Esempio: somma se , allora [ per n addendi ] se ( se ) se ( se )

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6 Esempio: somma se , allora [ per n addendi ] se ( se ) se ( se )

7 Esempio: media se allora [ per n addendi ]

8 Minimi quadrati equazioni di osservazione esempio y misurati x noti
incogniti

9 Minimi quadrati In molti casi pratici determinazione univoca dei n=k
dai valori misurati delle n=k ma gli errori di misura su comportano errori sui calcolati senza possibilità di controllo in generale nessuna soluzione [le prime k equazioni hanno soluzione unica che, sostituita nelle altre n-k , non le soddisfa] n>k

10 Minimi quadrati Se le n equazioni sono coerenti con un modello geometrico, la soluzione esiste anche in caso di ridondanza, ma, se le misure sono affette da errore, si generano incompatibilità, e la soluzione può non esistere

11 Minimi quadrati Ossia: non esistono tali che
Allora cerco che rendono minima

12 Minimi quadrati Se la soluzione esistesse, allora M=0
Se gli errori di misura sono piccoli, allora anche il minimo di M è piccolo I valori di che realizzano il minimo di M , possono essere considerati una soluzione approssimata, Tutti i termini devono essere piccoli I valori sono detti osservabili compensate

13 Minimi quadrati Variante: con ossia: le misure più precise
hanno scarto quadratico medio più piccolo vengono moltiplicate per un coefficiente più grande e quindi hanno peso maggiore

14 Minimi quadrati Esempio: rete di 3 dislivelli
- se sono incognite, la soluzione non è unica soluzione soluzione - se è noto, esiste soluzione solo se (eq. di condizione) non verificata a causa degli errori di misura