PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

Presentazione sul tema: "PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE"— Transcript della presentazione:

1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Numeri Complessi Bruna Consolini

2 EQUAZIONI E SOLUZIONI

3 ESTENDERE … L’AMBITO DELLE SOLUZIONI
Occorre poter risolvere l’equazione Per calcolare Si definisce un nuovo numero In questo modo diventa Quindi, l’equazione ha soluzione

4 UNA QUALUNQUE RADICE DEL TIPO PUO’ ESSERE TRASFORMATA IN
ALTRE EQUAZIONI Dall’equazione il discorso si estende a tutte le equazioni che sono decomponibili in fattori di secondo grado con <0 INFATTI, UNA QUALUNQUE RADICE DEL TIPO PUO’ ESSERE TRASFORMATA IN

5 ESEMPIO EQUAZIONE 5° GRADO SOLUZIONI REALI: x = -4 molteplicità 1
SOLUZIONI COMPLESSE: x = 2i molteplicità 1 x = -2i molteplicità 1

6 Le soluzioni complesse sono sempre presenti in coppia
ESEMPIO EQUAZIONE 4° GRADO SOLUZIONI REALI: x = -4 molteplicità 1 x = 2 molteplicità 1 SOLUZIONI COMPLESSE: x = 1+3i molteplicità 1 x = 1-3i molteplicità 1 Le soluzioni complesse sono sempre presenti in coppia

7 VERSO … UN NUOVO INSIEME DI NUMERI
Dall’insieme N si passa a Z, insieme degli interi relativi Dall’insieme Z si passa a Q, insieme di tutti i numeri esprimibili come rapporto di numeri interi relativi Dall’insieme Q si passa a R, insieme di tutti i numeri decimali (anche illimitati non periodici) Dall’insieme R si passa a C, insieme di tutti i numeri esprimibili come coppie di numeri reali che identificano una parte reale e una parte immaginaria

8 UN NUOVO INSIEME DI NUMERI
C R Q Z N

9 I NUMERI COMPLESSI I numeri complessi sono espressioni del tipo z = a + ib dove a e b sono numeri reali i è l’unità immaginaria Il numero a denota la parte reale e viene indicato con Re(z) Il numero b denota la parte immaginaria e viene indicato con Im(z) I numeri complessi z = a + ib individuano le coppie (a,b) che rappresentano le coordinate di punti nel piano R2 chiamato piano di Gauss

10 PIANO DI GAUSS z = a + i b  C asse immaginario P(a,b) b a asse reale

11 LE OPERAZIONI: ADDIZIONE SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE DIVISIONE

12 ESERCIZI

13 R SOTTOINSIEME DI C Ogni numero complesso z ha il suo coniugato
Ogni numero ha il modulo I numeri reali sono numeri complessi in cui b = 0 I numeri immaginari sono numeri complessi in cui a = 0 Il numero reale 0 corrisponde a 0 + 0i Il numero reale 1 corrisponde a 1 + 0i

14 ESERCIZI

15 PROPRIETA’ DELLA SOMMA
La regola dell’addizione corrisponde alla regola del parallelogramma relativa alla risultante dei vettori (5, 5) (1, 3) (4, 2) (4+2i) + (1+3i)=5+5i

16 NON HA SENSO L’ORDINAMENTO IN C.
RELAZIONE D’ORDINE NON HA SENSO L’ORDINAMENTO IN C. Non si può parlare di numeri positivi e negativi Se si cerca di introdurre qualche forma di ordinamento (ad esempio: un numero è minore in base alla parte reale e a parità di parte reale in base alla parte immaginaria) tale ordinamento non permane con le operazioni.

17 DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI COMPLESSI (1)
Il numero complesso z è una coppia ordinata (a,b) con aR e b R Vale la relazione di uguaglianza (a,b) = (c,d)  a=c  b=d Risultano chiuse le seguenti operazioni Addizione: (a,b)+ (c,d)= (a+c, b+d) Moltiplicazione m(a,b) = (ma, mb) (a,b)(c,d)= (ac-bd, ad+bc)

18 DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI COMPLESSI (2)
Valgono le seguenti proprietà: Commutativa dell’addizione Associativa dell’addizione Commutativa della moltiplicazione Associativa della moltiplicazione Distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Esistenza dell’elemento neutro dell’addizione Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione Esistenza dell’inverso rispetto all’addizione Esistenza dell’inverso rispetto alla moltiplicazione

19 ESERCIZI Dimostrare le seguenti proprietà: 1/z = z / |z|
z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 | z1 z2 | = | z1| | z2 | z1 + z2 = z1 + z2

20 LE EQUAZIONI IN C TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA
Ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti reali xn + a1xn-1 + a2xn-2+…an-1x + an = 0 ha n soluzioni complesse eventualmente coincidenti 1 2 3 …………n QUINDI Il polinomio P(x)=xn + a1xn-1 + a2xn-2+…an-1x + an è decomponibile in P(x)=(x-1)(x-2)…………(x-n)

21 ESERCIZI