Rappresentazioni numeriche

Presentazione sul tema: "Rappresentazioni numeriche"— Transcript della presentazione:

1 Rappresentazioni numeriche
Sistemi posizionali, numeri binari, complemento a due

2 Conversione dalla base 10 alla base 2
Dato un numero N la sua rappresentazione in base due sarà del tipo ck ck-1ck-2 … c1c0 (dove “ci” è una cifra binaria) Per convertire un numero in base dieci nel corrispondente in base due si devono trovare i resti delle divisioni successive del numero N per due

3 Conversione dalla base 10 alla base 2
Esempio: il numero 610: 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto, si ha che la rappresentazione binaria del numero 610 è 1102

4 Conversione dalla base 10 alla base 2
Esempio: il numero 34510: 345/2 = 172 resto 1 172/2 = 86 resto 0 86/2 = 43 resto 0 43/2 = 21 resto 1 21/2 = 10 resto 1 10/2 = 5 resto 0 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto (in quanto si ottengono a partire dalla cifra meno significativa, l’unità), si ha che rappresentazione binaria del numero è

5 Conversione dalla base 2 alla base 10
Sia cm cm-1cm-2 … c1c0 un numero rappresentato in base 2, usiamo: cm x 2m + cm-1 x 2m-1 + cm-2 x 2m-2 + … + c1 x c0 x 20 = N Esempio: 1 x x x x x x 23 + 0 x x x 20 = 345

6 Altri basi: ottale, esadecimale
Sistema ottale Utilizza una notazione posizionale basata su otto cifre (0,1,…,7) e sulle potenze di 8 Esempio: 1038 = 1 x x x 80 = 67 Sistema esadecimale Utilizza una notazione posizionale basata su sedici cifre (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16 Esempio: = 1 x x x 160 = 259 Esempio: AC416 = 10 x x x 160 = 2756

7 Operazioni su numeri binari
Vediamo solo il caso della addizione nella codifica binaria: Si mettono in colonna i numeri da sommare Si calcola il riporto ogni volta che la somma parziale supera il valore 1 Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1

8 Operazioni su numeri binari
Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1 Esempi: 1 + 1 = 1 0 1 1 = = 1 1 =

9 Codici a lunghezza fissa
Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un codice a lunghezza fissa In questo modo si pone anche un limite al numero massimo rappresentabile Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile con 4 cifre? In base 10: 9999 In base 2: (=1510) In base 16: FFFF (= ) In base 8: (=409510)

10 Codici a lunghezza fissa
Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile causano problemi di overflow Ovvero per essere rappresentati richiedono più cifre di quelle a disposizione Esempio: 4 cifre In base 10: = In base 2: = (=1610) In base 16: FFFF + 1 = (= ) In base 8: = (=409610)

11 Codici a lunghezza fissa
In generale, con N cifre a disposizione e base b il più grande numero (intero positivo) rappresentabile si può esprimere come bN – 1 Esempio: N=4 In base 10: = In base 2: = In base 16: FFFF = In base 8: =

12 Codici a lunghezza fissa
Esempio di overflow nel sistema binario dovuto a operazioni aritmetiche: = (in sistema decimale) abbiamo usato solo un cifre decimale per il risulto Ricordiamo: 510 = 1012 , 410 = 1002 Errore: overflow (non può essere codificato 910 = con tre bit) 1 0 0 = (in sistema binario)

13 Rappresentazione dei numeri
In realtà, una semplice codifica binaria come quella discussa fino ad ora non è sufficiente, per due motivi: Numeri negativi Numeri con la virgola Per questi numeri vengono utilizzate delle rappresentazioni differenti Per esempio “complemento a due” per rappresentare i numeri negativi

14 Rappresentazione dei numeri negativi
Si può pensare di usare un bit per il segno “0” identifica “+” “1” identifica “-” Gli altri bit vengono usati per codificare il valore assoluto (modulo) del numero

15 Rappresentazione dei numeri negativi
Con 3 bit avremo: Problemi: Il numero 0 ha due rappresentazioni Per l’operazione di somma si deve tener conto dei segni degli addendi 000 +0 001 +1 010 +2 011 +3 100 -0 101 -1 110 -2 111 -3 (+2) = (-3) (-5 ERRATO)

16 Rappresentazione dei numeri negativi
Complemento a due: Il bit più significativo rappresenta il segno del numero: 0 per i numeri positivi e 1 per i numeri negativi La rappresentazione di un numero positivo si ottiene codificando il valore assoluto del numero con i bit restanti La rappresentazione di un numero negativo si ottiene in tre passi: Si rappresenta in complemento a due il numeri positivo con lo stesso valore assoluto del numero negativo da codificare Si invertono tutti i bit in tale rappresentazione (01,10) Si somma uno al risultato ottenuto al passo precedente

17 Complemento a due Esempio (con 4 bit a disposizione):
La codifica di +5 è 0101 La codifica del numero –5 avviene in tre passi: La rappresentazione in complemento a due di +5 è 0101 Invertendo tutti i bit si ottiene 1010 Sommando 1 si ottiene 1011, la rappresentazione in complemento a due di -5

18 Complemento a due Per ottenere un numero con segno data la sua rappresentazione in complemento a due: Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per calcolarne il valore assoluto si esegue la conversione da binario a decimale Se il primo bit è 1 il numero è negativo: Si ignora il primo bit Si invertono i restanti bit Si converte il numero da binario a decimale Si somma uno al numero ottenuto per ottenere il valore assoluto del numero negativo

19 Complemento a due Esempio: 1011 Si esclude il primo bit
Invertendo 011 si ottiene 100 che è codifica di 4 Va aggiunto 1 per ottenere il valore assoluto 5 Il risultato è quindi -5

20 Esercizio Esercizio: Rappresentare -3510 in complemento a 2
= +3510 1 = Complemento a uno Soluzione: =

21 Complemento a due Esempi di addizione: Con 3 bit avremo:
(+2) = (-5) (-3) (+7) (+2) Nel secondo esempio, l’overflow è ignorato 000 +0 001 +1 010 +2 011 +3 100 -4 101 -3 110 -2 111 -1

22 Codifica dei numeri Codificare il numero nella corrispondente rappresentazione binaria Ordinare in modo crescente i seguente numeri: , 128 , , Codificare il numero negativo –1210 nella rappresentazione in complemento a due

23 Concludendo … « There are only 10 types of people in the world: those who understand binary and those who don't » « Ci sono solamente 10 tipi di persone nel mondo: chi comprende il sistema binario e chi no »