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Funzioni e trasformazioni Vincenza Russo
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Outline: Quesiti. La funzione: iniettiva, suriettiva, biettiva.
Alcune trasformazioni: simmetrie, traslazioni. Soluzione dei quesiti.
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1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:
4
qual è il valore di f(x+3) ?
2)Se qual è il valore di f(x+3) ? a) b) c) d)
5
3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da: a b c d e
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4) C D
7
5) La funzione a)ha un solo zero in x=0
b)è simmetrica rispetto all’origine c)per x>0 si ha f(x)>0 d)si ha sempre f(x)>0 e)non si ha mai f(x)<0
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6) La funzione è minore di zero per: a) x<0 b)x<-1
c)x<-1 oppure x>0 d)tutti i numeri reali e)x<-1 oppure x>1
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7)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:
b) c) d)
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FUNZIONE Dati due insiemi A e B , la funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa un ed un sol elemento di B.
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Immagini o valori f B A x f(x) DOMINIO
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Immagine di una funzione
B A f (A)
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f B A INIETTIVA
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Funzione iniettiva
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f B A SURIETTIVA 1 7 2 3 9 4 11
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Funzione suriettiva tale che f(x)= y
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Suriettività e biettività
f B A INIETTIVA e SURIETTIVA biettiva
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Ricerca dell’inversa f - 1 B A inversa di f ?
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Funzione inversa f - 1 B A
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A partire dal grafico delle funzioni , individuarne tutte le caratteristiche studiate.
-1 +1 -2
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f(x)=senx
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1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:
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a c b La risposta esatta è la c perché ad ogni x corrisponde uno ed un solo f(x).
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qual è il valore di f(x+3) ?
2)Se qual è il valore di f(x+3) ? a) b) c) d)
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Si tratta di trovare il corrispondente di x+3. Pertanto si ha:
La risposta esatta è la c
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3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da a b c d e
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La funzione richiesta è una retta passante per l’origine.
La risposta esatta è la b.
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4) C D
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La risposta esatta è la c
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5)La funzione a)ha un solo zero in x=0
b)è simmetrica rispetto all’origine c)per x>0 si ha f(x)>0 d)si ha sempre f(x)>0 e)non si ha mai f(x)>0
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f(x)=0 per x=0 , x=1, x=-1
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Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso. O x y
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Se f(x)= f(-x) la funzione si dice pari
Simmetria rispetto all’asse y Se f(x)= f(-x) la funzione si dice pari
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Simmetria rispetto all’origine
Se f(x)= -f(-x) la funzione si dice dispari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.
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La funzione è dispari in quanto:
f(x)=-f(-x) Pertanto è simmetrica rispetto all’origine. La risposta esatta è la b
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5)La funzione è minore di zero per: a) x<0 b)x<-1 c)x<-1 oppure x>0 d)tutti i numeri reali e)x<-1 oppure x>1
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crescente a>1
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0<a<1 decrescente
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Funzioni esponenziali
Funzione esponenziale e =
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Disequazioni esponenziali: attenzione alla base!
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La funzione esponenziale è biettiva e, pertanto, è invertibile
La funzione esponenziale è biettiva e, pertanto, è invertibile.(STRETTAMENTE CRESCENTE O STRETT. DECR.)
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Il logaritmo è l’esponente da dare alla base per avere l’argomento
X>0
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a>1
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0<a<1
49
Disequazioni logaritmiche: attenzione alla base!
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5)La funzione è minore di zero per: a) x<0 b)x<-1 c)x<-1 oppure x>0 d)tutti i numeri reali e)x<-1 oppure x>1
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Il dominio della funzione si ottiene risolvendo la disequazione fratta:
x<-1 oppure x>1 -1 +1
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Per stabilire dove la funzione è minore di 0
occorre risolvere la disequazione: Essa è verificata per x<-1 oppure x>1 La risposta esatta è la e Attenzione alla risposta d!
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6)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:
b) c) d)
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La risposta esatta è la c
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Esaminiamo dei quesiti nei quali è utile la conoscenza delle traslazioni.
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1)Qual è il grafico della funzione
-1 a b c
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2)Qual è il grafico della funzione
1 -1 a b c
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3)
59
4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:
b c d 2 e
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5) Il grafico della Giace sempre sopra l’asse x
Giace sempre sotto l’asse x Giace tutto nel primo e quarto quadrante Interseca due volte l’asse Non interseca mai l’asse x
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6)La funzione f(x)= ln(x+1):
a)Non interseca l’asse x b)È sempre positiva c)È positiva per x>-1 d)È positiva per x>0
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7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1
b a 1 2 c d 1
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Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso. O x y
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Una traslazione è una isometria di equazioni:
65
In generale se mi sposto in orizzontale di a, ottengo da
Come si possono determinare le traslazioni? Che relazione c’è tra equazione della funzione e vettore traslazione? Basta partire da un esempio semplice per capire e poi estenderlo agli altri casi. Consideriamo il seguente esempio. Da y = x (retta blu), vogliamo ottenere la retta rossa traslata di 1 verso destra, osserviamo che essa ha equazione y=x-1 y=x In generale se mi sposto in orizzontale di a, ottengo da 1 y=x-1 y = f(x) , y = f(x-a) -1
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y = f(x) , y = f(x)+b Operiamo ora una traslazione verso l’alto.
Da y = x passiamo a y=x+1 In generale se mi sposto in verticale di b, ottengo da y = f(x) , y = f(x)+b y=x+1 1 y=x y = f(x) , y = f(x)+b
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Attenzione: y = f(x+5) traslazione di 5 a sinistra y = f(x-8) traslazione di 8 a destra Y = f(x)+5 traslazione verso l’alto di 5 y = f(x)-8 traslazione verso il basso di 8
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1)Qual è il grafico della funzione
-1 a b c
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2)Qual è il grafico della funzione
1 -1 a c b
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3)
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Non è biettiva È biettiva
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-1
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4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:
b c d 2 e
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La risposta esatta è la e.
1 2 1 La risposta esatta è la e.
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5) Il grafico della Giace sempre sopra l’asse x
Giace sempre sotto l’asse x Giace tutto nel primo e quarto quadrante Interseca due volte l’asse x Non interseca mai l’asse x
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La risposta esatta è la c
1 3 La risposta esatta è la c
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6)La funzione f(x)= ln(x+1):
a)Non interseca l’asse x b)È sempre positiva c)È positiva per x>-1 d)È positiva per x>0
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La risposta esatta è la d
Traslazione verso sinistra di 1 -1 La risposta esatta è la d
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7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1
b a 1 2 c d 1
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La risposta esatta è la b
y=lnx y=lnx+1 1 1 La risposta esatta è la b
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