Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Problema: date tutte le f.e.m. e tutte le resistenze (no C ed L), determinare le correnti in tutti i rami Problema:

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1 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Problema: date tutte le f.e.m. e tutte le resistenze (no C ed L), determinare le correnti in tutti i rami Problema: date tutte le f.e.m. e tutte le resistenze (no C ed L), determinare le correnti in tutti i rami Esempio: ponte di Wheatstone (1843) Esempio: ponte di Wheatstone (1843) 6 incognite: I 0, …, I 5 6 incognite: I 0, …, I 5 Legge dei nodi A, B, D: Legge dei nodi A, B, D: Legge delle maglie A(V)DBA, ABCA, BCDB Legge delle maglie A(V)DBA, ABCA, BCDB Dalle prime tre equazioni, eliminiamo le correnti dei rami comuni a più maglie Dalle prime tre equazioni, eliminiamo le correnti dei rami comuni a più maglie V R1R1R1R1 R2R2R2R2 R3R3R3R3 R4R4R4R4 R5R5R5R5 I0I0I0I0 I1I1I1I1 I2I2I2I2 I5I5I5I5 I3I3I3I3 I4I4I4I4 A BC D Il problema è algebricamente determinato (6 eqq. – 6 incognite) Il problema è algebricamente determinato (6 eqq. – 6 incognite) Equazioni per l’altro nodo (C) e per altre maglie sarebbero ridondanti Equazioni per l’altro nodo (C) e per altre maglie sarebbero ridondanti

2 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Sostituendo nelle altre tre equazioni si ha: Sostituendo nelle altre tre equazioni si ha:

3 V R1R1R1R1 R2R2R2R2 R3R3R3R3 R4R4R4R4 R5R5R5R5 I0I0I0I0 I1I1I1I1 I2I2I2I2 I5I5I5I5 I3I3I3I3 I4I4I4I4 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Notiamo che: Notiamo che: Il vettore colonna delle incognite contiene I 0, I 2, I 4, le correnti che scorrono nei rami che appartengono ad una singola maglia ≡ correnti proprie di maglia Il vettore colonna delle incognite contiene I 0, I 2, I 4, le correnti che scorrono nei rami che appartengono ad una singola maglia ≡ correnti proprie di maglia I 1, I 3, I 5 sono le correnti che scorrono nei rami comuni a più maglie I 1, I 3, I 5 sono le correnti che scorrono nei rami comuni a più maglie Ad esempio: I 1 è comune alla 1° ed alla 2° maglia, le cui correnti “proprie” sono I 0 e I 2, rispettivamente Ad esempio: I 1 è comune alla 1° ed alla 2° maglia, le cui correnti “proprie” sono I 0 e I 2, rispettivamente Se I 0 “proseguisse” in R 1 avrebbe Se I 0 “proseguisse” in R 1 avrebbe lo stesso verso di I 1 Se I 2 “proseguisse” in R 1 avrebbe Se I 2 “proseguisse” in R 1 avrebbe verso opposto ad I 1 D’altra parte abbiamo visto che: D’altra parte abbiamo visto che: I 1 = I 0 - I 2 In pratica I 1 è la somma algebrica In pratica I 1 è la somma algebrica delle correnti “proprie” delle maglie delle correnti “proprie” delle maglie che condividono tale ramo

4 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Notiamo che: Notiamo che: Nella “matrice delle resistenze” (N  N ), la diagonale principale contiene la somma di tutte le resistenze appartenenti ad ogni singola maglia indipendente: il posto “i-i ” (R ii ) è dato dalla somma di tutte le resistenze appartenenti alla maglia i-sima Nella “matrice delle resistenze” (N  N ), la diagonale principale contiene la somma di tutte le resistenze appartenenti ad ogni singola maglia indipendente: il posto “i-i ” (R ii ) è dato dalla somma di tutte le resistenze appartenenti alla maglia i-sima Fuori dalla diagonale principale ci sono le (somme di) resistenze dei rami comuni a due maglie. Ad esempio: il posto “1-2” è: –R 1, ossia la resistenza(complessiva) del ramo comune alle maglie “1” e “2”. Fuori dalla diagonale principale ci sono le (somme di) resistenze dei rami comuni a due maglie. Ad esempio: il posto “1-2” è: –R 1, ossia la resistenza(complessiva) del ramo comune alle maglie “1” e “2”. Il segno negativo indica che in R 1 Il segno negativo indica che in R 1 le correnti proprie I 0 e I 2 sono discordi La matrice è simmetrica (R ij = R ji ) La matrice è simmetrica (R ij = R ji ) Il vettore colonna dei termini noti Il vettore colonna dei termini noti contiene le f.e.m. complessive delle maglie indipendenti V R1R1R1R1 R2R2R2R2 R3R3R3R3 R4R4R4R4 R5R5R5R5 I0I0I0I0 I1I1I1I1 I2I2I2I2 I5I5I5I5 I3I3I3I3 I4I4I4I4

5 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Metodo delle maglie di Maxwell. Riassumendo: Metodo delle maglie di Maxwell. Riassumendo: Si determina il numero di maglie indipendenti (N ) Si determina il numero di maglie indipendenti (N ) Si scelgono le N maglie indipendenti, indicando con I i le “correnti fittizie di maglia” scegliendo arbitrariamente il verso di percorrenza Si scelgono le N maglie indipendenti, indicando con I i le “correnti fittizie di maglia” scegliendo arbitrariamente il verso di percorrenza Si scrive il sistema in forma matriciale: Si scrive il sistema in forma matriciale: La soluzione I i (corrente fittizia della maglia i-sima) sarà la corrente reale che scorre nel ramo appartenente alla sola maglia i-sima La soluzione I i (corrente fittizia della maglia i-sima) sarà la corrente reale che scorre nel ramo appartenente alla sola maglia i-sima Se la soluzione I i è negativa, significa che nel ramo “proprio” della maglia i-sima la corrente reale scorre in verso opposto a quello arbitrariamente fissato all’inizio Se la soluzione I i è negativa, significa che nel ramo “proprio” della maglia i-sima la corrente reale scorre in verso opposto a quello arbitrariamente fissato all’inizio La corrente in un ramo comune a più maglie si ottiene come somma algebrica delle correnti di maglia delle maglie che condividono il ramo La corrente in un ramo comune a più maglie si ottiene come somma algebrica delle correnti di maglia delle maglie che condividono il ramo

6 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Torniamo al ponte di Wheatstone Torniamo al ponte di Wheatstone

7 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Alcuni teoremi per la soluzione Alcuni teoremi per la soluzione di circuiti Teorema di sovrapposizione Teorema di sovrapposizione Ogni corrente o tensione in una rete lineare in cui vi siano più generatori di f.e.m. può essere calcolata come lasomma (sovrapposizione) dei contributi che ciascun generatore darebbe se agisse da solo, con tutti gli altri generatori “soppressi” Ogni corrente o tensione in una rete lineare in cui vi siano più generatori di f.e.m. può essere calcolata come lasomma (sovrapposizione) dei contributi che ciascun generatore darebbe se agisse da solo, con tutti gli altri generatori “soppressi” Per “soppressione” dei generatori si intende: Per “soppressione” dei generatori si intende: sostituire i generatori di corrente con un circuito aperto (o la loro resistenza interna) sostituire i generatori di corrente con un circuito aperto (o la loro resistenza interna) sostituire i generatori di tensione con un corto circuito (o la loro resistenza interna) sostituire i generatori di tensione con un corto circuito (o la loro resistenza interna) V R1R1R1R1 R2R2R2R2 R3R3R3R3 R4R4R4R4 R5R5R5R5 I0I0I0I0 I1I1I1I1 I2I2I2I2 I5I5I5I5 I3I3I3I3 I4I4I4I4

8 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Esempio: Esempio: Verificare come esercizio!!! Verificare come esercizio!!! V1V1V1V1 R1R1R1R1 V2V2V2V2 R2R2R2R2 R3R3R3R3 I1I1I1I1 I2I2I2I2 I3I3I3I3 V1V1V1V1 R1R1R1R1 R2R2R2R2 R3R3R3R3 I’ 1 I’ 2 I’ 3 R1R1R1R1 V2V2V2V2 R2R2R2R2 R3R3R3R3 I’’ 1 I’’ 2 I’’ 3

9 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Teorema di reciprocità Teorema di reciprocità Consideriamo una rete lineare con un Consideriamo una rete lineare con un generatore di f.e.m. nel suo ramo i. Supponiamo che tale generatore faccia Supponiamo che tale generatore faccia scorrere la corrente I nel ramo j (se agisce da “solo”) Se il generatore di f.e.m. viene spostato Se il generatore di f.e.m. viene spostato nel ramo j, allora nel ramo i (dove al posto del generatore viene sostituito un corto circuito) scorrerà la stessa corrente I Le due leggi di Kirchhoff sono sufficienti a risolvere completamente tutti i problemi delle reti lineari Le due leggi di Kirchhoff sono sufficienti a risolvere completamente tutti i problemi delle reti lineari Il metodo delle maglie ed i vari teoremi discendenti dalle stesse leggi di Kirchhoff e dalla linearità del sistema aiutano ed abbreviano la soluzione Il metodo delle maglie ed i vari teoremi discendenti dalle stesse leggi di Kirchhoff e dalla linearità del sistema aiutano ed abbreviano la soluzione Rete lineare Ramo i Ramo j I I

10 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Teorema di Thevenin Teorema di Thevenin Consideriamo una rete lineare qualsiasi Consideriamo una rete lineare qualsiasi e due suoi punti A e B Ci si chiede cosa accade ad un ramo Ci si chiede cosa accade ad un ramo “aggiunto” tra i punti A e B Il teorema di Thevenin afferma che si Il teorema di Thevenin afferma che si può sostituire TUTTO il circuito con un circuito equivalente costituito da un generatore di f.e.m. in serie ad una resistenza V Th è la d.d.p. esistente tra A e B “a vuoto” V Th è la d.d.p. esistente tra A e B “a vuoto” ossia “prima” di aggiungere il nuovo ramo R Th è il rapporto tra V Th e la corrente, I cc, R Th è il rapporto tra V Th e la corrente, I cc, che scorrerebbe tra A e B se fossero collegati da un conduttore ideale (corrente di corto circuito) Rete lineare A B A B R Th V Th I cc

11 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Teorema di Thevenin Teorema di Thevenin Si può dimostrare che R Th coincide con Si può dimostrare che R Th coincide con la resistenza equivalente esistente tra i punti A e B del circuito (senza il ramo aggiuntivo) Esempio: partitore di tensione + resistenza Esempio: partitore di tensione + resistenza I R1R1R1R1 V R2R2R2R2 R I2I2I2I2 IRIRIRIR

12 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Teorema di Thevenin Teorema di Thevenin Si può dimostrare che R Th coincide con Si può dimostrare che R Th coincide con la resistenza equivalente esistente tre i punti A e B del circuito (senza il ramo aggiuntivo) Esempio: partitore di tensione + resistenza Esempio: partitore di tensione + resistenza I’ R1R1R1R1 V R2R2R2R2 R A B R Th V Th A B I cc

13 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Teorema di Thevenin Teorema di Thevenin Si può dimostrare che R Th coincide con Si può dimostrare che R Th coincide con la resistenza equivalente esistente tre i punti A e B del circuito (senza il ramo aggiuntivo) Esempio: partitore di tensione + resistenza Esempio: partitore di tensione + resistenza I’ R1R1R1R1 V R2R2R2R2 R A B R Th V Th A B R

14 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Teorema di Norton Teorema di Norton Consideriamo una rete lineare qualsiasi Consideriamo una rete lineare qualsiasi e due suoi punti A e B Ci si chiede cosa accade ad un ramo Ci si chiede cosa accade ad un ramo “aggiunto” tra i punti A e B Il teorema di Norton afferma che si Il teorema di Norton afferma che si può sostituire TUTTO il circuito con un circuito equivalente costituito da un generatore di corrente in parallelo ad una resistenza I N è la corrente di corto circuito che scorrerebbe I N è la corrente di corto circuito che scorrerebbe tra A e B se fossero collegati da un conduttore ideale R N è il rapporto tra la tensione “a vuoto” R N è il rapporto tra la tensione “a vuoto” tra i punti A e B,V AB, e la corrente I N Ma: Ma: Rete lineare A B A B RNRNRNRN ININININ

15 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Metodo delle maglie in presenza di generatori di corrente Metodo delle maglie in presenza di generatori di corrente Generatore di corrente reale Generatore di corrente reale Ci si riconduce al caso Ci si riconduce al caso di soli generatori di d.d.p. Generatore di corrente ideale Generatore di corrente ideale Se   , anche f   Se   , anche f   Serve un’altra equazione Serve un’altra equazione che si ottiene dall’equazione del nodo cui è collegato il ramo contenente il generatore I  f eq  I f eq = ?  = ?

16 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Metodo delle maglie in presenza di generatori di corrente Metodo delle maglie in presenza di generatori di corrente Esempio Esempio I V R1R1R1R1 R2R2R2R2 I V R1R1R1R1 R2R2R2R2  Generatore reale V R1R1R1R1 R2R2R2R2f 

17 Metodi di soluzione dei circuiti (DC) Metodo delle maglie in presenza di generatori di corrente Metodo delle maglie in presenza di generatori di corrente Esempio Esempio I V R1R1R1R1 R2R2R2R2 Generatore ideale V R1R1R1R1 R2R2R2R2f Ma qui f è un’incognita!!! I1I1I1I1 I2I2I2I2 L’altra equazione è:

18 B PQPQPQPQ SRSRSRSR Misure elettriche: amperometro a bobina mobile Principio di funzionamento Principio di funzionamento Spira rettangolare percorsa da corrente elettrica e immersa in un campo magnetico uniforme Spira rettangolare percorsa da corrente elettrica e immersa in un campo magnetico uniforme Vista in prospettiva I B PSR Q Vista dall’alto La corrente “entra” nel disegno La corrente “esce” dal disegno F PQ F RS FSP FQR

19 Misure elettriche: amperometro a bobina mobile F SP ed F QR hanno risultante e momento risultante nulli (rispetto ad un asse verticale passante per il segmento SR) F SP ed F QR hanno risultante e momento risultante nulli (rispetto ad un asse verticale passante per il segmento SR) F PQ ed F RS hanno risultante nulla, ma momento risultante non nullo F PQ ed F RS hanno risultante nulla, ma momento risultante non nulloB PQPQPQPQ SRSRSRSR Vista in prospettiva I B P S R Q Vista dall’alto F PQ F RS F SP F QR 

20 Misure elettriche: amperometro a bobina mobile B PQPQPQPQ SRSRSRSR Vista in prospettiva I B P S R Q Vista dall’alto F PQ F RS F SP F QR  n  A  area della spira   momento magnetico della spira n  versore normale alla spira

21 Misure elettriche: amperometro a bobina mobile Il momento  tende ad allineare n su B qualunque sia la corrente I Il momento  tende ad allineare n su B qualunque sia la corrente I Si fissa una molla a spirale all’asse girevole della spira in modo che per Si fissa una molla a spirale all’asse girevole della spira in modo che per I = 0 si abbia  =  0 Per I  0 si ha equilibrio tra il momento della forza magnetica, , e quello della forza di richiamo elastica della molla, pari a k(  -  0 ) Per I  0 si ha equilibrio tra il momento della forza magnetica, , e quello della forza di richiamo elastica della molla, pari a k(  -  0 ) Relazione NON LINEARE Relazione NON LINEARE Ciò è dovuto al fattore sin  presente Ciò è dovuto al fattore sin  presente in  a sua volta dovuto al fatto che il campo B in generale non è parallelo al piano della spira B Vista dall’alto 0000 n 

22 Misure elettriche: amperometro a bobina mobile Campo magnetico generato da espansioni polari sagomate Campo magnetico generato da espansioni polari sagomate In prossimità della parete del magnete In prossimità della parete del magnete il campo B è approssimativamente radiale Il campo magnetico in corrispondenza Il campo magnetico in corrispondenza dei lati della spira ortogonali al disegno è nel piano della spira  B  n Ora  è l’angolo tra B ed n che è pari a Ora  è l’angolo tra B ed n che è pari a  /2 almeno finché non si esce dalla regione rossa Con  indichiamo l’angolo di cui ruota Con  indichiamo l’angolo di cui ruota la spira per effetto della forza magnetica Pertanto: Pertanto: N S

23 Misure elettriche: amperometro a bobina mobile Se la spira è sostituita da un avvolgimento di m spire: Se la spira è sostituita da un avvolgimento di m spire: Sensibilità dello strumento: Sensibilità dello strumento: La massima corrente misurabile (  portata) è legata alla necessità di non superare la regione in cui B  n. Esiste un angolo  max per cui: La massima corrente misurabile (  portata) è legata alla necessità di non superare la regione in cui B  n. Esiste un angolo  max per cui: L’errore di sensibilità è determinato dalla non-riproducibilità di natura meccanica (attriti) L’errore di sensibilità è determinato dalla non-riproducibilità di natura meccanica (attriti) Nello strumento, la corrente può circolare in un solo verso Nello strumento, la corrente può circolare in un solo verso L’equilibrio dell’equipaggio mobile si ottiene in circa 2 s L’equilibrio dell’equipaggio mobile si ottiene in circa 2 s Dipendenza di S dai vari parametri Dipendenza di S dai vari parametri

24 Misure di corrente elettrica Per misurare la corrente in un ramo Per misurare la corrente in un ramo di una rete bisogna interromperne la continuità ed inserire lo strumento Immaginiamo di rimuovere il ramo Immaginiamo di rimuovere il ramo contenente R Alla rete restante sostituiamo il suo Alla rete restante sostituiamo il suo equivalente di Thevenin Retelineare A B I A A I’ rArArArA R R A B R Th V Th R Durante il funzionamento normale del circuito A B R Th V Th Durante la misura A A rArArArA R I I’

25 Misure di corrente elettrica r A  0  errore sistematico r A  0  errore sistematico A B R Th V Th R Durante il funzionamento normale del circuito A B R Th V Th Durante la misura A A rArArArA R I I’