Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Equazioni di Reazione e Diffusione Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008 Laurea.

Presentazione sul tema: "Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Equazioni di Reazione e Diffusione Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008 Laurea."— Transcript della presentazione:

1 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Equazioni di Reazione e Diffusione Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008 Laurea in Ingegneria Gestionale Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica Prof.ssa: Chiara Mocenni http://www.dii.unisi.it/~mocenni/mgsa-teach-07-08.html

2 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali dove e la derivata temporale e loperatore laplaciano (diffusione) u(x,y,t) rappresenta una densità o concentrazione, D e il coefficiente di diffusione, f(u,x,y,t) e il termine di reazione Lequazione

3 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali dove r=a e K=a/b. E un caso particolare del modello generale di reazione-diffusione; può essere considerato un'estensione dell'equazione logistica che tiene conto della diffusione spaziale.equazione logisticadiffusione vedi anche: http://it.wikipedia.org/wiki/Reazione-diffusione

4 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Il termine di reazione è descritto dal contributo nonlineare: f(u) = au bu 2 composto dai termini: generazione malthusiana, cioè proporzionale all densita': au; limitazione nonlineare all'accrescimento della densita' u, proporzionale al quadrato della densita': bu 2 Si capisce bene che questo termine definisce un valore critico locale della densità u: u * = a / b per il quale il termine di reazione si annulla e il processo diviene localmente di pura diffusione. Tale densità critica definisce il limite locale superiore, oltre il quale la densità non puo' crescere in situazione di regime.

5 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Interpretazione ecologica dell'equazione di Fisher Se la densità u(x,y,t) rappresenta la densità di popolamento in un certo punto e in un certo istante, l'equazione di Fisher descrive la combinazione dei seguenti effetti : migrazioni verso regioni ancora disabitate o poco abitate (diffusione); aumento locale della popolazione (generazione malthusiana); freno all'aumento della popolazione (effetto del secondo ordine di saturazione) dato dalla disponibilità limitata di risorse, a causa del quale localmente la popolazione non può superare una certa soglia o densità di saturazione (a/b); al di sopra di questa soglia locale il termine non omogeneo di reazione diviene distruttivo.

6 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modello preda-predatore con diffusione

7 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali

8 Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4

9 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Dinamica temporale u in 4 punti del dominio

10 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Evoluzione temporale v in 4 punti del dominio