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1
I VETTORI
2
con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non “cifre”)
Se ti chiedo: “Che età hai?” con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non “cifre”)
3
con quanti numeri rispondi?
E se ti chiedo: “Che temperatura c’è nell’aula?” con quanti numeri rispondi?
4
In tutti i casi è sufficiente 1 numero
5
In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni
6
In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni Ci sono 22 gradi
7
E se ti ordino: “Spostati di 5 metri” tu che cosa fai?
9
vai qui?
10
vai qui?
11
vai qui?
12
vai qui?
13
vai qui?
14
vai qui?
15
vai qui?
16
vai qui? 5 metri
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SBAGLIATO!
19
Allora vai qui?
20
Allora vai qui?
21
Allora vai qui?
22
Allora vai qui?
23
Allora vai qui?
24
Allora vai qui?
25
Allora vai qui?
26
Allora vai qui? 5 metri
27
SBAGLIATO!
28
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
29
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
30
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
31
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
32
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
33
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
34
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
36
Evidentemente un solo numero non è sufficiente per darti tutte le informazioni che voglio!
37
Proviamo così:
38
40° 55° 82°
39
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X
40
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 82° X
41
vai qui? 82° X
42
vai qui? 82° X
43
vai qui? 82° X
44
vai qui? 82° X
45
vai qui? 82° X
46
vai qui? 82° X
47
vai qui? 82° X
48
vai qui? 82° X
49
5 metri vai qui? 82° X
50
5 metri SBAGLIATO! vai qui? 82° X
51
5 metri Sì: ancora sbagliato! Evidentemente nemmeno 2 numeri sono sufficienti a darti l’informazione giusta. 82° X
52
5 metri Proviamo con una terza informazione 82° X
53
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X
54
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 40° 55° 82° X
55
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X
56
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X
57
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X
58
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X
59
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X
60
Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X
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Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X X
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Proprio lì, dovevi andare!
Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X
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Proprio lì, dovevi andare!
Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X
64
Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento.
65
Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento. Più una quarta informazione, per dirti da dove devi partire.
66
I matematici hanno inventato uno strumento
proprio adatto a questo scopo: il VETTORE
67
I matematici hanno inventato uno strumento
proprio adatto a questo scopo: il VETTORE
68
Esso ha una intensità
69
Esso ha una intensità (corrisponde alla sua lunghezza)
70
Esso ha una intensità una direzione
71
Esso ha una intensità una direzione
(corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento)
72
Esso ha una intensità una direzione un verso
73
Esso ha una intensità una direzione un verso
(corrisponde all’orientamento della freccia)
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ed un punto di applicazione
Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione
75
ed un punto di applicazione
Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione (corrisponde all’origine della freccia)
78
I VETTORI SI SOMMANO
79
Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? + Y X + A
80
Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? + Y X + A 2 metri B
81
Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? C + Y 3 metri X + A 2 metri B
82
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C C + Y 3 metri X + A 2 metri B
83
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y 3 metri X + A 2 metri B
84
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y 3 metri X + A 2 metri B
85
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y In altre parole possiamo dire che il vettore S è la somma dei vettori S1 ed S2 . S S2 S = S1 + S2 S1 X + A B
86
E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? + Y X + A
87
E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B + Y 3 metri X + A
88
E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri X + A
89
E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri X + A
90
S1 + S2 = S2 + S1 Questo è lo stesso risultato
E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Questo è lo stesso risultato dell’operazione precedente! quindi: Y 2 metri 3 metri S1 + S2 = S2 + S1 che è la proprietà commutativa rispetto alla somma. X + A
91
+ Y X + A
92
+ Y X + A
93
C + Y X + A
94
C + Y X + A
95
C + Y X + A
96
C + Y X + A
97
Questo procedimento va sotto il nome di
REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA in quanto la risultante della somma di due vettori corrisponde alla diagonale di un parallelogrammo i cui lati sono gli stessi vettori C + Y X + A
98
Vediamo un esempio
99
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P
100
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V P
101
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede V P
102
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P
103
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P
104
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P
105
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P
106
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P
107
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P
108
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma V P
109
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma V S P
110
Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede
Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma Il vettore S così ottenuto è la somma dei vettori V e P V S P
111
Si può procedere anche in un altro modo
V P
112
Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P
113
Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P
114
Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P
115
Si può procedere anche in un altro modo Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S
116
Si può procedere anche in un altro modo
Come si vede il risultato è identico al precedente Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S
117
Si può procedere anche in un altro modo
Come si vede il risultato è identico al precedente Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S V P S
118
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S
119
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
120
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
121
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
122
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
123
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo S
124
I VETTORI SI SOTTRAGGONO
125
Basta considerare che:
126
Basta considerare che:
+V
127
Basta considerare che:
+V -V
128
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A - B B A
129
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) B A
130
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A
131
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A
132
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A
133
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B) - B A S
134
I VETTORI SI SCOMPONGONO
135
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
136
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +
137
50 + QUANTE SOLUZIONI CI SONO? PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + QUANTE SOLUZIONI CI SONO?
138
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +
139
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 30 20
140
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 12 38
141
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 100 -50
142
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 50
143
50 + CI SONO INFINITE SOLUZIONI PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + CI SONO INFINITE SOLUZIONI
144
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 +
145
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 + 40 10
146
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 + 40 10 1 SOLA SOLUZIONE!
147
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA
PROBLEMA 3 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA
148
a
149
a
150
a
151
a
152
ANCHE QUI CI SONO INFINITE SOLUZIONI
153
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA
PROBLEMA 4 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA E CHE LE LORO DIREZIONI SIANO NOTE
154
[2] a [1]
155
IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE
[2] a [1]
156
IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE VEDIAMO COME SI PROCEDE
[2] a [1]
157
a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]
158
a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]
159
b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]
160
b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”
del vettore a [2] a [1]
161
In questo modo si costruisce un parallelogramma
i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]
162
In questo modo si costruisce un parallelogramma
i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]
163
Per cui questi sono i vettori componenti [2] a [1]
164
Per cui questi sono i vettori componenti a2 [2] a1 a [1]
165
ESERCIZIO
166
NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD A
167
NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD B 30 Km A
168
B A UN SUO AMICO, PARTENDO SEMPRE DA A, SI MUOVE PRIMA IN DIREZIONE
NORD-EST, POI ,ESSENDOSI ACCORTO DI AVER SBAGLIATO STRADA, IN DIREZIONE NORD-OVEST B 30 Km N O S E NE NO A
169
QUANDO I DUE SI INCONTRANO, IN B, QUANTA STRADA HA PERCORSO L’AMICO?
30 Km N O S E NE NO A
170
SOLUZIONE
171
30 Km N O S E NE NO A
172
NE 30 Km N O S E NE NO A
173
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
174
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
175
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
176
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
177
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
178
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
179
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
180
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
181
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
182
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
183
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
184
NO NE 30 Km N O S E NE NO A
185
NO NE l 30 Km N O S E NE NO A
186
questa è la metà di un quadrato
NO NE l 30 Km N O S E NE NO Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato A
187
Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 l 30 Km N O S E NE NO Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato A
188
Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l 30 Km N O S E NE NO Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato A
189
Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l 30 Km N O S E NE NO Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato A
190
Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato
NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l ~ 21,21 Km l 30 Km N O S E NE NO Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato A
191
L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km A
NO L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l ~ 21,21 Km l 30 Km N O S E NE NO Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato A fine
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