IL PROBLEMA.

Presentazione sul tema: "IL PROBLEMA."— Transcript della presentazione:

1 IL PROBLEMA

2 ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO

3 Matematicamente si può:
decidere che tale calcolo non interessa creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire

4 Optiamo per la seconda ipotesi ok !

5 Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1.
Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione. Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama unità immaginaria

6 si ha quindi per definizione
2 i = -1

7 l’unità immaginaria è un po’ “strana”

8 l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro

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10 in un riferimento cartesiano ortogonale poniamo
sull’asse delle ascisse i numeri reali sull’asse delle ordinate i “numeri immaginari” ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

11 Rappresentazione Geometrica
P=(a,b) b a a

12 chiamiamo numero complesso un numero del tipo a+ib

13 a si chiama parte reale del numero complesso
con a e b numeri reali a si chiama parte reale del numero complesso ib si chiama parte immaginaria del numero complesso

14 un nuovo insieme di numeri
è nato un nuovo insieme di numeri i numeri complessi

15 Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo
Complessi a+ib Reali Immaginari a bi

16 Diamo qualche definizione
a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib complessi coniugati

17 Somma algebrica di numeri complessi
(a+ib)+(c+id) (a+c)+(b+d)i

18 esempi (3+2i)+(-5+7i)=-2+9i (-2-4i)+(-3+5i)=-5+i

19 Prodotto di numeri complessi
(a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i in particolare: (a+ib) (a-ib) = a2- b2i2 = a2 + b2 Si però i fattori sono numeri complessi!!! Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri complessi la somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!

20 esempi (3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i (3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13
somma di due quadrati

21 Reciproco di un numero complesso
Si definisce reciproco del numero complesso c + id il numero complesso c - id_ c2 + d2 infatti il loro prodotto è uguale a 1

22 Quoziente di numeri complessi
(a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id) = (a+ib) (c-id) c2+d2

23 esempio

24 quello che abbiamo imparato
RIASSUMIAMO quello che abbiamo imparato

25 =3i Avevamo un problema l’abbiamo risolto
introducendo i numeri immaginari abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali

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