Correlazione e regressione

Presentazione sul tema: "Correlazione e regressione"— Transcript della presentazione:

1 Correlazione e regressione
Dipendenza - Regressione Si presuppone che una variabile (Y) sia influenza-ta da un’altra (X). Ad es., Reddito (X) e Risparmio (Y). Interdipendenza - Correlazione Il caso contrario (non vi è alcuna ipotesi). Ad es., Reddito (X) Spesa beni necessari (Y)

2 Correlazione Interdipendenza (alcuni esempi)
Valore medio della temperatura e n. di svaghi in un mese Età al matrimonio tra M e F. Reddito tra Mariti e Mogli

3 CLASSE SOCIALE ELEVATA
Correlazione ? MENARCA PRECOCE ALTO QI CLASSE SOCIALE ELEVATA Possiamo dire che esiste una relazione causale tra MENARCA e QI? No! E’ una CORRELAZIONE SPURIA

4 Analisi con il diagramma a punti
Al fine di avere informazioni sull’associazione (o interdipendenza) tra due variabili, è utile costruire un diagramma a punti. Paesi Indice fertilità totale % donne che usano contraccettivi UK 1,8 82 USA 2,1 71 Gambia 5,4 12 Indonesia 2,8 55 Messico 3,0 53 Brasile 2,3 66 Uganda 7,1 15 Slovacchia 74 Niger 7,3 4 Botswana 4,7 33

5 Diagramma a punti Correlazione positiva Correlazione negativa
Correlazione nulla o indipendenza

6 Diagramma a punti

7 Diagramma a punti Quali informazioni ricaviamo?
Sembra esistere una correlazione negativa (all’aumentare della % di donne che usa il contraccettivo diminuisce l’indice di fertilità). La correlazione negativa sembra moderata (scarsa inclinazione dei punti) Come possiamo misurare meglio la “forza” di questo legame statistico?

8 Coefficiente di correlazione
Esiste il coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson. Esso è dato da ove

9 Coefficiente di correlazione
Quali sono i valori caratteristici del coeff. di correlazione? Correlazione negativa max -1 Indipendenza 0 Correlazione positiva max +1 Valori di riferimento r < - 0,50 correlazione negativa consistente 0,50 < r < + 0,50 correlazione meno importante r > + 0,50 correlazione positiva consistente

10 Y X 1,8 82 2,1 71 5,4 12 2,8 55 3,0 53 2,3 66 7,1 15 74 7,3 4 4,7 33 Y-MY X-MX -2.03 35.5 -1.73 24.5 1.57 -34.5 -1.03 8.5 -0.83 6.5 -1.53 19.5 3.27 -31.5 27.5 3.47 -42.5 0.87 -13.5 Y-MY^2 X-MX^2 4.12 2.99 600.25 2.46 1.06 72.25 0.69 42.25 2.34 380.25 10.69 992.25 756.25 12.04 0.76 182.25 41.27 (Y-MY)(X-MX) -72.07 -42.39 -54.17 -8.76 -5.40 -29.84 -55.83 -11.75

11 X Y 20 21 18 22 19 24 26 29 30 27 X Y 20 28 18 19 26 24 29 30 27 21

12 Correlazione Quando il coefficiente di correlazione non va bene per misurare l’interdipendenza tra due variabili? Quando sussiste una relazione NON LINEARE tra X e Y.

13 Regressione Dipendenza (alcuni esempi)
Valore medio della temperatura e n. di giorni di accensione del riscaldamento Età al primo parto e n. di figli. Reddito familiare e consumi

14 Regressione Tra la retta rossa e quella verde qual è la migliore?
La scelta non potrà essere arbitraria, ma delegata ad un calcolo statistico

15 Regressione Poiché si è deciso di tracciare una retta, dobbiamo trovare il modo di determinarla. L’equazione sarà Del tutto equivalente a

16 Regressione a = intercetta della retta sull’asse Y
b = coefficiente angolare della retta Un ottimo criterio per trovare la retta è minimizzare le distanze dei punti dalla stessa.

17 Regressione Applicando quel principio otteniamo
Nel caso dell’esercizio su fertilità e contraccezione si ha

18 Regressione Quindi l’equazione della retta sarà Cosa significa b?
Esso rappresenta l’incremento (decremento) nella variabile Y in corrispondenza ad un incremento UNITARIO nella variabile X. Per questo motivo X=variabile indipendente e Y=variabile dipendente

19 Regressione Cosa significa a?
Rappresenta il punto in cui la retta interseca l’asse verticale (Y). 7,09

20 % donne che usa contraccettivo
Regressione Si può usare la retta di regressione a fini previsionali % donne che usa contraccettivo Indice di fertilità 7,09 1 7,02 2 6,95 25 5,34 40 4,29 80 1,49 100 0,09

21 Regressione Come abbiamo ottenuto i precedenti valori?
Allora b indica proprio di quanto diminuisce Y in corrispon-denza ad un incremento unitario in X

22 Regressione La retta di regressione può anche essere usata a fini previsionali.

23 Regressione Casi particolari b = 0 b = 

24 Regressione Ma siamo certi che la retta si adatta bene ai nostri dati?
Che sia il modo migliore di spiegare la relazione di dipendenza di Y da X? Studiamo l’adattamento della retta ai dati per mezzo del coefficiente di correlazione. Se i punti stanno tutti sulla retta allora r=1 oppure r=-1 Per eliminare il problema del segno calcoliamo r2

25 Regressione Per l’es. fertilità-contraccezione si ha
Poiché r2 varia tra 0 e 1, allora la retta di regressione della contraccezione sulla fertilità si adatta molto bene ai dati. Inoltre il coefficiente r2 spiega quanta parte della variabilità totale è interpretata dalla retta.

26 Esempio

27 Esempio Media X = 60,6 Media Y = 60 Dev(X) = 5624 Dev (Y) =1727,6
Cod (XY) = 2524,8 r = 0,81 y = a + bx = 32,8 + 0,45 x