità CA Prof. Laura Giarré Bode

10 Guadagno statico Ampiezza Fase CA Prof. Laura Giarré Bode

11 Zero nell’origine Ampiezza Fase Pendenza 20 db/decade Bode
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12 Polo nell’origine Polo nell’origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse Ampiezza Fase Pendenza -20 db/decade Bode CA Prof. Laura Giarré

13 Zero reale Ampiezza Fase Pendenza 20 db/decade
(valore assoluto dello zero) CA Prof. Laura Giarré Bode

14 Zero reale: fase Caso Pendenza al punto di flesso Punto di flesso
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15 Zero reale: fase Caso NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all’asse CA Prof. Laura Giarré Bode

16 Polo reale Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse Ampiezza Fase Bode CA Prof. Laura Giarré

17 Zeri complessi coniugati: ampiezza
Pendenza 40 db/decade Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentemente dal valore di (pulsazione naturale della coppia di zeri cc) Bode CA Prof. Laura Giarré

18 Zeri complessi coniugati: ampiezza
Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione Il valore minimo è alla frequenza e vale Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a Il diagramma non dipende dal segno di Bode CA Prof. Laura Giarré

19 Zeri complessi coniugati: ampiezza
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per la curva presenta un minimo; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica. Bode CA Prof. Laura Giarré

20 Zeri complessi coniugati: fase
Caso Tangente al punto di flesso Bode CA Prof. Laura Giarré

21 Zeri complessi coniugati: fase
Caso Bode CA Prof. Laura Giarré

22 Poli complessi coniugati
Poli complessi coniugati: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse Ampiezza Fase Il valore massimo è alla frequenza e vale Tracciamento dei diagrammi asintotici analogo al caso precedente Bode CA Prof. Laura Giarré

23 Poli complessi coniugati
Poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l’asse delle frequenze per il diagramma delle fasi Bode CA Prof. Laura Giarré

24 Poli complessi coniugati: ampiezza
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per la curva presenta un massimo; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica. Bode CA Prof. Laura Giarré

25 Poli complessi coniugati: risonanza
Il valore di picco alla frequenza viene detto picco di risonanza Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza Bode CA Prof. Laura Giarré

26 Zeri complessi coniugati: risonanza
Il valore di minimo alla frequenza viene detto picco di attenuazione Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza Bode CA Prof. Laura Giarré

27 Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
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28 Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
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29 Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
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30 Ritardo temporale Bode CA Prof. Laura Giarré